Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari

Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari
1 – misol. _{ } funksiyaning ekstremumini toping.

Avvalo kritik nuqtalarni topamiz. Buning uchun ikki o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilani topib, ularni nolga tenglab, sistemani yechamiz:

_{ }

Bu sistema _{ } sistemaga teng kuchli.

Bu sistemaning yechimi _{ }, _{ } bo‘ladi. Demak (-2; 0) kritik nuqta. II tartibli xususiy hosilalarni _{ } ko`rinishda belgilab, ularni kritik nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:

, _{ } ,

_{ }

Bundan _{ } , _{ } bo‘lgani uchun

(-2;0) da funksiya ekstremumga ega A>0 bo‘lgani uchun (-2; 0) minimumga ega.

2 – misol. _{ } doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:

_{ }

Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.

2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz: _{ }

3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.

Bu sohaning chegarasi x²+y²=4 aylanadan iborat, y²=4-x² buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x²-(4-x²), z=2x²-4, x²+y²=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun _{ }, shunnig uchun z=2x²-4 funksiyaning _{ } dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0

b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z₂(0)=-4 ni topamiz.

c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃

z₄(2)=2*2²-4=4, z₃(-2)=2*(-2)²-4=4

4) Topilgan z_1, z₂, z₃, z₄ qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

3 – misol. _{ } doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:

_{ }

Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.

2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz: _{ }

3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.

Bu sohaning chegarasi x²+y²=4 aylanadan iborat, y²=4-x² buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x²-(4-x²), z=2x²-4, x²+y²=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun _{ }, shunnig uchun z=2x²-4 funksiyaning _{ } dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0

b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z₂(0)=-4 ni topamiz.

c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃

z₄(2)=2*2²-4=4, z₃(-2)=2*(-2)²-4=4

4) Topilgan z_1, z₂, z₃, z₄ qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

4 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Yechilishi:

1. 
   Kritik nuqtalarini topamiz:
   

.

tenglamalar sistemasini yechib , , larni topamiz . kritik nuqta bo’ladi , chunki berilgan funksiya tekislikda aniqlangan.

kritik nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning qiymatlarini topamiz va kritik nuqtani xarakterini aniqlaymiz:
.

, .

bo’lgani uchun funksiya nuqta maksimumga ega va bo’ladi.

5 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Ushbu

Tenglamalar sistemasini yechib ,

nuqtalarni topamiz . Bu nuqtalar kritik nuqtalar bo’ladi .

nuqta uchun







bo’lgani uchun funksiya nuqtada minumga ega va bo’ladi.

nuqta uchun







bo’lgani uchun funksiya nuqtad maksimumga ega va bo’ladi.

nuqta uchun







bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas .

nuqta uchun







bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas.

6 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Kritik nuqtalarni topamiz :

Ushbu

tenglamalar sistemasini yechib , nuqtalarni topamiz.

Topilgan nuqtalar tekshiralayotgan funksiya aniqlanish sohasi ning chegarasiga tegishli bo’lhani uchun funksiya aniqlanish sohasining ikki nuqtasi bo’lishi kerak .

Shunday qilib , berilgan funksiya kritik nuqtaga ega bo’lmaganligi uchun funksiya ekstrimumga ega emas .

7 – misol. funksiyaning doiradagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping .

Funksiyaning soha ichidagi kritik nuqtalarini va nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz :



tenglamalar sistemasini yechib , kritik nuqtani va funksiyaning bu nuqtadagi qiymatini topamiz.

Endi funksiyaning chegaradagi , ya’ni aylanadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz.

Berilgan funksiyani aylana nuqtalarida bitta ning funksiyasi sifatida ifodalash mumkin :

yoki

Shunday qilib , ikki o’zgaruvchili funksiyaning aylanadagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasini bir o’zgaruvchili funksiyaning kesmadagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasiga keltirdik . funksiyasining intervaldagi kritik nuqtalarini va funksiyasining bu nuqtadagi hamda interval chegaralari dagi qiymatlarini topamiz :

kritik nuqta .

Funksiyaning tpilgan qiymatlarini o’zaro taqqoslasak funksiyaning eng katta qiymati 12 ga , eng kichik qiymati 4 ga teng bo’ladi .

Shunday qilib , funksiya doirada o’zining eng katta qiymatiga aylananing nuqtalarida , eng kichik qiymatiga esa aylananing nuqtalarida erishadi.

8 – misol. x²+y²=1 shartda z=6-4x-3y funksiyani ekstremumga tekshiring.

larni topamiz. Bu holda funksiya shartli ekstremumga ega bo’lishligining zaruriy sharti

ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamar sistemasini yechib, λ₁ = _{ }, x₁ = _{ }, y₁ = _{ } va λ₂ = - _{ }, x₂ = - _{ }, y₂ = - _{ } larni topamiz.

bo’lgani uchun d²F=2λ(dx²+dy²) bo’ladi. Shunday qilib, λ = _{ }, x = _{ }, y = _{ } bo’lganda d²F>0 bo’lgani uchun funksiya (_{ }; _{ }) nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va z_min(_{ }; _{ })=1. λ= - _{ }, x= - _{ }, y= - _{ } bo’lganda, d²F<0 bo’lgani uchun funksiya bu nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va

9 – misol. Yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan eng kata hajmli to’g’ri burjakli parallepiped yasang.

∆ Parallepiped tomonlarini x, y, z deb belgilaylik. Bu holda qo’yilgan masala

shart berilganda

Funksiyaning maksimumini topishga keltiriladi.

Yordamchi Lagranj funksiyasini tuzamiz:

va funksiya xususiy hosilalarini topib, ularni nolga tenglaymiz:

(*)

Bu tenglamar sistemasidagi birinchi uchta tenglamani biridan ikkinchisini ayirsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasidan x=y=z ekani kelib chiqadi. (*) dagi oxirgi xy+yz+xz = _{ } tenglamaga asosan x=yz = _{ } bo’ladi. Demak, yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan yasalgan eng kata hajmli parallelepiped qirralari _{ } ga teng bo’lgan kub bo’lar ekan.

Quyidagi funksiyalarning shartli ekstremumlarini toping: