Катта сонлар конуни. Катта сонлар конунининг назарий ва амалий ахамияти

Катта сонлар конуни. Катта сонлар конунининг
назарий ва амалий ахамияти.

1. 
   Чебишев тенгсизлиги.
   
2. 
   Катта сонлар конуни.
   
3. 
   Эхтимоллар назариясининг лимит теоремалари.
   

Катта сонлар конуни. Чебышев тенгсизлиги. Катта сонлар конунининг турли формалари.

Фараз этайлик
Х₁,Х₂,...,Х_N (1)
лар бирор а-кийматга эга булган иктисодий курсаткични улчаш натижасида пайдо булган микдорлар булсин. Бу кийматларнинг хар бири а ва унга кушилган бирор микдор йигиндига тенг булади. Шу сабабли купинча амалда а -нинг киймати сифатида
`Х_N= (2)
ни оладилар.
Бу ерда шундай саволлар тугилади. а= Х_N- десак буладими?
а- Х_N айирма канча булади ва у кайси кийматдан кичик булиши керак?
Текширишлар натижаси тасодифий микдорлар булганлиги сабабли. {| Х_N -a|> } бирор ходиса булади. Агар бу ходисани А билан белгиласак, яъни
А={| Х_N -a|> } (3)
десак, А-нинг юзага келиш эхтимоли Р(А)- канчалик кичик, унда Р(А)=1-Р(А) канчалик бирга якин булса амалда А-ни кам юзага келадиган А-ни эса купинча юзага келадиган ходиса десак булади. Бу холда -нинг катта кичиклигига кура
а»Х_N (4)
деб олсак булади. Агар текширишлар натижаси (1) узаро боглик булмаган тасодифий микдорлар кетма- кетлигини ташкил этса, N-исталганча катта сон булса, исталган кичик сон учун Р(А) исталганча кичик сон булар экан. Яъни
(5)
булади.
Р(А)=Р{|X_N-a|> }-нинг кичиклик даражаси ва конкрет амалий холатга богликдир.
Чебышев тенгсизлиги Х тасодифий микдор. Математик кутилма а=МХ ва дисперсия ²=ДХ эга, а ва ²- лар чекли, >0 исталганча кичик сон булсин.
Теорема. Агар Х юкорида келтирилган шартларни бажарувчи тасодифий микдор ва >0 исталганча кичик сон булса
Р{|X-a|> }Ј (6)
булади.
Исбот. А= Р{|X-a|> }-белгилаймиз, g(x) - тасодифий функция куйидагича:
1, агар А- ходиса юзага келса
0, агар А - ходиса юзага келса.
Мg(x)=1 P(A)+0 P(A)=P(A)= Р{|X-a|> } (7)
булади.
f(x)= ни белгилаймиз ва бу функция f(X)і0 ва f(X) і1 A ходиса юзага келса. Шунинг учун
Мg(x)ЈМf(x)=M (8)
булади. (7) ва (8) лардан:
Р{|X-a|> }= М(g(X))Ј Мf(X)= , (6) юзага келади.

6. 
   - тенгсизликни Чебышев тенгсизлиги дейилади.
   

Чебишев теоремаси. Агар Х₁,Х₂,...,Х_N ,... тасодифий микдорлар кетма- кетлиги жуфт- жуфт узаро боглик булмасалар дисперсиялари бир хил сон билан чегараланган: DX_nЈC nі1
булсалар.
Унда (9)
булади.
Исбот. (2) ни эсласак, (9) ифодадаги эхтимолни куйидаги куринишда езиш мумкин.
Р(|X_N-МХ_N|> ). Бу ифода Чебишев тенгсизлигига асосан кичик еки тенг булади.
булади. Яъни
(10)
Буни биз дисперсиянинг хоссаларидан фойдаланиб юзага келтирдик. (булар: узгармас купайтувчини квадратга кутариб дисперсия белгисидан ташкарига чикариш мумкин ва жуфт -жуфт узаро боглик булмаган тасодифий микдорлар йигиндисининг дисперсияси дисперсиялар йигиндисига тенг деган хоссалар)
Шундай килиб,
(11)
булади (11) да N®Ґ лимитга утсак (9) юзага келади.
Чебишев теоремаси хам исбот булди.
Бу теоремадан шундай натижага эришиш мумкин.
Натижа. Х бирор математик кутилиш М(Х)=а, чекли дисперсия D(X)=s² эга булса ва Х₁,Х₂,...,Х_N, шу тасодифий микдор устида утказилган N та узаро боглик булмаган кузатишлар натижалари булса, унда исталган кичик d>0 учун булади.
Бу демак текширишлар сони N канча катта булса 1 тенг эхтимол билан тасдиклаш мумкин, Х _N ва М(Х)=а фарки исталганча кичик, яъни Х_N»a олиш мумкин.
Бернулли теоремаси. Агар А ходисанинг юзага келиш эхтимоли Р(А)=р, M А ходиса устида утказилган N узаро боглик булмаган текширишлар натижасида А ни юзага келиш сони булса, унда харкандай d> 0 учун: булади.