|
Исследование свойств решений задачи реакции-диффузии с двойной нелинейностью с переменной плотностью
Рассмотрим в области задачу Коши для параболического уравнения с распределенными параметрами и с двойной нелинейностью
(1)
с начальным условием
, (2)
где, заданные параметры, и, - нетривиальная, неотрицательная, ограниченная и достаточно гладкая функция.
В последние годы стали интенсивно изучать неограниченные решения, являющиеся причиной наличия энерговыделения, химической реакции и др. Во многих физических процессах возникают именно такие решения (например, процессы горения). В связи с этим А.А. Самарский, С.П. Курдюмов, Галактионов В. А., Михайлов А. П., Васкес Х. и др. разработали теорию и практику исследования задач с режимом обострения применительно к уравнению (8.110) в случае, когда p=2 или m=1 [68,127-129]. Неограниченные решения были названы режимом с обострением (blow-up). Были развиты специальные методы исследования неограниченных решений нелинейных параболических уравнений, которые позволяют провести достаточно подробное исследование неограниченных решений на примере уравнения теплопроводности с источником общего вида.
Уравнение (1) описывает множество физических процессов например, процессы реакции-диффузии, теплопроводности, политропической фильтрации жидкости и газа в нелинейной среде.
В области, где или уравнение (1) является вырождающимся, что порождает определенные трудности как при качественном исследовании свойств решений, так и при численном её решении. В области вырождения задача (1),(2) может не иметь классического решения. Поэтому, в этом случае с физической точки зрения, разумно рассмотреть обобщенные решения, из класса непрерывных, ограниченных и неотрицательные функции с непрерывным потоками:
С задачами такого типа занимались много авторов.
А.В.Мартыненко и А.Ф.Тедеев [10]рассмотрели квазилинейное параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью следующего вида:
в предположение, что , либо - неотрицательная измеримая функция из класса и такая, что
.
Они нашли условия на параметры задачи, при которых решение задачи Коши взрывается за конечное время. Более того, получена точная универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения вблизи времени обострения.
В частности, I. Kombi [110] исследовал свойства положительных решений задачи (8.110) при . При , условие глобальной разрешимости задачи (8.110) получено в [110].
В настоящей работе исследована один из способов построения автомодельного уравнения к системе (1) и исследована глобальная разрешимость типа Фуджиты решений задача Коши, рассматривается влияние переменной плотности, оценка решений, устанавливается асимптотическое поведение автомодельных решений в зависимости от значения числовых параметров системы (1), выявлены критические случаи при котором меняется поведение решения. Показано, что коэффициент при главном члене асимптотики решения удовлетворяет некоторой системе нелинейного алгебраического уравнения.
Литературы
Самарский А.А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн. Ж. вычисл. матом, и матем. физ., 1963, 3, № 4, 702-719.
Kurduomov S.P., Kurkina E.S. Telkovskaya O.V. Blow-up in binary environment. Math. modeling, 1989, vol. 1, 34-50.
Dimova S.N., Kastchiev M.S., Koleva M.G., Vasileva D.P., Numerical analysis of the blow-up regimes of combustion of two-component nonlinear heat-conducting medium. JVM and MF, 35 (3), 1995, 303-3191.
Aripov M., Muhammadiev J. Asymptotic behavior of automodel solutions for one system of quasilinear equations of parabolic type. Buletin Stiintific-Universitatea din Pitesti, Seria Matematica si Informatica. N 3. 1999, 19-40.
Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyomov S.P., Mikhailov A.P., Blow-up in quasilinear parabolic equations. Berlin, 4, Walter de Grueter, (1995), 535.
Kersner R, Reyes J. Tesei A. One a class of nonlinear parabolic equations with variable density and absorption Advances Dif. Equations 2002, vol. 7, 155-176.
Aripov M. Approximate Self-similar Approach for Solving of Quasilinear Parabolic Equation, Experimentation, Modeling and Computation in Flow, Turbulence and Combustion. Wiley, 1997, vol. 2 , 19-26
Aripov M. Method of the standard equation for the solution of the nonlinear value problem. Tashkent, Fan, 1988, 137 p.
Do'stlaringiz bilan baham: |
