Ii tekislikda ikkinchi tartibli chiziqlar

II.2.Tekislikda ikkinchi tartibli chiziqlar
(Aylana, parabola, giperbola)
Analitik geometriyada ko’riladigan ikkinchi tartibli chiziqlarga parabola, giperbola, aylanma va ellips kiradi. Ikkinchi tartibli ixtiyoriy chiziq umumiy holda ikkita o’zgaruvchili ikkinchi darajali tenglama yordamida keltiriladi:
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)
A, B va C koeffistientlar nolga teng emas. Yuqorida nomlari qayd etilgan ikkinchi tartibli chiziqlar keltirilgan tenglamaning xususiy hollari.

Parabola
Avval parabola tushunchasini esga tushurib olamiz.
Parabola tenglamalari (1)gi ikkinchi tartibli chiziqlar tenglamalaridan hosil bo’ladi qachonki B koeffistienti 0 teng bo’lsa va A yoki C koeffistient ham 0 teng bo’lsa. Masalan, A=0 va C≠0, unda
Cy² + Dx + Ey + F = 0 (2)
Bu parabola tenglamasi simmetriya o’qi bilan va ordinat o’qiga perpedikulyar.
Agar A≠0, C=0 u holda:
Ax² + Dx + Ey + F = 0 (3)
Bunda parabola tenglamasi simmetriya o’qi bilan va abstsissa o’qiga perpedikulyar.
(2) va (3) tenglamalar o’zi bilan parabolani umumiy tenglamalarini keltiradi.
Parabolani kanonik tenglamalari:
Y² = 2px, qaerda p – parabola parametri;
X² = 2py – o’qi vertikal joylashgan parabola uchun.
Parabolani sxematik ko’rinishi 1 rasmda keltirilgan.

Giperbola
Ikkinchi tartibli chiziq (1) giperbola deb ataladi agar A va C koeffistientlar qarama qarshi belgilarga ega bo’lishsa, yani AC<0.

Giperbola tenglamasining kanonik ko’rinishi quydagicha:

Bu erda c – koordinatalar boshidan fokuslargachang bo’lgan masofa;
a - koordinatalar boshidan giperbolaning chukisigachang bo’lgan masova.
Oddiy holatda giperbola tenglamasi quydagicha:
Giperbola parabola o’xshash ko’riladi.


Aylana
Aylananing umumiy tenglamasi kuydagi ko’rinishga ega:

Ax² + Ay² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (4)

Odatda (4) umumiy tenglama aylamalar normal tenglamalari holatiga keltiriladi:
x² + y² = R²
Bu aylana tenglamasida markaz koordinatalar boshida R radiusi bilan.
(x – a)² + (y – b)² = R²
Bu aylana tenglamasi (a; b) markazi bilan.

Aylana qurish masalasi parabola va giperbolalarga nisbatan farqlanadi, negaki tenglamani y=f(x) ko’rinishiga keltirish kerak.

1. x²+y² = R² yuqori aylanasini x=[-3(0,2)3], R=3 diapazonida quring.

   
   

Aylanani qurish uchun (x va y) Avvalam bor tenglamani y-ga nisbatan yechish lozim:

MS EXCEL da ellips aylanaga o’xshash ko’riladi.
Ikkita nomalumli tenglamalr sistemalari taxminan grafik usulida yechish mumkin. Ularning yechimi chiziqlar kesilmalarining nuqtalar koordinatalari bo’lib ular tenglamalar tizimiga to’gri keladi.
Bunda yechilish aniqligi o’zgarish qadami bilan belgilanadi (qadam qancha kichik bo’lsa shunchalik aniqlik yuqori bo’ladi).