I. A. Eshchanov “Qo‘shimcha adabiyotlarning matematika fanini o‘qitishdagi ahamiyati” mavzusida o‘quv uslubiy qo‘llanma

I. A. Eshchanov

“Qo‘shimcha adabiyotlarning matematika fanini o‘qitishdagi ahamiyati” mavzusida o‘quv uslubiy qo‘llanma

Urganch-2016 yil

Taqrizchilar: B.Y.Sultanov-Xorazm VXTXQTMOI rektori,

fizika-matematika fanlari nomzodi.

A.Q.Babadjanov -Xorazm VXTXQTMOI “Tabiiy va aniq fanlar ta’limi” kafedrasi matematika fani o‘qituvchisi

Ushbu o‘quv uslubiy qo‘llanma Xorazm VXTXQTMOI ning 2016 yil

___ martdagi ilmiy kengashi tomonidan chop qilishga tavsiya etildi.

So‘z boshi

Umumiy o‘rta ta’lim maktablarida matematika fanini o‘qitishdan ko‘zda

tutilgan asosiy maqsadlardan biri o‘quvchilarda izchil mantiqiy fikrlash qobiliyatini shakllantirish , ularning matematik tushuncha va munosabatlarni

ongli o‘zlashtirishiga va hayotga tatbiq eta olishga o‘rgatishdan iborat. O‘quvchilarga matematikadan Davlat Ta’lim Standartlari talablariga mos ta'lim berishda faqat tasdiqlangan darslik bilan cheklanib qolmay, barcha zamonaviy axborot resurslaridan samarali foydalanish muhim ahamiyatga ega.

Ayniqsa, iqtidorli o‘quvchilar bilan individual shug’ullanishda ularni qo‘shimcha adabiyotlar, turli musobaqa va tanlovlar materiallari bilan taminlash , ularni o‘quvchilar o‘zlashtirishiga erishish katta samara beradi. O‘quvchilarni ,,Bilimlar bellashuvi“ va fan olimpiadasiga tayyorlashda foydalaniladigan qo‘shimcha adabiyotlarning ko‘pchiligida misol, masalalarning

sinflar bo‘yicha klassifikatsiya qilinmaganligi o‘quvchilar mustaqil o‘rganishida bir qancha qiyinchiliklar tug’diradi. Ushbu qo‘llanmada shunday muammo bo‘lmasligi uchun misol , masalalar o‘quvchi yoshiga mos guruhlarga ajratib keltirilgan. Matematikaga qiziquvchilarning ushbu qo‘llanma haqidagi tanqidiy fikr-mulohazalarini chuqur mamnuniyat bilan qabul qilaman.

Muallif

5– sinf uchun misol va masalalar

1.Raqamlarga doir masalalar.

1-Misol. x, y, k – turli raqamlar. Bu raqamlar orqali tuzilgan raqamlari takrorlanmaydigan barcha 3 xonali sonlar yig’indisi 5328 ga teng. Bu raqamlarni toping.

Yechish: Har qanday uch xonali sonni =100a+10b+c ko‘rinishda yozish

mumkin. + + + + + = 222( x+ y + z ) =5328

Bundan x+ y + z= 24. Faqat 7, 8, 9 raqamlari bu tenglikni qanoatlantiradi.

Javob: 7 , 8 , 9

2-Misol. 2007 sonining o‘ng tomonidan qanday 2 ta raqam tirkab yozilsa, 47ga bo‘linadigan 6 xonali son hosil bo‘ladi?

Yechish: 200700 sonini 47 ga bo‘lsak , 200700=47*4270 + 10 . Demak, 200700

soniga 37 ni qo‘shsak, hosil bo‘lgan son 47 ga qoldiqsiz bo‘linadi.

Javob: 3 va 7 raqamlari

3-Misol. 3728954106 sonida 3 ta raqamni shunday o‘chiringki, natijada mumkin bo‘lgan eng kichik 7 xonali son hosil bo‘lsin.

Yechish: Chapdan birinchi raqam eng kichik bo‘lishi uchun 37 o‘chiriladi.

So‘ng 2 dan keyingi katta raqam, yani 9 raqami o‘chiriladi.

Javob: 2854106

4-Misol. Oxirgi raqami o‘chirilganda 13 marta kichrayadigan barcha ikki xonali sonlarni toping.

Yechish: 10a + b = 13a , b = 3a . Bundan b raqami faqat 3, 6, 9 bo‘lishi

mumkinligi ayon bo‘ladi.

Javob: 13, 26, 39.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. 1 , 2 , 3 raqamlari orqali yoziladigan barcha turli raqamli 3 xonali xonali sonlar yig’indisini toping.

2. Agar 3 xonali son chetki raqamlari yig’indisi o‘rtadagi raqamga teng bo‘lsa, bu son 11 ga bo‘linishini isbotlang.

3. 1 dan 9 gacha raqamlar orasiga ,, + “ va ,, - “ ishoralarini qo‘yib 40 sonini

hosil qilish mumkinmi ?

4. 20007425 sonida 5 ta raqamni shunday o‘chiringki , mumkin bo‘lgan eng katta son hosil bo‘lsin.

5. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 raqamlari yozilgan 6 ta kartochkadan ayirmasi eng kichik

bo‘ladigan 2 ta 3 xonali son tuzildi. Bu ayirma nechaga teng?

6. 2003 xonali B soni faqat 1 raqamidan tuzilgan. Shu B sonini 2003 ga ko‘paytmasi necha xonali son bo‘ladi?

7. Lola 10 ga bo‘linmaydigan 2 xonali sonlardan birining raqamlari o‘rnini almashtirdi. So‘ngra dastlabki va hosil qilingan sonlar ayirmasini hisobladi. Ayirma eng ko‘pi bilan nechaga teng bo‘lishi mumkin?

8. 59876 soni yozuvida 5 ta ketma – ket keluvchi raqam ishlatilgan. Bu sondan keyingi shunday xossali sonning 3- raqami nechaga teng bo‘ladi?

9. 125 sonida istalgan 2 ta raqami farqi 2 martadan kam emas. Yozuvida

0 raqami qatnashmagan nechta 3 xonali son shunday xossaga ega?

10. 11 ta natural sonni istalgan ketma – ket 3 tasining yig’indisi 21 ga teng bo‘ladigan qilib yozildi, 1- o‘rinda 7 soni, 9 – o‘rinda 6 soni bo‘lsa, 2 – o‘rinda qaysi son turadi?

11. Turli harflar turli raqamlarni, bir xil harflar bir xil raqamlarni bildiradigan

ko‘paytma tuzilgan: K × E × N × G × U × R× U =

Agar ko‘paytmaning birlar xonasidagi raqam 4 ga bo‘linmasligi ma’lum bo‘lsa, shu raqamni aniqlang.

12. Raqamlari yig’indisi 4 ga teng, raqamlari ko‘paytmasi esa 0 ga teng bo‘lgan nechta 4 xonali son bor?

Mantiqiy masalalar.

1-Misol. 4 ta bir xil tangadan bittasi qalbaki , lekin og’irroq yoki yengilligi noma’lum. Toshlarsiz pallali tarozida eng kamida necha marta o‘lchash orqali qalbaki tangani aniqlash mumkin?

Yechish: 1- o‘lchashda har pallaga bitta tanga qo‘yiladi . Agar teng kelsa ular

ikkalasi ham haqiqiy, aks holda ulardan bittasi qalbaki, 2- juftlik haqiqiy

bo‘ladi. 2- o‘lchashda birinchi pallaga haqiqiy tangalardan birini, 2- pallaga

shubhali tangalardan birini qo‘yiladi . Tarozi muvozanati qanday bo‘lsa ham

qalbaki tanga ma’lum bo‘ladi .

Javob: 2 marta

2-Misol. A shahardan B shaharga 3 ta yo‘l bor . B shahardan D shaharga 5 ta yo‘l bor. A dan D ga B orqali necha xil marshrut bilan borsa bo‘ladi ?

Yechish: A dan B ga boradigan 3 yo‘ldan har biriga 5 xil marshrut to‘g’ri

keladi. Demak, A dan D ga 3*5=15 xil marshrut bilan borsa bo‘ladi.

Javob: 15 xil

3-Misol. Stoldagi 35 ta tarelkadan 20 tasi to‘g’ri , 15 tasi to‘ntarib qo‘yilgan. Har gal istalgan 2 ta tarelkani olib to‘ntarib qo‘yish mumkin bo‘lsa, barcha tarelkalar to‘g’ri turishi uchun bu amalni kamida necha marta bajarish kerak bo‘ladi?

Yechish: Har qanday 2 ta tarelka holatini o‘zgartirganda ham to‘g’ri turmagan tarelkalarning jami soni toqligicha qoladi . Shuning uchun barcha tarelkalar to‘g’ri turishi mumkin emas.

Javob: Iloji yo‘q.

4-Misol. Bezori Vasya devoriy gazetani 10 bo‘lakga bo‘ldi. Keyin ba’zi bo‘laklarini har birini yana 10 bo‘lakga bo‘ldi va hokazo. Ertasiga 2007 ta gazeta bo‘lagini topishdi. Barcha bo‘laklar topilgan bo‘lishi mumkinmi?

Yechish: Har bir qog’ozni bo‘laklaganda jami qog’ozlar soni 9 taga ortadi.

Demak , n – bo‘laklashdan keyin qog’ozlar soni 1 +9n bo‘ladi . 2007=9*223+0

bo‘lgani uchun barcha bo‘laklar soni 2007 bo‘lishi mumkin emas.

Javob: Barcha bo‘laklar topilmagan.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. Buvisi necha yoshda bo‘lsa, nabirasi shuncha oylik. Ularning yoshlari yig’indisi 78 bo‘lsa, buvi va nabira har biri necha yoshda?

2. • • • 9 ta nuqtadan qalamni uzmasdan 4 ta kesma

• • • o‘tkazing, bunda har bir nuqtadan bir marta

• • • chiziq o‘tsin.

3. Bolakayning opalari va akalari soni teng. Uning opasining opalari akalaridan 3 marta kam. Bu oilada nechta o‘g’il va necha qiz bor?

4. 2 ta poyezd bir – biriga qarab parallel harakatlanmoqda. Birining tezligi 60 , 2- siniki 75 . 2 – poyezdda o‘tirgan yo‘lovchi yonidan 1- poyezd 4 sekundda o‘tganini aniqladi . 1- poyezdning uzunligini toping.

5. 10 ta qog’oz varag’idan bir nechtasini o‘quvchi har birini 4 ga bo‘ldi.

Natijada 28 ta qog’oz bo‘ldi . Nechta qog’oz varag’i maydalangan?

6. Qaysidir oyda 3 ta shanba juft kunlariga to‘g’ri keldi. 25 – kun haftaning

qaysi kuniga to‘g’ri keladi?

7. 7 sm va 12 sm li kesmalardan necha xil usul bilan 1 m li kesma hosil qilish mumkin?

8. Bir oilada 5 ta aka – uka bor. Ularning har birining 1 tadan singlisi bor. Oilada jami nechta farzand bo‘lgan ?

Foizga doir masalalar.

1-Misol. To‘g’ri to‘rtburchakning enini 40% ga uzaytirildi, bo‘yi esa 40% ga qisqartirildi. Uning yuzi necha % ga va qanday o‘zgargan?

Yechish: Dastlabki to‘g’ri to‘rt burchakning eni ---- a

Dastlabki to‘g’ri to‘rtburchakning bo‘yi ----- b

Dastlabki to‘g’ri to‘rtburchakning yuzi ---- a*b

Yangi to‘g’ri to‘rt burchakning eni ---- a*1,4

Yangi to‘g’ri to‘rt burchakning bo ’yi ---- b*0,6

Yangi to‘g’ri to‘rt burchakning yuzi ---- (a*1,4)( b*0,6)=a*b*0,84

Javob: 16 % ga kamaygan .

2-Misol. 2 ta son yig’indisi 51 ga teng. 1-sonning 30% i 2-sonning 60% iga teng bo‘lsa, bu sonlarni toping.

Yechish: 1- son ---- x, 2- son ---- 51 – x. U holda 0,3x = 0,6(51 – x)

Bundan x=34, 51 – x = 17

Javob: 34 va 17

3-Misol. Toshko‘mir tarkibida 1% suv bo‘ladi. Suv sepilsa, u suvni shimib olib tarkibida 10% suv bo‘ldi. Bunda 100 t toshko‘mir qanchaga og’irlashadi?

Yechish: 100 tonna toshko‘mir tarkibida dastlab 1 tonna suv, 99 tonna quruq

ko‘mir bo‘lgan . Keyin 99 soni 90 % mos kelgan. U holda 99 : 90*100=110 .

Demak, 110 – 100 = 10 tonnaga og’irlashgan.

Javob:10 tonna

4-Misol. Sutkaning o‘tgan vaqti qolgan vaqtining 25% iga teng bo‘lsa, hozirgi vaqtni aniqlang.

Yechish: Sutkaning qolgan vaqti ---- x, o‘tgan vaqti ---- 24 – x. U holda

0,25x = 24 – x. Bundan x = 19,2 soat.

Demak, hozirgi vaqt 24 – 19,2 = 4,8 soat.

Javob: Soat 4 dan 48 minut o‘tgan .

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. 720 g suvda 80 g tuz eritilgan bo‘lsa , eritmaning konsentratsiyasini aniqlang.

2. 15000 sonini shunday 2 ta songa ajratingki , 1-sonning 5% i va 2-sonning 7% i yig’indisi 15000 ning 6,5 % iga teng bo‘lsin.

3. Har bir qirrasi 10% ga uzaytirilsa, kub hajmi necha % ga ortadi?

4. To‘g’ri to‘rtburchakning bir tomoni uzunligi 25% ga kattalashtirildi. Yuzi o‘zgarmasligi uchun 2- tomoni uzunligini necha foizga kamaytirish kerak?

5. Eski soatdagi soat va minut millari ikkalasi ham keragidan 20% tez aylanadi. Agar sutka boshlanishida soatdagi vaqt to‘g’rilangan bo‘lsa, tongda da bu soat nechani ko‘rsatadi ?

6. O‘qituvchi ta’til oldidan a’lochi Petya va ikkichi Vasyaga yechish uchun

masalalar berdi. Petyaga Vasyanikidan 4 marta ko‘p masala berdi. Ta’til

tugagach tekshirilganda ularning yechgan masalalari soni teng, Vasyaning yechgan masalalari foizi Petyaning yechmagan masalalari foiziga tengligi ma’lum bo‘ldi. Petya necha foiz masalani yechgan?

7. Bayramda Anna va Bertaning uyiga mehmonlar kelishdi. Anna mehmonlarning 80% ini, Berta 60% ini tanir ekan. Agar har bir mehmon hech bo‘lmaganda Anna va Bertadan birini tanisa va 6 nafar mehmon ikkalasini ham tanishi bo‘lsa, nechta mehmon kelgan?

8. Non yopish uchun un va suv teng miqdorda olinadi. Tandirda xamir o‘z og’irligining 30% ini yo‘qotadi. 7 tonna non yopish uchun qancha un olish kerak?

6 – sinf.

Natural sonlarga doir masalalar.

1-Misol. a soni b sonidan 7 marta katta, b soni c sonidan 5 marta kichik. a, b, c sonlarining EKUB i va EKUK ini toping.

Yechish: a = 7b , c = 5b bo‘lgani uchun EKUB(a;b;c) = b va EKUK(a;b;c)=35b

bo‘ladi.

Javob: EKUB(a;b;c) = b, EKUK(a;b;c)=35b

2-Misol. Agar 2 xonali sondan uning raqamlari yig’indisi ayirilsa, shu raqamlar bilan teskari tartibda yozilgan son hosil bo‘ladi. Berilgan sonni toping .

Yechish: = 10a + b , 10a + b – ( a + b ) = 10b + a ⇨ 4a = 5b. Bundan a ning

5 ga, b ning 4 ga karrali ekanligi kelib chiqadi . Demak , a = 5 , b = 4.

Javob: 54

3-Misol. 7 ga bo‘lganda 5 qoldiq , 19 ga bo‘lganda 9 qoldiq qoladigan barcha ikki xonali sonlarni toping.

Yechish: Izlanayotgan son ---- N = 10a + b, N = 7n + 5, N = 19m + 9.

Bundan 1≤ m ≤ 4 bo‘lgani uchun N = 47 aniqlanad.

Javob: 47

4-Misol. 134444431 soni tub sonmi?

Yechish: Berilgan sonni 134444431= 111111100 + 22222220 + 1111111 ko‘rinishda yozish mumkin . Bundan bu sonning 1111111 ga karrali ekanligi ma’lum bo‘ladi.

Javob: murakkab son

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. Yulduzchalar o‘rniga qanday raqamlar qo‘yilsa , 76*4*8 soni 72 ga qoldiqsiz bo‘linadi ?

2. Turli raqamli uch xonali son berilgan . =a +b +c bo‘lsa, 3 xonali

sonni toping.

3. 7*462* olti xonali son 12 ga bo‘linadi. Shunday sonlardan eng kattasi va

eng kichigini aniqlang.

4. Oxirgi raqamini toping:

2001* 2002 * 2003 * 2004 * 2005 + * =

5. Agar 2 xonali son raqamlari orasiga 1 raqami yozilsa , hosil bo‘lgan 3 xonali son dastlabki sondan 9 marta katta bo‘ladi . Ikki xonali sonni toping.

6. Raqamlari yig’indisi o‘zining yarmiga teng bo‘lgan barcha ikki xonali sonlarni toping.

7. 6 ga ko‘paytmasi biror natural son kubi bo‘lgan barcha 3 xonali sonlarni toping.

8. 777 ….77 soni 19 ga bo‘linsa, uning necha xonali sonligini aniqlang.

9. Raqamlari yig’indisi 100 ga teng bo‘lgan eng kichik natural sonni toping.

10. 2 xonali sondan uning raqamlari ko‘paytmasining ayirmasi uning raqamlari yig’indisining uchlanganiga teng. Bu sonni toping.

6 – sinf:

Kasrlarga doir masalalar.

1-Misol. Kasrlarni taqqoslang : va

Yechish: Berilgan kasrlarning 1 ga to‘ldiruvchisini aniqlaymiz:

1 - = , 1 - = . › bo‘lgani < .

Javob: < .

2-Misol. Kasrning to‘g’ri kasr yoki noto‘g’ri kasrligini aniqlang: =

Yechish: = = =

Javob: to‘g’ri kasr

3-Misol. Berigan , , , sonlarini kamayish tartibida yozing.

Yechish: Agar to‘g‘ri kasrning surati va maxrajiga bir xil musbat son qo‘shilsa, kasr qiymati kattalashadi .

Javob: < < <

4-Misol. Yig’indini hisoblang:

. . . +

Yechish: = ( - ) , = ( - ), ……

U holda . . . +

= ( - + - +……+ - )=

= ( - )=

Javob:

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. Suratiga 17 ni, maxrajiga 13 ni qo‘shganda qiymati o‘zgarmaydigan kasrni

toping. Bunday kasrlarning umumiy ko‘rinishini aniqlang .

2. va ga bo‘lganda bo‘linma butun son chiqadigan eng kichik natural

sonni toping.

3. o‘rniga shunday sonni qo‘yingki, - = tenglik to‘g’ri bo‘lsin.

Barcha yechimlar aniqlansin.

4. kasrning istalgan butun n da qisqarmasligini isbotlang.

5. Qanday tog’ri kasrning suratiga maxrajidagi son qo‘shilsa , 7 marta ortadi.

6.Agar kasrning surati 50 % ga orttirilib , maxraji 50 % ga kamaytirilsa, kasr

qiymati qanday o‘zgaradi?

7. sonini surati 1 ga teng bo‘lgan oddiy kasrlar yig’indisi o‘rinishida yozish

mumkinligini isbotlang.

6 – sinf.

Ishga doir va harakatga doir masalalar.

1-Misol. Poyezd bir xil tezlikda tinch turgan odam yonidan 7 sekundda, tinch turgan uzunligi 378 metr bolgan poyezd yonidan 25 sekundda o‘tib ketdi. Poyezdning uzunligini toping.

Yechish: Poyezd uzunligini x bilan belgilasak, poyezdning tezligi yoki ga teng bo‘ladi . Bundan = . Bu tenglamani yechib x = 147 ni topamiz.

Javob: 147 metr

2-Misol. Hovuzni 1– quvur 5 soatda to‘ldiradi , 2 – quvur 6 soatda bo‘shatadi. Ikkala quvur teng ochib qo‘yilsa, hovuz necha soatda to‘ladi?

Yechish: 1- quvur 1 soatda hovuzning qismini to‘ldiradi, 2- quvur 1 soatda hovuzning qismini bo‘shatadi. Ikkala quvur teng ochib qo‘yilsa 1 soatda

hovuzning qismini to‘ldiradi. Demak, hovuz 30 soatda

to‘ladi.

Javob: 30 soat

3-Misol. Avtobus A dan B gacha 60 , B dan A gacha 40 tezlik bilan yurdi. Avtobusning o‘rtacha tezligi qancha?

Yechish: Agar A dan B gacha masofani S bilan belgilasak , uning o‘rtacha

tezligi ga teng bo‘ladi.

Javob: 48

4-Misol. Futbol turnirida 7 guruh qatnashdi va 14, 13, 9, 8, 7, 4, 3 ochko olishdi. G’alaba uchun 3 ochko, durang uchun 1 ochko, mag’lubiyat uchun 0 ochko berilgan. Turnirda nechta o‘yin durang natija bilan tugagan?

Yechish: Turnirda jami 7*6:2=21 o‘yin o‘tkazilgan. Agar barcha o‘yinlar qaysidir guruh g’alabasi bilan tugaganida jami ochkolar soni 21*3=63 bo‘lar edi. Lekin jami ochkolar soni 58 bo‘lgan . har durangda 1 ochko yo‘qotilgani uchun duranglar soni 63 – 58 = 5.

Javob: 5 ta durang.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. Usta bir o‘zi ishni 3 kunda bajaradi. Shogirdi bilan birga 2 kunda bajaradi.

Shogird bir o‘zi shu ishni necha kunda bajaradi?

2. A nuqtada turgan it 30 m uzoqlikdagi tulkini quva boshladi. Itning bir sakrashi 2 metr, tulkining sakrashi 1 metr. It tulkini tutish uchun necha metr yugurishi kerak?

3. Xona polidan devor bo‘ylab tik yuqoriga 2 ta o‘rgimchak tirmashyapti. Shift gacha chiqib, ular pastga tushishdi. Bunda birinchisi yuqoriga va pastga bir xil tezlikda harakatlandi . Ikkinchisi esa 1-siga qaraganda 3 marta sekin ko‘tarilib, 3 marta tezroq tushdi. Qaysi o‘rgimchak oldin tushgan?

4. Malikaning soati har bir soatda 2 minutga kechikadi . Hozir radioda ,, soat 12 bo‘ldi “deyilgan bo‘lsa va Malika 5 soat oldin soatidagi vaqtni to‘g’rilagan bo‘lsa, yana qancha vaqtdan so‘ng Malikaning soatida 12 bo‘ladi?

5. Hovuzni 4 ta buloqdan 1 – si 1 kunda, 2 – si 2 kunda, 3 – si 3 kunda, 4 – si

4 kunda to‘ldiradi. 4 ta buloq birgalikda hovuzni necha kunda to‘ldiradi?

6. 100 ta sichqon 100 kunda 200 kg donni yeydi . 10 ta sichqon 10 kunda qancha don yeydi?

7. Ikki brigada hosilni 12 kunda yig’ib olishi kerak edi. 8 kun birgalikda ishlaganlaridan so‘ng 1 – brigada boshqa topshiriq oldi va qolgan ishni 2 – brigada 7 kunda tamomladi . Agar alohida ishlaganda 2 – brigada 1 – brigadadan necha kun oldin hosilni yig’ib olgan bo‘lar edi?

7– sinf.

Algebraik masalalar.

1-Misol. Tenglamani butun sonlarda yeching: x * y = x + y + 4

Yechish: xy – x – y – 4 = 0 dan (x – 1 )(y – 1 )=5 ni hosil qilamiz. Bundan

, , ,

chiziqli tenglamalar sistemalarini olamiz va ulardan 4 xil yechim aniqlanadi.

Javob: (6;2), (2;6), (-4;0), (0;-4)

2-Misol. + + 1 ko‘phadni 3 ta ko‘paytuvchiga ajrating.

Yechish: x⁸ + x⁴ +1 =x⁸ + 2x⁴ + 1 – x⁴ = ( x⁴ + 1)² – x⁴ =( x⁴ – x² + 1)( x⁴ + x² + 1)= =( x⁴ – x² + 1 ) ( ( x² + 1 )² – x² ) = ( x⁴ – x² + 1 ) ( x² – x + 1 ) ( x² + x+ 1 ).

3-Misol. 3 + 16 ikkihadni 3 ta kvadrad yig’indisi ko‘rinishida ifodalang.

Yechish: 3x⁴ + 16 = x⁴ + 4x³ + 4x² + x⁴ – 4x³ + 4x² + x⁴ – 8x² + 16 = ( x² + 2x )² + + ( x² – 2x )² + ( x² – 4 )² .

4-Misol. Istalgan n Є N da + 17n ning 6 ga bo‘linishini isbotlang.

Yechish: n³ + 17n = ( n³ – n ) + 18n = ( n – 1 ) n ( n + 1 ) + 18n. 3 ta ketma – ket

natural son ko‘paytmasi albatta 6 ga bo‘linadi va har bir qo‘shiluvchi 6 ga

bo‘lingani uchun yig’indi ham 6 ga bo‘linadi.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. + x + 1 ko‘phadni butun koeffitsiyentli 2 ta ko‘paytuvchiga ajrating.

2. O‘zining raqamlari yig’indisining kvadratiga teng bo‘lgan 2 xonali sonlarni toping.

3. x Є N bo‘lsa, + + yig’indining qiymati qanday raqam

bilan tugaydi?

4. Shunday 3 xonali son topingki , u o‘zining raqamlaridan tuzish mumkin bo‘lgan barcha 2 xonali sonlar yig’indisiga teng bo‘lsin.

5. + ifodani 6 ta kvadrat yig’indisi ko‘rinishida yozish mumkinligini isbotlang.

6. bo‘lsa, 3 ifodaning qiymatini toping.

7. m va n shunday natural sonlark, 3m + 4n soni 13 ga bo‘linadi. U holda

28m + 98n soni ham 13 ga bo‘linishini isbotlang.

8. Ko‘paytuvchilarga ajrating: – 1=

9. Ko‘paytuvchilarga ajrating:

10. Ko‘paytuvchilarga ajrating:

11. Tenglamani natural sonlarda yeching: 19x + 15y = 1915

7 – sinf.

Geometrik masalalar.

1-Misol. Uchburchakning ikki tomoni mos ravishda 2 sm va 13 sm. 3– tomoni 7 ga karrali butun santimetrda ifodalansa, uni toping.

Yechish: Uchburchak tengsizligiga ko‘ra 3 – tomon uzunligi 11 dan katta, 15

dan kichik bo‘lishi kerak. 7 ga karrali bo‘lgani uchun 3–tomon uzunligi

14 sm ga teng bo‘ladi.

2-Misol. ABCD kvadratning AB tomonida ixtiyoriy M nuqta olindi. CDM burchakning bissektrissasi BC tomonni N nuqtada kesib o‘tadi. AM + NC = DM bo‘lishini isbotlang.

Yechish: A M B ABCD kvadratda ∠MDN=∠NDC=α

N AM=x, CN=y, DM= z deb olsak,

I.Q.K: z = x + y

D C Isbot: BC tomon davomida CF=x

F kesmani qo‘yib, F va D nuqtalarni

tutashtiramiz. ΔADM=ΔDCF bo‘lgani uchun ∠ADM=∠FDC=β va DM=DF=z.

U holda ∠ADN=∠FDN= β+ α. ∠CDN= α bo‘lgani uchun

β+ α=90⁰- α=∠CND.

∠FDN=∠FND ⇨ ΔFDN -- teng yonli ⇨ DF=FN yoki z = x + y. Isbot tamom.

3-Misol. M N ABM = 70 + x – y

ABM –CBN = 50 + 2x – 2y

A _B C I . Q . K : MB _┴ BN

Isbot: CBN=ABM-(50⁰ + 2x – 2y)= 70 + x – y - 50 - 2x + 2y =20 - x + y.

U holda ABM + CBN=70 + x – y +(20 - x + y )= 90 . Demak,

MBN=180⁰ – (ABM + CBN)= 90 , yani MB _┴ BN . Isbot tamom.

4-Misol. C ABC da AC = BC,

AD – mediana , AB = 8 m,

D P_ACD – P_ABD = 2 m bo‘lsa,

AC va BC ni toping.

A B

Yechish: P_ACD – P_ABD=AC – AB=2 m .U holda AC = BC =10 m.

Javob: 10 m.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. PLR va RLS qo‘shni burchaklar ekanligi ma’lum va RLS kattaligi

PLR ning 80 % iga teng . Bu burchaklar kattaligini toping.

2. Bitta kateti uzunligi a va gipotenuza bilan 2 – katet ayirmasi b ga ko‘ra to‘g’ri burchakli uchburchak yasang.

3. ABC uchburchakda A =60 . B va C uchlari bissektrisalari kesishganda hosil bo‘lgan burchakni aniqlang.

4. Sirkul va chizg’ich yordamida 54 li burchakni 3 ta teng burchakka ajrating.

5. MSN uchburchakda M = 35 , N = 25 , MK = SK , SP = PN .

KSP ni toping .

6. To‘g’ri burchakni 3 ta teng burchakga ajrating .

7. ABC uchburchak ichki sohasida shunday bir K nuqta olinganki, ABK=30, KAB = 10 , ACB = 80 va AC = BC. AKC ni toping.

8. Yon tomoniga o‘tkazilgan balandligi va medianasi bo‘yicha teng yonli

uchburchak yasang.

8– sinf.

Algebraik masalalar.

1-Misol. Taqqoslang:

Yechish: a= + , b= 2

a² = 4012 + 2 = 4012 + 2

b² = 42006= 4012 + 2 , b² > a² b > a

Javob: 2 > + .

2-Misol. Kvadrat tenglama diskriminanti 2007 ga teng bo‘lishi mumkinmi?

Yechish: Juft sonlar kvadratlarining oxirgi 2 ta raqami 00, 04, 16, 24, 36, 44, 56 , 64 , 76 , 84 , 96 bo‘lishi mumkin . Toq sonlar kvadratlarining oxirgi 2 ta

raqami 01, 09, 21, 25, 29, 41, 49, 61, 69, 87, 89 bo‘lishi mumkin.

D= b² – 4ac = 2007 bo‘lsa , b² -2007= 4ac soni b≥45 da 4 ga bo‘linmaydi.

Demak, D= 2007 bo‘lishi mumkin emas.

3-Misol. Agar x+y+z =0 bo‘lsa , ifoda qiymatini toping.

Yechish: = = 3.

Javob: 3.

3-Misol. Tenglamani yeching : – (x-1) (5 -4x+ 4) =0

Yechish: Tenglamaning ikkala qismini ham (x – 1 )² ga bo‘lib,

( )² – 5 + 4 = 0 tenglamani olamiz. = y deb olib, yangi o‘zgaruvchi kiritish usuli bilan yechamiz.

Javob: x = 2 .

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. tenglamani natural sonlarda yeching.

2. tenglamaning butun sonlardagi kamida 19 xil yechimini toping.

3. Kafe menyusida 5 xil birinchi , 8 xil ikkinchi , 4 xil uchinchi ovqatlar bor. Necha xil uslubda 3 ovqatli tushlik tanlash mumkin?

4. Taqqoslang:

5. sonlari +3x + m =0 tenglama ildizlari. m ning qanday qiymatida ││ = 6 tenglik o‘rinli bo‘ladi?

6.Tenglamalar sistemasini yeching:

7. 2 – 5x + 6 ni 2 ta kvadratlar yig’indisi ko‘rinishida ifodalang.

8. sonlari +ax-5a+1=0 tenglamaning ildizi bo‘lsa, a ning shunday qiymatini topingki, ifodaning qiymati eng kichik bo‘lsin.

9. Tengsizlikni yeching: │ x+1│-│x-2│< 3

10. a va b ning qanday qiymatlarida ko‘phad to‘la kvadratga aylanadi?

11. a parametrning qanday qiymatlarida + (6 – a - )x - tenglama Ildizlari kublarining yig’indisi 0 ga teng bo‘ladi.

8-sinf.

Geometrik masalalar.

1-Misol. Tomonlari uzunligi Pifogor sonlaridan iborat, yuzi son qiymati jihatidan perimetriga teng bo‘lgan uchburchak tomonlarini aniqlang.

Yechish: a va b – katetlar, c – gipotenuza bo‘lsin. a ≥b olsak, ab = a + b + c,

c = . U holda ab – 2 ( a + b ) = 2 ⇨ a² b² – 4ab ( a + b )+

+ 4 ( a + b )² = 4 (a² + b² ) ⇨ ab ( ab – 4 ( a + b ) + 8 ) = 0 ⇨

⇨ ab – 4 ( a + b ) + 8 = 0 ⇨ ( a – 4 ) ( b – 4 ) = 8

Bu tenglamada 2 ta tenglamalar sistemasi tuzib, a = 12 , b = 5 , c = 13 va a = 8, b = 6 , c = 0 ekanligini aniqlaymiz .

Javob: ( 12 ; 5 ; 13 ), ( 8; 6 ; 10 ).

2-Misol. ABCD trapetsiyada AD || BC , AD > BC . AC diogonalida E nuqta shunday olinganki, BE || CD . S_ABC = S_DEC ekanligini isbotlang.

Yechish: B C Isbot : Shartga ko‘ra BCDE – trapetsiya .

E Shuning uchun S_DEC = S_DBC bo‘ladi .

A D Xuddi shunda ABCD trapetsiyadan

S_DBC = S_ABC ⇨ S_DEC = S_ABC Isbot tamom.

3-Misol. ABCD trapetsiyada AD || BC , S_ACD = 32 m² , S_DCB = 13 m².

ABCD trapetsiya yuzini toping .

Yechish: B C ABCD trapetsiya balandligi h bo‘lsin .

E h S_DCB = S_ABC .

A D

S_ABCD = S_ACD + S_ABC = 32 + 13 = 45 ( m² )

Javob: 45 m² .

4-Misol. Trapetsiyaning 3 ta tomoni uzunligi 10 dm dan, o‘tkir burchagi esa 60 . Trapetsiyaga ichki chizilgan aylana markazi va kichik asos uchini tutashtiruvchi kesma uzunligini toping .

Yechish: N M NM || KL

o Oo KN = NM = ML = 10 dm .

∠K = ∠L = 60 ON = OM = ?

K L ∠ONK + ∠OKN = 90 , ∠OKN = 30

∠ONK = 60 ∠ONM = ∠ONK = 60 ,

ΔONM – teng yonli va ∠ONM = 60 Demak , ΔONM – teng tomonli .

U holda ON = OM = 10 dm.

Javob: ON = OM = 10 dm.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. ACBM parallellogrammda AC =16 m , CB = 24 m , CE va CF kesmalar – mos ravishda AM va BM tomonlariga o‘tkazilgan balandliklaridir. ECF=60 bo‘lsa, CE balandlik uzunligini toping.

2. Trapetsiya asoslari a va b ga teng. Diagonallari o‘rtalarini tutashtiruvchi

kesma uzunligini toping.

3. To‘g’ri burchakli trapetsiyaga tashqi chizilgan aylana markazidan katta yon

tomoni 6 dm va 8 dm. Trapetsiya o‘rta chizig’i uzunligini toping.

4. Gipotenuzasi va unga tushirilgan balandlik yig’indisiga ko‘ra teng yonli to‘g’ri burchakli uchburchak yasang.

5. Qavariq ko‘pburchak tomonlari va diagonallari soni yig’indisi 21 ga teng. Ko‘pburchak tomonlari sonini toping.

6. To‘g’ri burchakli uchburchak gipotenuzasi 3 metr . Agar katetlardan birining uzunligi % ga , ikkinchisini 16 % ga uzaytirib yig’indisi hisoblanganda 14 m ga teng bo‘lsa , katetlarini toping.

7. Tomoni a ga teng bo‘lgan kvadratda 2 ta qo‘shni tomonlari o‘rtalari va kvadratning qarama – qarshi uchi tutashtirildi. Hosil qilingan uchburchak yuzini hisoblang.

8. Teng yonli trapetsiya yuzi 180 sm ² . Agar yon tomoni 13 sm, katta asosi 20 sm bo‘lsa, kichik asosi uzunligini toping.

Foydalanilgan adabiyotlar royhati:

1. Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.

Ростов на Дону. 2008й.

2. “Kenguru” xalqaro tanlovi misol, masalalari.

3. Petrakov I. S. Matematika to‘garaklari. Toshkent. O‘qituvchi – 1991yil.

M U N D A R I J A:

So‘z boshi ……………………………………………………………. 3

1. Raqamlarga doir masalalar …………………………………….. .4

2. Mantiqiy masalalar ………………………………………………..6

3. Foizga doir masalalar ……………………………………………..7

4. Natural sonlarga doir masalalar ………………………………..10

5. Kasrlarga doir masalalar ………………………………………...12

6. Ishga doir va harakatga doir masalalar ………………………13

7. 7 – sinf. Algebraik masalalar ………………………………. ......15

8. 7 – sinf. Geometrik masalalar …………………………………...17

9. 8 – sinf. Algebraik masalalar ……………………………………19

10. 8 – sinf. Geometrik masalalar.. …………………………………20

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati ……………………………….. 23