Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masala Biz I bobda uchlari mahkamlangan torning tebranishi haqi

Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masala
Biz I bobda uchlari mahkamlangan torning tebranishi haqi-
dagi fizik masalani ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglama, ya!ni
giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalaga kelishini
ko‘rdik. Ushbu paragrafda yuqorida aytilgan masalaning qo‘yilishi,
yechimning yagonaligi va mavjudligini batafsil o'rganamiz.
M a s a l a n i n g q o ‘ y il is h i. Y e c h im n in g y a g o n a l i g i.
Biror chekli sohada bir
jinsli torning majburiy tebranishini ifodalovchi ushbu


bir jinsli bodmagan tor tebranish tenglamasini qaraylik,
bu yerda - torning uzunligi, - musbat son, - torning zichligi, -torning taranglik kuchi,
esa torga ta’sir qilayotgan tashqi
kiichlarning yig‘indisi.
A r a l a s h MASALA. Yopiq D sohada aniqlangan va quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya toping:
1) funksiya yopiq D sohada ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi va tenglamani qanoatlantirsin, yani

bo’lsin.
2) funksiya ushbu
, ,
boshlang'ich shartlarni qanoatlantirsin:
3) funksiya D sohaning chegarasida quyidagi
, , ;
shartlarni qanoatlantirsin; bu yerda , , , va berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
1—TEOREMA. Agar ( l ) - ( 3 ) aralash masalaning yechimi mavjud
bo‘lsa, u holda bu yechim yagona bo'ladi.
Is b o t . Faxaz qilaylik, ( l ) - ( 3 ) masala va yechimlarga ega bo‘lsin. U holda bu yechimlarning ayirmasi bo’lib, funksiya bir jinsli

tor tebranish tenglamasini hamda bir jinsli boshlang‘ich


va chegaraviy .


shartlarni qanoatlantiradi.
Bir jinsli (4)-(8 ) masalaning yechimi bo'lganda aynan nolga teng ekanligini isbot qilamiz.
Buning uchun quyidagi

integralni qaraylik.
Bu integral torning bir jinsli chegaraviy shartlar bilan erkin
tebranish energiyasi saqlanish qonunining matematik ifodasi b o ‘Iib,
u torning to‘la energiyasi deyiladi.
Chunki torning t vaqtdagi elementining kinetik
energiyasi

ko'rinishda b o ‘ladi.
Torning t vaatdagi elementining potensial energiyasi
taranglik kuchining bajargan ishi b o ‘lib, u quyidagi

formula bilan aniqlanadi.
Demak, (9) formula torning ko'ndalang tebranishining to ‘la
energiyasi bo'lib, u torning energiyalari integrali deyiladi.
Endi (9) integralning t vaqtga bog‘liq emasligini ko'raylik.
Buning uchun (9) formulaning t b o ‘yicha hosilasini hisoblaymiz:


Bir jinsli chegaraviy shartlardan
, ;
ekanligi kelib chiqadi. Bu shartlarni inobatga olib (10) formulaning
ikkinchi qo‘shiluvchisini x bo'yicha 0 dan l gacha b o ‘laklab
integrallaymiz, natijada

ifodani olamiz. Topilgan (11) ifodani (10) formulaga qo'yib, bir jinsli
( 4) tor tebranish tenglamasini inobatga olsak,

tenglikni olamiz.
Oxirgi tenglikdan uchun E(t) = const ekanligi lcelib
chiqadi. Shuning uchun bir jinsli b o ‘hnagan boshlang‘ich shartlarda

Bu formuladan ko‘rinadiki, uchlari mahkamlangan torning erkin
ko'ndalang tebranishining to ‘la energiyasi ixtiyoriy vaqtda o ‘zgarmas
va u torning boshlang'ich energiyasiga teng b o ‘ladi.