Har bir tebranish energiyasi kvanti ga teng, o’rtacha energiyasi

4.2. Kristall panjarasi issiqlik sig’imining kvant nazariyasi
Debay temperaturasi dan past temperaturalarda kvant qonuniyatlari asosiy ahamiyatga ega. Har bir qattiq jism uchun yetarlicha yuqori temperaturalarda bajariladigan Dyulong-Pti qonini (issiqlik sig’imi temperaturaga bog’liqmas deb tasdiqlovchi qonun) past temperaturalarda bajarilmasligi tajribalardan ma’lum bo’lgandan keyin issiqlik sig’imining kvant nazariyasini yaratish zarurligi ayon bo’ldi. Plankning mutloq qora jism nurlanishi kvant nazariyasi asosida A.Eynshteyn (1907) birinchi bo’lib, o’zining issiqlik sig’imi nazariyasini taklif qildi. Uningcha, N atomdan tashkillangan kristall bir xil takroriylikni 3N ta tebranishga ega bo’la oladi. takroriylikli tebranish ehtimolligini Plank ifodasi tavsiflaydi:

(4.5)
Har bir tebranish energiyasi kvanti ga teng, o’rtacha energiyasi
(4.5^’)
butun kristall tebranishlari jami energiyasi
(4.6)
O’zgarmas hajm sharoitida kristallning issiqlik sig’imi
(4.7)
bunda
(4.8)
Yuqori T larda ( bo’lganda) , binobarin, bir grammol uchun esa bo’lib, ya’ni bu holda Dyulong-Pti qonuni adolatlidir.
Past T larda ( bo’lganda)

(4.9)
bundagi – Eynshteynning tavsifiy temperaturasi. Eynshteyn nazariyasi - bo’yicha tajriba natijalarini sifatan tushuntirishga, ya’ni ning T pasayishi bilan kamayib borishini ko’rsatishga erishdi. (4.9) ifodada temperature pasaygan sari juda tez kamayadi. , natijada sekin ortadi bu holda tez kamayib boradi. Ammo, Eynshteynning hamma atomlar bir xil takroriylik bilan tebranadi degan farazi faqat hamma atomlar mustaqil tebrangandagina to’g’ri bo’lardi, vaholanki, haqiqatda kristall atomlari bir – biri bilan bog’langan ravishda tebranadi. Eynshteyn chiqargan (4.9) ifoda ko’rsatkichli funksiya tarzida o’zgaradi. Tajriba T pasayishi bilan ning darajali qonun bo’yicha kamayishini tasdiqlaydi.
P. Debay (1912) taklif qilgan issiqlik sig’imi nazariyasi ko’pchilik kristallar uchun past temperaturalarda o’tkazilgan tajribalar natijalarini yaxshi tushuntira oldi.
Debay ham kristall N atomdan tashkillangan bo’lsa unda 3N ta tebranish bo’lishi kerak, ammo har bir tebranish o’zining to’lqin vector ga bog’liq takroriyligiga ega, barcha chastotalar soni 3N dan iborat erkinlik darajalari soniga teng, bunda takroriyliklar 0 dan to maksimal takroriylikgacha bo’lgan 3N qiymatini oladi, ya’ni (3.82) ifoda o’rinli bo’ladi. Akustik tebranishlar tarmog’i uchun aniqlangan takroriylik taqsimotining (3.58) ifodasini (3.82) ga qo’yib hisoblasak,


bundan:
(4.10)

– elementlar katak hajmi.
3.5bandda (3.83) ifoda ko’rinishida Debay temperaturasini maksimal takroriylik orqali ifodalagan edik. Endi uni (3.10) ifodadan foydalanib tavsiflaymiz
(4.11)
Optik tarmoqlar uchun ham Debay temperaturalarini kiritish mumkin.
(4.12)
O’sha 3.5 -bandda bayon qilingan fotonlar (energiya kvazi impulsli ) tushunchasidan foydalanamiz. (3.78)-(3.80) ifodalarni qo’’laymiz. Unda ko’rganimizdek har bir tebranishning ( takroriylikli fononlarning) energiyasi
(4.13)
bo’lib, u (4.5) Eynshteyn ifodasidan birinchi had bilan farqlanadi, uni tebranishning nolinchi energiyasi deyiladi. (4.13) ifodani barcha tarmoqlar va takroriyliklar bo’yicha jamlasak, butun kristall panjarasi tebranishlar to’la energiyasi hosil bo’ladi:

(4.14)

Birinchi had to’la nolinchi energiya, yig’indi uchta akustik tarmoq bo’yicha, esa, 3s-3 ta optik tarmoq bo’yicha olinadi.