Guruh. O’ngboyev sherzodning Unitar fazalar va ulardagi chiziqli operatorlar

---

 

 

414-20   guruh.   O’ngboyev  sherzodning 

Unitar fazalar va ulardagi chiziqli operatorlar 

      Mazvusida    yozgan     mustaqil  ishi. 

1 Qisqa ma'lumot 

Bilimlar jasadining qiziqarli sayohati boshqa ko'plab jihatlar qatorida 

biz kvant mexanikasi deb ataymiz, bu uning mathe- 

matika yoki yo'qligi. Bu fizika o'zgargan davr bo'ldi 

matematika va shunga mos ravishda matematika fizikani yangi 

yo'nalishlarga olib keldi 

tions. Taxminlarga ko'ra, bu o'zaro bog'liqlik hech qachon bo'lmagan 

aniq va qiziqarli. 

Mavzu folklorining bir qismi matematik fizikaga tegishli 

Matematik fizika metodikasi bo'yicha darslik Richard Courant 

tomonidan to'plangan 

Xilbertning Gettingen universiteti ma'ruzalaridan. Hikoya bayon 

qilingan (mathe- tomonidan 

fiziklar materialni qiziqarli emas deb rad etganliklari) 

hozirgi tadqiqot sohalarida, Shredinger tenglamasi paydo bo'lguncha. 

Da 

bu erda yangi kvant mexanikasi matematikasi - 

unda allaqachon mavjud bo'lgan. Shuningdek, Geyzenberg bilan 

maslahatlashgani aytilgan 

Xilbert o'zining matritsa mexanikasi haqida va Xilbert o'zining sobiq 

cheksiz o'lchovli matritsali tajriba differentsialdan kelib chiqqan edi 

---

 

 

tenglamalar, Heisenberg e'tiborsiz qoldirgan maslahat, imkoniyatni 

qo'ldan boy berdi 

bir necha yil o'tgach, Veyl va Dirak kabi nazariyani birlashtiring. Nima 

bo'lishidan qat'iy nazar asos 

anektodalardan, nazariya matematikasi o'sha paytda noan'anaviy edi 

fizika esa yangi edi. Bu narsalarning ostiga qarashga majbur qildi 

yangi yorug'lik: Masalan, kvant nazariyasidan oldin spektral nazariya 

mavjud edi, 

ammo u yangi shaklga emas, balki kvadratik shakllarga asoslangan 

edi 

chiziqli operatorlarga asoslangan. 

Kvant mexanikasi alohida nazariya sifatida paydo bo'lishidan oldin 

fizikada ishlatiladigan matematiklar asosan qisman differentsial 

tenglamalardan iborat edi 

tions, differentsial geometriya va statistik mexanika. geometrik sezgi 

kuchli rol o'ynagan va nisbiylik nazariyalari to'liq shakllangan 

geometrik tushunchalar atamalari. 

Kvantli fiziklarning fenomenologiyasi taxminan 1895- yillarda paydo 

bo'lgan 

1925 va keyingi 15 yil ichida yoki kvant nazariyasi paydo bo'lishidan 

oldin, 

fiziklar nazariya haqida nima borligini o'ylashni davom ettirdilar 

Endi klassik mexanika deb nomlangan, xususan o'sha matematikada 

matematik tuzilmalar. vaziyat keskin va tez o'zgardi 

1925-1930 yillarda ishlagan matematik asoslar 

---

 

 

Shredinger, Verner Geyzenberg, Polning yangi ishlarini bajarish 

natijasida topilgan. 

Dirak, Jon Von Neyman va Hermann Veyl va birlashish imkoniyati 

paydo bo'ldi 

bir nechta turli xil yondashuvlar. Kvantning matematik formulasi me- 

chanics - bu matematik rasmiyatchiliklar majmuasi bo'lib, bu qat'iy 

tanqidga yo'l qo'yadi. 

kvant mexanikasining stsenariysi. Bu matematik forma bilan ajralib 

turadi 

1900 yilgacha mavhum matematikadan foydalangan holda 

rivojlangan nazariyalarning malizmi 

cheksiz o'lchovli Hilbert bo'shliqlari va ular bo'yicha operatorlar kabi 

tuzilmalar 

bo'shliqlar. Ushbu tuzilmalarning aksariyati funktsional tahlildan 

olingan, ya'ni 

kvant mexanikasining ehtiyojlari qisman ta'sir qilgan qidiruv 

maydoni. 

Qisqacha aytganda, energiya amd impulsi kabi jismoniy kuzatiladigan 

qiymatlar 

va pozitsiya endi fazoviy fazodagi funktsiyalarning qiymati sifatida 

qaralmadi, 

lekin o'z qiymatlari sifatida - aniqrog'i chiziqli operatorlarning 

spektral qiymatlari sifatida 

Hilbertspace: 

• nuqta spektri 

• absolutre spektr 

• yagona uzluksiz spektr. 

---

 

 

1.1 Asosiy postulatlar 

Ta'rifning markazida kvant holati va kvant g'oyalari yotadi 

oldingi modellarda ishlatilganidan tubdan farq qiladigan 

kuzatiladigan 

jismoniy haqiqat. Fizik simmetriyalar kvantning Hilbert fazosiga ta'sir 

qiladi 

birma-bir. Kvant mexanikasining matematik tuzilishi gen- 

uchta asosiy ingredient bilan og'zaki tavsiflangan: 

Tizimning holatlari endi simpektik bosqichda nuqta emas 

bo'shliq, lekin aksincha nurlarning bir o'lchovli kichik guruhlari.bu 

erda 

bizda hφ | bilan ajralib turadigan murakkab Hilbert fazasi mavjud ψ.i 

Separabil- 

bu juda qulay matematik faraz; jismoniy bilan 

ko'pgina kuzatuvlar etarli ekanligi haqida izoh berish 

berilgan holatni noyob tarzda aniqlash. 

Kuzatiladigan narsalar Kuzatiladigan narsalar endi haqiqiy 

qadrlanadigan funktsiyalar emas. Ular 

shtatlar makonida zich joylashgan o'zini o'zi biriktiruvchi operatorlar. 

The 

kuzatiladigan narsalar Hilbert fazasidagi operatorlar tomonidan 

ifodalanishi mumkin H, 

har bir holat zichlik matritsasi bilan ifodalanadi. Taqdimotdan beri 

1.1 Asosiy postulatlar 

Ta'rifning markazida kvant holati va kvant g'oyalari yotadi 

---

 

 

oldingi modellarda ishlatilganidan tubdan farq qiladigan 

kuzatiladigan 

jismoniy haqiqat. Fizik simmetriyalar kvantning Hilbert fazosiga ta'sir 

qiladi 

birma-bir. Kvant mexanikasining matematik tuzilishi gen- 

uchta asosiy ingredient bilan og'zaki tavsiflangan: 

Tizimning holatlari endi simpektik bosqichda nuqta emas 

bo'shliq, lekin aksincha nurlarning bir o'lchovli kichik guruhlari.bu 

erda 

bizda hφ | bilan ajralib turadigan murakkab Hilbert fazasi mavjud ψ.i 

Separabil- 

bu juda qulay matematik faraz; jismoniy bilan 

ko'pgina kuzatuvlar etarli ekanligi haqida izoh berish 

berilgan holatni noyob tarzda aniqlash. 

Kuzatiladigan narsalar Kuzatiladigan narsalar endi haqiqiy 

qadrlanadigan funktsiyalar emas. Ular 

shtatlar makonida zich joylashgan o'zini o'zi biriktiruvchi operatorlar. 

The 

kuzatiladigan narsalar Hilbert fazasidagi operatorlar tomonidan 

ifodalanishi mumkin H, 

har bir holat zichlik matritsasi bilan ifodalanadi. Taqdimotdan beri 

A algebrasining qisqartirilishi mumkin emas, zichlik matritsasi r ga 

bog'liq 

davlat noyobdir. Kutish qiymatlari izga teng: 

∀w ∈ S (A) ∃ rw ∀ a ∈ A: w (a) = Tr rwa. 

Postulatlar standart shaklni nazarda tutish uchun zarur va etarli 

---

 

 

vaqt evolyutsiyasi: Hamiltoniyalik o'z-o'zidan bog'langan operator 

mavjud. 

unitar guruhni yaratadigan qo'shimchalar konstantasidan tashqari 

noyob 

Uτ: = vaqt evolyutsiyasini ifodalovchi exp (−iHτ / ~): 

∀ t, τ, w, a: wt τ (a) = Tr e 

−iHτ / ~ 

biz 

iHτ / ~ 

a. 

Dinamika Bunga vaqt evolyutsiyasi qonuni ham deyiladi. Vaqt 

evolyutsiyasi 

bir parametrli H guruhidagi birlamchi transformatsiyalar guruhi 

tomonidan berilgan. 

1.2 Unitar operator 

• V unitar fazo - bu ajralib turadigan murakkab vektor maydoni 

ijobiy aniq Hermitian shakli, 

h−, −i: V × V → C, 

bu V ustidagi ichki mahsulot bo'lib xizmat qiladi. 

• Unitar transformatsiya - bu sur'ektiv chiziqli transformatsiya T: 

V → V qoniqarli 

hu, vi = hT u, T vi, u, v ∈ V. (1) 

Bular V ning izometriyalari. 

• Umuman olganda, unitar transformatsiya - bu sur'ektiv chiziqli 

trans 

---

 

 

hosil bo'lish T: U - → V ikkita unitar bo'shliq o'rtasida U, V qoniqarli 

hT v, T uiV = hv, uiU, u, v ∈ U 

Ushbu yozuv birinchi holat bilan cheklanadi 

• Unitar matritsa - bu teskari kvadratik kompleks qiymatga ega 

bo'lgan A matritsa 

uning konjugat transpozitsiyasiga teng: 

A 

-1 = A¯t 

• V Hilbert fazosi bo'lganda, chegaralangan chiziqli operator T: V - → 

V bo'ladi 

agar uning teskari qo'shni bilan teng bo'lsa, unitar operator deyiladi: 

T 

-1 = T 

∗ 

Xilbert bo'shliqlarida unitar transformatsiyalar aniq 

operatorlar. 

1.3 Ba'zi misollar 

1. Unitar makonning standart namunasi C 

n ichki mahsulot bilan 

hu, vi = 

Xn 

i = 1 

ui vi 

, u, v ∈ C 

---

 

 

n 

. (2) 

2. Unitar transformatsiyalar va unitar matritsalar bir-biri bilan 

chambarchas bog'liqdir. Yoqilgan 

bir tomondan, unitar matritsa C ning unitar o'zgarishini belgilaydi 

n 

ichki mahsulotga nisbatan. Boshqa tomondan, vakili 

ortonormal asosga nisbatan unitar o'zgarish matritsasi, 

aslida, unitar matritsa. 

3. Unitar transformatsiya bu avtomorfizmdir. Bu 

unitar transformatsiya T ichki mahsulot normasini saqlab qolishi: 

kT uk = kuk, u ∈ V. (3) 

Shuning uchun, agar 

T u = 0, 

keyin ta'rifi bilan shundan kelib chiqadi 

kuk = 0, 

va shuning uchun ichki mahsulot aksiomalariga ko'ra 

u = 0. 

Shunday qilib, T yadrosi ahamiyatsiz va shuning uchun u 

avtomorfizmdir. 

4. Bundan tashqari, o'zaro bog'liqlikni unitar transforning ta'rifi 

sifatida qabul qilish mumkin 

mation. Darhaqiqat, qutblanish identifikatoridan foydalanish orqali 

buni ko'rsatish mumkin 

agar T normani saqlasa, unda ham ushlab turish kerak. 

---