Ekvivalensiya amali. Matematik mantiqda ko‘pchilik murakkab mulohazalar berilgan elementar mulohazalardan "… zarur va yetarlidir", "… zarur va kifoyadir", "faqat va faqat …", "shunda va faqat shundagina, qachonki …", "

Ekvivalensiya amali. Matematik mantiqda ko‘pchilik murakkab mulohazalar berilgan elementar mulohazalardan “… zarur va yetarlidir”, “… zarur va kifoyadir”, “faqat va faqat …”, “shunda va faqat shundagina, qachonki …”, “... bajarilishi yetarli va zarurdir” kabi qolip (andoza, bog‘lovchilar) vositasida tuziladi. 6- t a ’ r i f. Berilgan x va y elementar mulohazalarning ikkalasi ham bir xil qiymat qabul qilgandagina ch qiymat qabul qilib, ular turli qiymat qabul qilganda esa yo qiymat qabul qiluvchi murakkab mulohaza x va y mulohazalarning ekvivalensiyasi deb ataladi. “Berilgan mulohazalarning ekvivalensiyasi bu mulohazalarga ekvivalensiya amalini qo‘llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Ekvivalensiya amali 2- jadvalda ifodalangan 9 b binar amaldir. Ekvivalensiya amalini belgilashda ““ (yoki “  ”) belgidan foydalaniladi. Berilgan x va y elementar mulohazaning ekvivalensiyasi x  y (yoki x  y ) kabi yoziladi va “ x ekvivalent y ” deb o‘qiladi. x va y mulohazaning x  y ekvivalensiyasiga “ x bo‘lsa (bajarilsa), y bo‘ladi (bajariladi) va y bo‘lsa, x bo‘ladi” degan mulohaza mos keladi. Demak, x va y elementar mulohazaning x  y ekvivalensiyasi ikkita x  y va y  x implikatsiyalarning (x  y)  ( y  x) kon’yunksiyasi ko‘rinishida ham ifodalanishi mumkin. Shuning uchun ekvivalensiya ikki tomonli implikatsiyadir. x  y ekvivalensiyaga “ x dan y kelib chiqadi va y dan x kelib chiqadi” degan mulohazani ham mos qo‘yish mumkin. Boshqacha so‘zlar bilan aytganda, x  y ekvivalensiyaga matematikada zaruriy va yetarli shartni ifodalovchi tasdiq mos keladi.
2- t a ’ r i f. Agar berilgan ikkita formula tarkibida ishtirok etuvchi elementar mulohazalarning har bir qiymatlar satri uchun bu formulalarning qiymatlari bir xil bo‘lsa, u holda ular teng kuchli formulalar deb ataladi. 3- t a ’ r i f. Agar berilgan ikkita formula tarkibida ishtirok etuvchi elementar mulohazalarning qiymatlar satrlaridan hech bo‘lmaganda bittasi uchun bu formulalarning qiymatlari har xil bo‘lsa, u holda ular teng kuchlimas formulalar deb ataladi. Teng kuchli va teng kuchlimas iboralari na faqat formulalarga nisbatan, balki ixtiyoriy mantiqiy mulohazalarga nisbatan ham qo‘llanilisi mumkin. Ba’zan, teng kuchli va teng kuchlimas iboralari o‘rnida, mos ravishda, ekvivalent va ekvivalentmas iboralari ishlatiladi. Ekvivalentlik 16 Formulalar uchun “chinlik jadvali” iborasi o‘rnida “qiymatlar jadvali” iborasi qo‘llanilishi ham mumkin. tushunchasi ekvivalensiya tushunchasiga ohangdosh bo‘lgani uchun, ularni bir-biridan farq qilish maqsadida ko‘proq teng kuchlilik iborasidan foydalanamiz. Berilgan formulalarning teng kuchliligini ifodalashda “ ” belgidan, teng kuchlimasligini ifodalashda esa “ ” belgidan foydalaniladi. Masalan, agar berilgan A va B formulalar teng kuchli formulalar bo‘lsa, u holda A  B deb, A va B formulalar teng kuchlimas formulalar bo‘lganda esa, A B deb yoziladi. Ba’zan, formulalarning teng kuchliligini ifodalashda “  ” belgidan, teng kuchlimasligini ifodalashda esa “  ”belgidan ham foydalaniladi. Berilgan formulalarning teng kuchli yoki teng kuchlimas bo‘lishini aniqlashda, odatda, ular uchun tuzilgan chinlik jadvallaridan foydalaniladi.
Teng kuchli formulalarga doir teoremalar. Endi teng kuchli formulalarga doir ayrim teoremalarni keltiramiz.
1- t e o r e m a . A va B formulalar teng kuchli bo‘lishi uchun A va B formulalar teng kuchli bo‘lishi zarur va yetarli.
I s b o t i . Berilgan A va B formulalar uchun A  B bo‘lsin. U holda A va B formulalar chinlik jadvalining ixtiyoriy satrida bu formulalarning qiymatlari bir xil bo‘ladi. Shuning uchun A va B formulalar chinlik jadvalining ixtiyoriy satrida ularning qiymatlari ham bir xildir. Demak, A  B . Xuddi shunga o‘xshash, A  B teng kuchlilikdan A  B teng kuchlilik kelib chiqishini ko‘rsatish mumkin. ■
2- t e o r e m a . A va B formulalar teng kuchli bo‘lishi uchun A  B formula tavtologiya bo‘lishi zarur va yetarli.
I s b o t i . 1. Berilgan A va B formulalar uchun A  B bo‘lsin. U holda ekvivalensiya ta’rifiga asosan, A  B formula chinlik jadvalining barcha satrlaridagi qiymatlari ch bo‘ladi. Demak, A  B formula tavtologiyani ifodalaydi. 2. A  B formula tavtologiya bo‘lsin. U holda A  B formula chinlik jadvalining A  B ustunidagi barcha qiymatlar ch bo‘ladi. Bundan, ekvivalensiya ta’rifiga ko‘ra, chinlik jadvalining har bir satridagi A va B formulalarga mos qiymatlar bir xil, ya’ni A  B teng kuchlilik o‘rinliligi kelib chiqadi. ■ 2- m i s o l . De Morgan qonunlari va 2- teoremaga ko‘ra x  y  x  y va x  y  x  y formulalarning har biri tavtologiyadir. ■
3- t e o r e m a . Berilgan A va B formulalar uchun A  B formula tavtologiya bo‘lishi uchun A  B formula tavtologiya bo‘lishi zarur va yetarli.
I s b o t i . 1. Berilgan A va B formulalar uchun A  B formula tavtologiya bo‘lsin. U holda, 2- teoremaga asosan, A  B bo‘ladi. Bundan, 1- teoremaga asosan, A  B teng ruchlilik kelib chiqadi. Demak, ekvivalensiyaning ta’rifiga asosan, A  B aynan tavtologiyadir. 2. Berilgan A va B formulalar uchun A  B tavtologiya bo‘lsin. Bundan A  B kelib chiqadi va, o‘z navbatida, A  B bo‘ladi. Demak, A  B formula tavtologiyadir. ■
4- t e o r e m a . Ixtiyoriy formulaning istalgan qismi o‘rniga shu qismi bilan teng kuchli boshqa formulani qo‘yishdan hosil bo‘lgan yangi formula dastlabki formula bilan teng kuchlidir.
3- t a ’ r i f. f va g funksiyalar mulohazalar algebrasining funksiyalari, n x , x ,...,x 1 2 o’zgaruvchilar esa ularning hech bo’lmaganda bittasining argumentlari bo’lsin. Agar n x , x ,...,x 1 2 argumentlarning barcha qiymatlar satrlari uchun f va g funksiyalarning mos qiymatlari bir xil bo’lsa, u holda f va g funksiyalar teng kuchli funksiyalar deb ataladi. Agar berilgan funksiyalar teng kuchli bo‘lmasa, u holda ular teng kuchlimas funksiyalar deb yuritiladi. Berilgan f va g funksiyalarning teng kuchliligi f  g shaklda yoziladi. Agar f va g funksiyalar teng kuchlimas funksiyalar bo‘lsa, u holda f g yozuvdan foydalaniladi.