Doira geometriyasi. Ichki chizilgan burchaklar. Shteyner teoremasi va nuqtaning kuchi

 Doira geometriyasi. Ichki chizilgan burchaklar. Shteyner teoremasi va nuqtaning kuchi.

Doira - bu aylana bilan chegaralangan tekislikning qismi. Doira, o'z navbatida, ma'lum bir markazdan tengsiz cheksiz ko'p sonli nuqtalardan iborat yopiq egri chiziqdir. Doira inson hayotida muhim o'rin egallaydi va ko'p holatlarda siz aylananing maydonini bilishingiz kerak bo'lishi mumkin.

Doira geometriyasi

Doira - doira markazidan uning radiusidan oshmaydigan masofada olib tashlangan tekislikning berilgan nuqtalari to'plami. Doira aylananing tashqi chegarasidir, ammo aylananing radiusi nolga teng bo'lsa, u holda nuqta aylanadi. Doira va to'g'ri chiziq, chizg'ich bilan kompas kabi, geometr uchun eng muhim vositalardir, chunki ular yordamida har qanday, hatto eng murakkab geometrik jismni qurish oson. Doira doimo odamlarni hayratga solib kelgan va qadimgi davrlardan boshlab bu raqam cheksiz makon, makon va vaqtning ramzi hisoblangan. Matematiklar doira cheksiz ko'p burchakli ko'pburchak, deb hazillashishgan.

Doiralar juda samarali: bunday raqamlar ma'lum bir perimetr uchun maksimal maydonni egallaydi, mos ravishda ma'lum bir maydonni qoplashda minimal perimetrga ega. Ushbu xususiyat tufayli tabiatda uch o'lchovli kosmosda koptoklarga yoki sferaga aylanadigan ko'plab dumaloq narsalar mavjud. Masalan, perimetrni minimallashtirish orqali suv tomchilari, qor to'pi yoki butun sayyoralar kabi tabiiy narsalar hosil bo'ladi.

Doira geometriyasida aylananing aylananing diametriga nisbatini ko'rsatuvchi Pi soni katta ahamiyatga ega. Bu nisbat geometrlarga qadimgi davrlardan beri ma'lum: dastlab odamlar har qanday aylana uchun o'zgarmas qiymat taxminan 3,1 ga teng deb hisoblashgan. Qadimgi bobilliklar bu nisbat 25/8 ekanligiga ishonishgan va Arximed Pi ni 22/7 kasr sifatida ifodalash mumkin degan xulosaga kelishgan. Biroq, Qadimgi Yunonistonda Pi raqami nomlanmagan. Leonard Eylerning ishidan oldin Pi Ludolph raqami deb nomlangan.

Ta`rif. Uchi aylanada yotuvchi, tomonlari esa shu aylanani kesib o`tuvchi burchak aylanaga ichki chizilgan burchak deyiladi. ABC burchak aylanaga ichki chizilgan, AnC yoy shu burchakning ichiga joylashgan. Bunday holda ichki chizilgan ABC burchak AnC yoyga tiralgan, deb ham ataladi

1 – hol. Aylana markazi ichki chizilgan burchakning tomonlaridan biri, masalan, BC tomonda yotadi (195a-rasm). OA radiusni o`tkazamiz va AOB uchburchakni qaraymiz. U teng yonli, chunki OA = OB = R. Demak < OBA = < OAB (teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari bo`lgani uchun). Ammo AOC burchak BOA uchburchakning tashqi burchagidir. Uchburchak tashqi burchagi xossasiga ko`ra: < AOC = < OBA + < OAB yoki < AOC = 2 < ABC (1). Ammo AOC - markaziy burchak, uning kattaligi shu burchakka mos AC yoyning burchak kattaligiga teng. Bu holda AC yoy yarim aylanadan kichik, shuning uchun markaziy burchak xossasiga ko`ra : < AOC = ⋃AC (2). (1) va (2) tengliklardan ega bo`lamiz : 2 < ABC = ⋃ AC, ya`ni < ABC = 1 2 ⋃ AC. 2 – hol. Aylananing markazi O ichki chizilgan burchak tomonlari orasida yotadi. BO nurni o`tkazamiz, u AC yoyni biror D nuqtada kesadi (195b-rasm). D nuqta AC yoyni ikkita ⋃ AD va ⋃ DC yoyga bo`ladi. Demak, isbot qilinganga ko`ra (1-hol) : < ABD = 1 2 ⋃ AD va < DBC = 1 2 ⋃ DC. Bu tengliklarni hadma had qo`shib, hosil qilamiz : < ABC = < ABD + < DBC = 1 2 ⋃ AD + 1 2 ⋃ DC = 1 2 (⋃ AD+ ⋃ DC) = 1 2 ⋃ AC

Teorema. Aylanaga ichki chizilgan burchak o`zi tiralgan yoyning yarmi bilan o`lchanadi : ∠𝑨𝑩𝑪 = 𝟏 𝟐 ⋃ 𝑨𝑪 Isbot.