Dissertatsiya nomi fizika-matematika fanlari nomzodi Sumets, Pavel Petrovich

DISSERTATSIYA NOMIFizika-matematika fanlari nomzodi Sumets, Pavel Petrovich
Kirish.
1-bob
1.1. Suyuqlik bilan to'ldirilgan quvurlarning dinamik harakatining turli muammolari.
1.2. Quvurlarda to'lqin tarqalishining matematik modeli.
1.3. Quvurlarda to'lqin tarqalishining bir o'lchovli matematik modelining xatosini baholash.
1.3.1. Suyuqlik va quvur liniyasi devor materialining birgalikdagi harakati muammosining umumiy bayoni.
1.3.2. Quvurdagi suyuqlik harakatining qo'shma muammosining o'lchovsiz ko'rinishi.
1.3.3. Birgalikda muammoni hal qilishning nolga yaqinlashishi.
1.3.4. Deformatsiyalanadigan quvur liniyasidagi suyuqlik harakatining bir o'lchovli statsionar bo'lmagan matematik modelini nolga yaqinlashtirishda qurish.
1.3.5. Birgalikda muammo yechimining birinchi yaqinlashuvi.
1.3.6. Suyuqlik harakati tenglamasining ikkinchi yaqinlashuvi.
1.4. Statsionar bo'lmagan to'lqinlarning tarqalishi muammolarida nurlar qatorlarini qo'llashning umumiy qonuniyatlari.
1.5. 1-bob bo'yicha xulosalar.
2-bob. Quvurlarda to'lqin tarqalishining nur nazariyasi.
2.1. Uzluksizlik to'lqinining tarqalishining nur nazariyasi.
2.2. Suyuqlik oqimining laminar rejimida o'zgaruvchan kesmali quvurlarda suv bolg'asi F to'lqinlarining tarqalishini matematik modellashtirish.
2.3. Suyuqlik oqimining o'tish rejimida o'zgaruvchan kesimdagi quvurlarda suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishini matematik modellashtirish.
2.4. Suv bolg'asi to'lqinining etakchi qirrasining tuzilishini o'rganish.
2.5. Quvurlarda to'lqin tarqalishining asosiy qonunlari.
2.6. 2-bob bo'yicha xulosalar.
3-bob. Suv bolg'asi to'lqinlarining quvurlarda ularning xususiyatlarini hisobga olgan holda tarqalishini matematik modellashtirish.
3.1. Devor nuqsonlari bo'lgan quvurlarda suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishining matematik modeli. Devor nuqsonlari bo'lgan quvur liniyalarining mustahkamligi.
3.2. Devorlarning anizotropik tuzilishini hisobga olgan holda quvur liniyalarida to'lqinlarning tarqalishi.
3.3. Quvurlar devorlarining elastoplastik harakati shartlariga asoslanib, ruxsat etilgan maksimal bosimlarni baholashni olish.
3.4. Devorlarning mushak tuzilishini hisobga olgan holda tomirlarda puls to'lqinlarining tarqalishini matematik modellashtirish.
3.5. 3-bob bo'yicha xulosalar.
4-bob. To'rli qobiq bilan mustahkamlangan quvur liniyalarida suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishini matematik modellashtirish.
4.1. Anizotrop qobiqlarning momentsiz nazariyasining asosiy munosabatlari. e 4.2. Inqilobning yupqa elastik retikulyar qobiqlari nazariyasining asosiy munosabatlari.
4.3. To'rli qobiq bilan mustahkamlangan quvur liniyasining ekssimetrik kuchlanish-deformatsiya holati.
4.4. To'r bilan mustahkamlangan quvur liniyasida suv bolg'asi to'lqinining tarqalish tezligini aniqlash.
4.5. To'r qobig'ining quvur liniyasining mustahkamlik xususiyatlariga ta'sirini tahlil qilish.
4.6. Elastik siqilgan quvur liniyalarida bosim to'lqinlarining tarqalishi modelini qurishni amalga oshiradigan maxsus dasturiy ta'minotning tuzilishi.
4.7. 4-bob bo'yicha xulosalar.

Tavsiya etilgan dissertatsiyalar ro'yxati"Matematik modellashtirish, raqamli usullar va dastur komplekslari" mutaxassisligi bo'yicha, 05.13.18 OAK kodi
Quvurlarda chiziqli bo'lmagan to'lqinlarning tarqalish jarayonlarini analitik va raqamli usullar bilan matematik modellashtirish va tadqiq qilish.2006 yil, fizika-matematika fanlari nomzodi Grebennikov, Dmitriy Yurievich
Egri chiziqli quvur dinamikasining tashqi va ichki muammolari - matematik modellarni qurish va ularning tenglamalarini taxminiy echish.2012 yil, fizika-matematika fanlari doktori Tkachenko, Oleg Pavlovich
Kanallardagi bir va ikki fazali muhitning beqaror oqimlari2006 yil, fizika-matematika fanlari doktori Tatosov, Aleksey Viktorovich
Deformatsiyalanuvchi qobiqda harakatlanadigan gazli dispers muhitda suv bolg'asining nazariy va eksperimental tadqiqotlari2006 yil, fizika-matematika fanlari nomzodi Pavlov, Sergey Vladimirovich
Uzoq quvurlarda tabiiy konvektiv oqimlar1984 yil, fizika-matematika fanlari nomzodi Shugan, Igor Viktorovich
DISSERTATSIYAGA KIRISH (REFERATNING BIR QISMI)"Quvurlarda to'lqinlarning tarqalishini nur usulida ularning xususiyatlarini hisobga olgan holda matematik modellashtirish" mavzusida
Ishning dolzarbligi. 19-asr oxiri — 20-asr boshlarida gidrotarmoqlarning rivojlanishi ularda kuzatilayotgan fizik hodisalarni tavsiflashni taqozo etdi. Bu gidromexanikaning tegishli sohalarining rivojlanishiga kuchli turtki berdi va gazlardagi o'xshash hodisalarni kuzatish tadqiqotchilar tomonidan ushbu hodisalarning tabiatini keng va batafsil o'rganish zarurligini tasdiqladi.
Quvurlarda suyuqlikning statsionar bo'lmagan harakatini matematik modellashtirish bo'yicha tadqiqotlar olib borish bir necha omillarga bog'liq. Mohiyatan davriy bo‘lmagan, statsionar bo‘lmagan to‘lqin hodisalari amaliyotda ko‘proq uchraydi, to‘lqin masalalarini umumiyroq, statsionar bo‘lmagan formulada o‘rganish katta nazariy va amaliy qiziqish uyg‘otadi. Statsionar bo'lmagan to'lqinli muammolarni hal qilish uchun ko'p sonli usullarning mavjudligi ularni hal qilishdagi sezilarli qiyinchiliklar bilan izohlanadi, shuning uchun yangi, eng maqbul usullarni izlash to'xtamaydi. Tenglamalar va qisman differensial tenglamalar tizimlarini echishning taxminiy analitik usullarini ishlab chiqish (bu usullardan biri nurlanish usulidir) taxminiy analitik yechimni qurishga imkon berdi, yo'nalishli qarshilik tufayli impulsning zaiflashishini hisobga olgan holda quvur liniyasi yoki quvur liniyalari tarmog'i bo'ylab o'zboshimchalik bilan bosim pulsining tarqalishini tavsiflash. Taxminiy analitik ifodani olish alohida omillarning (impuls yo'li bo'ylab quvurlarning xususiyatlari va boshqalar) bosim impulsining tarqalish jarayoniga ta'sirini sifatli va miqdoriy tadqiqotlar o'tkazish yoki uni tahlil qilish orqali pulsning holatini baholash imkonini beradi. yo'l. Shuning uchun quvurlarda to'lqinlarning tarqalish jarayonini o'rganish dolzarb ko'rinadi. ) bosim impulsining tarqalish jarayoni bo'yicha yoki uning tahlili asosida yo'lning holatini hukm qilish. Shuning uchun quvurlarda to'lqinlarning tarqalish jarayonini o'rganish dolzarb ko'rinadi. ) bosim impulsining tarqalish jarayoni bo'yicha yoki uning tahlili asosida yo'lning holatini hukm qilish. Shuning uchun quvurlarda to'lqinlarning tarqalish jarayonini o'rganish dolzarb ko'rinadi.
Ish Voronej davlat universitetining davlat byudjeti ilmiy-tadqiqot loyihasi doirasida amalga oshirildi (davlat № 01.9.90 001106) “Mexanikaning statik va dinamik muammolarini hal qilish uchun matematik modellar va samarali analitik va raqamli usullarni ishlab chiqish. Murakkab strukturaning deformatsiyalanuvchi muhiti".
Ishning maqsadi - siqilgan suyuqlikning quvur liniyasidagi beqaror harakatining takomillashtirilgan matematik modelini nur usuliga asoslangan holda ishlab chiqish, bu suv bolg'asi to'lqinlarining quvurlarda tarqalish qonuniyatlarini o'rnatish uchun asboblarni qurishni ta'minlaydi, ularni hisobga olgan holda. Xususiyatlari.
Ushbu maqsadga erishish quyidagi vazifalarni hal qilishni o'z ichiga oladi:
- suyuqlik oqimining laminar va o'tkinchi rejimlari ostida quvurlarda suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishining matematik modelini takomillashtirish;
- gidravlik chiziqning istalgan nuqtasida suv bolg'asi to'lqinining intensivligi uchun analitik ifodalarni olish;
- suv bolg'asi to'lqinining etakchi chetining tuzilishini tahlil qilish;
- nurlanish usuliga asoslangan bir o'lchovli to'lqinli masalalarni yechish algoritmini amalga oshiruvchi va suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishi paytida bosim taqsimotini hisoblashni ta'minlovchi amaliy dasturni ishlab chiqish;
- devor nuqsonlari bo'lgan quvurlarda suyuqlik oqimi paytida suv bolg'asi to'lqinining tarqalishini tahlil qilish, shuningdek, devorlarning anizotropiyasini va quvur liniyasini to'r qobig'i bilan mustahkamlashni hisobga olgan holda;
- quvur liniyasi devorlarining uni yo'q qilish paytida elastik-plastik harakatidan kelib chiqqan holda, quvur liniyasidagi maksimal ruxsat etilgan suyuqlik bosimini baholashni olish.
Tadqiqot ob'ektlari va usullari. Suyuqlik oqimining laminar va o'tkinchi rejimlari ostida quvurlarda suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalish jarayoni o'rganildi. Bunday jarayonning matematik modelini o'rganish uzluksiz to'lqin tarqalishining nurlanish nazariyasi asosida amalga oshirildi, bu to'lqin frontlari yaqinida qisman hosilalarda giperbolik tenglamalar tizimining yechimini taxminan qurish imkonini beradi.
• Devor nuqsonlarini hisobga olish ko'ndalang kesimdagi devor qalinligi o'zgaruvchan quvur liniyasi uchun umumlashtirish orqali modelni kengaytirish orqali amalga oshirildi.
Shlangi zarba to'lqinining etakchi old qismining tuzilishini o'rganish elastik siqilgan quvurlarda siqilgan suyuqlik harakatining bir o'lchovli statsionar bo'lmagan matematik modeli asosida gidravlik qarshilik mavjudligini hisobga olgan holda amalga oshirildi.
Ishda olingan natijalarning ilmiy yangiligi shundan iboratki
• unda nima bor:
- o'zgaruvchan kesimdagi elastik deformatsiyalanadigan quvurlarda suyuqlik oqimining matematik modelining takomillashtirilganligi;
- o'zgaruvchan kesimdagi quvurlarda etakchi to'lqin jabhasi yaqinida beqaror suyuqlik oqimi muammosini hal qilish nurli parchalanish yordamida ishlab chiqilgan;
- suyuqlik oqimining laminar va vaqtinchalik rejimlarida bosimning ph sakrashining tarqalishini tavsiflovchi aloqalar olinadi, bu quvur liniyasining istalgan nuqtasida suv bolg'asi to'lqinining intensivligini hisoblash imkonini beradi;
- quvur liniyasi bo'ylab tarqalish paytida suv bolg'asi to'lqinining oldingi chetiga yaqin bosim va tezlikning taqsimlanishining buzilishiga gidravlik qarshilikning ta'siri qonuniyatlari o'rnatildi;
- bir o'lchovli to'lqin muammosini hal qilish algoritmi ishlab chiqildi va DELPHI integratsiyalashgan muhitida to'lqin tarqalishi muammosini raqamli hal qilishni ta'minlaydigan dastur amalga oshirildi.
• suv bolg'asi;
- suv bolg'asi to'lqinining tarqalish tezligini aniqlaydigan ifodalar olinadi: anizotropiya; devordagi nuqsonlar; quvur liniyasining to'r qobig'i bilan qattiqlashishi; quvur liniyasi devorlarining elastik-plastik harakati shartlariga asoslanadi
Himoya uchun quyidagi asosiy qoidalar ilgari suriladi:
1. Devor nuqsonlari va ularning anizotrop tuzilishini hisobga olgan holda suyuqlik oqimining laminar va o'tkinchi rejimlari ostida o'zgaruvchan kesmali quvurlarda suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishining takomillashtirilgan matematik modeli.
2. Bir o'lchovli to'lqin muammosi uchun bosimning taqsimlanishini tavsiflovchi taxminiy yechim.
• o'zgaruvchan kesimdagi quvurlarda etakchi to'lqin jabhasining atrofi.
3. Devor nuqsonlari bo'lgan quvur liniyasida suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishining matematik modeli asosida to'lqin tarqalishi jarayoniga quvur liniyasi devorining mahalliy yupqalanishining ta'siri naqshlari. Devorning yupqalashishi suv bolg'asi to'lqinining tezligining pasayishiga, bosimning sakrash amplitudasining pasayishiga va quvur liniyasining mustahkamligini yo'qotishiga olib kelishi ko'rsatilgan.
4. To'r pardaning suv bolg'asi to'lqinining tarqalish jarayoniga ta'sirining naqshlari. Quvurni to'r qobig'i bilan mustahkamlash suv bolg'asi to'lqinining tezligining oshishiga, uning tarqalishi paytida bosimning sakrash amplitudasining pasayishiga va quvur liniyasi mustahkamligining oshishiga olib keladi.
5. Suv bolg'asi to'lqinining etakchi chetiga yaqin joylashgan bosim va suyuqlik oqimi tezligining taqsimlanishiga qarshilik ta'sirining naqshlari. Quvur bo'ylab tarqaladigan suv bolg'asi to'lqinining oldingi qirrasi gidravlik qarshilik mavjudligi bilan belgilanadigan past tezlikda unga nisbatan harakatlanadigan buzilish tufayli buzilishlarga duchor bo'lishi ko'rsatilgan.
Ilmiy va amaliy ahamiyati. Quvurlarda to'lqinlarning tarqalishini nurlanish usuli bilan matematik modellashtirish turli xil tuzilmalarning quvurlarida to'lqinlarning tarqalish naqshlarini aniqlashga imkon beruvchi analitik vositani taqdim etadi, bu esa turli xil suyuqliklar ostida to'lqin tarqalishi jarayoniga individual omillarning ta'sirini tahlil qilish imkonini beradi. oqim rejimlari. Suyuqlikning statsionar bo'lmagan harakati muammosini hal qilish natijalari turli xil materiallar quvurlari, nasos agregatlari, turbinalar va boshqalardagi bosimni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin.
Muallifning shaxsiy hissasi. Tadqiqot yo‘nalishlarini belgilash, vazifalarni belgilash, hisob-kitoblarni amalga oshirish, asosiy natijalar va xulosalarni olish muallif tomonidan shaxsan ilmiy rahbar, texnika fanlari doktori rahbarligida amalga oshirildi. Professor Verveiko N.D. Natijalarni dissertatsiya ustida ishlash davomida muhokama qilish Dr. Professor Verveyko N. D. va texnika fanlari doktori. Professor Sysoev V.V.
Ishning aprobatsiyasi. Dissertatsiya ishining natijalari ikkinchi va uchinchi Butunrossiya ilmiy-texnikaviy konferentsiyasida "Aviasozlikda mexanika va issiqlik va massa almashinuvining amaliy muammolari" (Voronej, 2001, 2002)da ma'ruza qilindi va muhokama qilindi; "Nazariy va amaliy mexanikada dinamika va kuchning dolzarb muammolari" konferentsiyasi (Minsk, 2001); "Mexanika va amaliy matematikaning zamonaviy muammolari" seminari (Voronej, 2002); 2000 - 2002 yillarda Voronej davlat universiteti, Voronej davlat texnika universiteti, Voronej davlat tibbiyot akademiyasi, Voronej davlat texnologiya akademiyasining ilmiy seminarlari.
Nashrlar. Dissertatsiya ustida ishlash davomida olingan natijalar 10 ta maqolada chop etildi.
Birinchi bobda turli mualliflarning ishlarini tahlil qilish asosida quvurlardagi suyuqlikning beqaror harakatini matematik modellashtirishga turli yondashuvlar ko'rib chiqiladi. Matematik modellarni qo'llash imkoniyatlari va shartlari, shuningdek, * qo'yilgan vazifalarni hal qilish usullari qayd etilgan. Statsionar bo'lmagan to'lqinlarning tarqalishi muammosini hal qilishning ko'plab usullari orasida nurlanish usuli alohida ajratilgan va bu usulni qo'llashning asosiy tamoyillari ko'rsatilgan. Quvurlardagi suyuqlik harakatining to'lqinli rejimini matematik tavsiflash uchun o'zgaruvchan kesimdagi elastik siqilgan quvurlarda siqilgan suyuqlik harakatining bir o'lchovli statsionar bo'lmagan modeli qo'llaniladi:
Ikkinchi bobda % suyuqlikning laminar va oʻtkinchi oqim rejimlari ostida quvur liniyalarida suv bolgʻa toʻlqinlarining tarqalishining matematik modeli tasvirlangan. Matematik modellashtirish nurlarning tarqalishi nazariyasi asosida amalga oshirildi. to'lqin amplitudasining bog'liqligini va chiziqli bo'lmagan to'lqinlarning tarqalishi holatida uning boshqa xususiyatlarini tahlil qilish uchun ishlatilishi oqlangan to'lqinlar. Laminar va o'tkinchi suyuqlik oqimi sharoitida o'zgaruvchan ko'ndalang kesimdagi silindrsimon moslashuvchan siqilgan quvurlarda siqilgan suyuqlikning beqaror oqimi muammosining nurli yechimi olinadi. Suyuqlik oqimining laminar rejimida olingan ifodalar zaif uzilish to'lqinlarining tarqalishi muammosini hal qilishni ancha murakkab impulsning tarqalish naqshlarini qurishda qo'llashga imkon beradi,
Suyuqlik oqimining o'tish rejimida, suv bolg'asi to'lqinining harakatlanuvchi va statsionar suyuqlikka tarqalishi holatida bosimning sakrashining susayishida sifat farqi mavjud. Suyuqlik to'lqindan oldinda harakat qilganda, damping eksponensial qonun bo'yicha sodir bo'ladi va oldingi bosimning qiymati bilan belgilanadi. To'lqin jabhasidan oldinda suyuqlikning dam olish joyida ph bo'lsa, bosimning sakrashi eksponensial qonunga muvofiq sodir bo'ladi va dastlabki sakrashning kattaligi bilan aniqlanadi.
To'lqin jabhasi orqasidagi bosim taqsimoti shaklining bo'lak-doimiy yaqinlashishi bosim to'lqinining tarqalish jarayonini to'rtburchaklar to'lqinlar (sakrashlar) paketining tarqalish jarayoniga o'xshatish imkonini beradi. Bosim zarbalarining tarqalish qonuniyatlarini aniqlaydigan bog'liqliklarning tahlili shuni ko'rsatdiki, suyuqlik oqimining turbulent rejimida yuqori boshlang'ich intensivlikdagi zarbalar kuchliroq zaiflashadi, shuning uchun tik etakchi to'lqin fronti undan keyingi buzilishlarga qaraganda ko'proq namlanadi. To'lqin amplitudasi suyuqlik oqimining laminar rejimiga qaraganda turbulentda ancha tez pasayadi. Ya'ni, turbulentlikning mavjudligi qo'shimcha energiya sarfi bilan bog'liq
b suyuqlik harakati.
O'zgaruvchan kesimdagi elastik siqilgan quvurlarda siqilgan suyuqlik harakatining bir o'lchovli statsionar bo'lmagan modelidan foydalanish gidravlik zarba to'lqinining o'tish qatlamidagi oqim parametrlarining harakatini tavsiflovchi taxminiy analitik bog'liqliklarni olish imkonini beradi. , shuningdek, gidravlik qarshilik harakati tufayli gidravlik zarba to'lqinining etakchi chetining buzilishini aniqlash. Suv bolg'asi to'lqini tarqalganda, suv bolg'asi to'lqiniga nisbatan tarqaladigan to'lqinning old qismidagi suyuqlikning massa oqim tezligining eksponensial qonuniga muvofiq o'tish qatlamida pasayish sodir bo'ladi. n \u003d ~ 2cX mavjudligi sababli. qarshilik R.
Uchinchi bobda devor nuqsonlari bo'lgan quvurlarda suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishi holati uchun matematik modelning modifikatsiyasi keltirilgan. Devor nuqsoni mavjudligini modellashtirish kesmadagi devor qalinligining o'zgaruvchanligini hisobga olgan holda amalga oshirildi. Kesmadagi quvur liniyasi halqa shakliga ega, bunda kesmaning ichki chegarasi radiusi Ro bo'lgan doira shaklida, tashqi chegara radiusi esa Ri=Ro+h( 1+) deb taxmin qilingan. 5* sin(0)), bu erda h - doimiy, 6 - kichik parametr (0<5<1), bu devorning mahalliy noziklashuvi ko'rinishidagi nuqsonlarni modellashtirish imkonini beradi. Buzuq devordagi kuchlanish va deformatsiyalar kichik parametr 8 ga nisbatan eritmani ketma-ket kengaytirish orqali topildi.
Oddiy va tangensial kuchlanishlarni hisobga oladigan elastik tekislik kuchlanish holatini nazarda tutgan holda, suv bolg'asi to'lqinining tarqalish tezligi, shuningdek, kuchlanishlar, deformatsiyalar va devor siljishi uchun ifodalar berilgan. Olingan munosabatlar devor nuqsonlarining quvur liniyasining mustahkamlik xususiyatlariga ta'sirini tahlil qilish imkonini beradi. Aniqlanishicha, V devorining mahalliy yupqalanishi to'lqin tarqalish tezligining pasayishiga, bosim o'zgarishi amplitudasining pasayishiga va quvur liniyasi mustahkamligini yo'qotishiga olib keladi.
Devor materialining anizotrop xususiyatini hisobga olish uchun quvur liniyasining o'zgaruvchan kesimdagi ortotropik devorlari bo'lgan kuchlanish holati ko'rib chiqildi. Qabul qilingan taxminlarga asoslanib, suv bolg'asi to'lqinining tarqalish tezligini, shuningdek, quvur liniyasi devorining kuchlanishlari, deformatsiyalari va siljishlarini aniqlaydigan iboralar berilgan. Devorning ingichkalash ta'sirini hisobga olgan holda, quvur liniyasi devorining materiali yorilib ketadigan kritik bosimni aniqlaydigan munosabatlar berilgan.
Kritik bosim ostida plastik zonaning qalinligini baholash izotropik quvur liniyasi devorlarining elastoplastik harakati shartlari asosida berilgan. Suv bolg'asi to'lqini quvur liniyasi ichida tarqalgach, suyuqlik bosimi kritik qiymatga yetdi va quvur devorining plastik deformatsiyalari paydo bo'la boshladi, deb taxmin qilingan. Keyin quvur liniyasi devorini shartli ravishda ikkita zonaga bo'lish mumkin: elastik va plastmassa. Agar plastik zona tashqi chegaraga etib borsa, u holda quvur to'liq plastika holatidadir va uning yo'q qilinishi sodir bo'ladi, deb taxmin qilingan. Bosim sakrashining tarqalishi paytida quvur liniyasining teng quvvat holatini ta'minlash uchun o'rnatilishi kerak bo'lgan quvur devorining qalinligini baholashga imkon beradigan aloqalar olinadi.
To'rtinchi bob to'r qobig'i bilan sirtda mustahkamlangan quvur liniyalarida suv bolg'asi to'lqinlarining tarqalishini matematik modellashtirishga bag'ishlangan. To'r qobig'ini hisobga olgan holda quvur liniyasi devorining tekis kuchlanish-deformatsiya holati uchun asosiy munosabatlar va tenglamalar ko'rib chiqildi. Deformatsiya paytida qobiq elastik bo'lib qoladi va anizotrop jism uchun umumlashtirilgan Guk qonuniga bo'ysunadi va qobiq to'ri to'rtta oilaning tolalaridan iborat deb taxmin qilingan. To'r qobig'ini modellashda statik va geometrik tenglamalar uzluksiz qobiqlar nazariyasining tegishli tenglamalari bilan tasvirlangan. Holat tenglamalari to'rning tuzilishiga va uning materialiga bog'liq bo'lib, anizotrop qobiqlarning tenglamalariga o'xshaydi. To'rning barcha tolalari bir xil materialdan yasalgan va bir xil kesma maydoniga ega deb faraz qilsak, quvur devorining tashqi chegarasi va to'r qobig'ining radial siljishlari bir-biriga to'g'ri kelgan taqdirda, quvur liniyasi devorining kuchlanishlari va siljishlari, shuningdek quvur liniyasida suv bolg'asi to'lqinining tezligi uchun munosabatlar topiladi. to'r qobig'i. Olingan munosabatlar to'r qobig'i bilan mustahkamlangan quvur liniyasida tarqalishi paytida bosim sakrashlarining susayishi qonuniyatini aniqlashga imkon beradi.
Moslashuvchan siqilgan quvur liniyalarida ixtiyoriy shakldagi bosim to'lqinlarining tarqalishi muammosi uchun suyuqlik oqimining laminar va vaqtinchalik rejimlarida quvur liniyasida bosim taqsimotini qurishga imkon beradigan dastur ishlab chiqilgan. Dastur "WINDOWS - 98" muhitida IBM - mos kompyuterlar uchun "PASCAL" dasturlash tilida integratsiyalashgan dasturlash muhitida amalga oshiriladi.
Delphi". Ish natijalari foydalanuvchiga suyuqlik bosimi komponentlarining qiymatlari ko'rinishida va quvur liniyasining istalgan nuqtasida bosimni taqsimlash uchun grafiklar shaklida taqdim etiladi.

Shunga o'xshash tezislar"Matematik modellashtirish, raqamli usullar va dastur komplekslari" mutaxassisligi bo'yicha, 05.13.18 OAK kodi
Quvurdagi ko'rinmaydigan siqilgan suyuqlikning bir yo'nalishli oqimining sekinlashishini modellashtirish, u bloklanganda.2010 yil, texnika fanlari nomzodi Palishkin, Dmitriy Aleksandrovich
Egri quvur liniyasida bosim to'lqinini taqsimlashning matematik modelini qurish va uning tenglamalarining taxminiy yechimi1998 yil, fizika-matematika fanlari nomzodi Tkachenko, Oleg Pavlovich
Suyultirilgan uglevodorod gazlarining asosiy transportini xavfsiz ishlatish parametrlarini prognozlash2004 yil, texnika fanlari nomzodi Stanev, Vladimir Stanislavovich
Siqiladigan suyuqlikning beqaror oqimini matematik modellashtirish va ishga tushirish moslamalarining diagnostikasi2008 yil, texnika fanlari nomzodi Kolbaya, Timur Chichikovich
Yupqa devorli strukturaviy elementlarning gaz bilan o'zaro ta'sirining chiziqli bo'lmagan dinamikasi va chiziqli bo'lmagan tebranishlarning diagnostikasi.2003 yil, fizika-matematika fanlari doktori Tukmakov, Aleksey Lvovich
DISSERTATSIYA XULOSASI"Matematik modellashtirish, raqamli usullar va dasturiy ta'minot to'plami" mavzusida, Sumets, Pavel Petrovich
4.7. 4-bob bo'yicha xulosalar
To'rli qobiq bilan mustahkamlangan quvur liniyasi devoridagi suv bolg'asi to'lqinining tarqalish tezligini va kuchlanishni aniqlash uchun ifodalar olinadi.
To'r qobig'i bo'lmagan quvur liniyasi bilan solishtirganda, to'r qobig'ining mavjudligi suv bolg'asi to'lqinining tezligining oshishiga va uning tarqalishi paytida bosim o'zgarishining kamroq zaiflashishiga olib keladi.
Kvadrat to'rli to'r qobig'i bilan mustahkamlangan quvur liniyasi devorlarining mustahkamligi tahlili o'tkazildi va kuchning nisbiy o'sishi qanchalik katta bo'lsa, qiymatlarning nisbati shunchalik katta bo'lishi ko'rsatilgan.
IS-gZlE^1.
O'zgaruvchan kesimdagi elastik quvur liniyasida bosim impulsining tarqalishi bo'yicha bir o'lchovli to'lqin muammosini hal qilish uchun nur usulini amalga oshiradigan dastur yordamida o'tkazilgan raqamli tajriba natijalari shuni ko'rsatdiki, bosim to'lqinining shakli bo'ylab tarqalish paytida. quvur liniyasi suyuqlik oqimi rejimiga qarab murakkab tarzda buziladi.
133
XULOSA.
O'zgaruvchan kesimdagi quvurlarda suyuqlikning beqaror oqimi muammosini hal qilishning nurli tasviri quyidagilarni aniqlashga imkon berdi:
1.1 turbulent suyuqlik oqimi rejimida harakatlanuvchi va statsionar suyuqlikka tarqalish holatlarida bosim sakrashining susayishi qonuni o'rtasida sifat jihatidan farq mavjud bo'lib, suyuqlik to'lqin oldida harakat qilganda, susayish eksponensial qonunga muvofiq, suyuqlik tinch holatda esa quvvat qonuniga ko'ra sodir bo'ladi;
1.2 suyuqlik oqimining laminar rejimida bosimning sakrashining susayishi tabiati to'liq quvur liniyasining tasavvurlar maydonidagi o'zgarish qonuni, suv bolg'asi to'lqinining tezligi va to'lqinning qiymati bilan belgilanadi. suyuqlikning kinematik yopishqoqligi koeffitsienti;
1.3, suv bolg'acha to'lqinining oldingi qirrasi, quvur liniyasi bo'ylab c tezlikda tarqaladi, gidravlik qarshilik X mavjudligi tufayli past tezlikda -1sk unga nisbatan ishlaydigan bezovtalik tufayli buzilishdan azoblanadi. Shunday qilib, bo'lmaganda chiziqli to'lqinlar tarqaladi, suv bolg'asi to'lqinining maksimal nuqtasi bezovtalanish zonasining oldingi chetidan tarqalish tezligidan G \u003d c ( 1-2X) ​​kamroq tezlikda harakat qiladi.
Quvur devorining anizotropiyasi va nuqsonlarini hisobga olgan holda, suv bolg'asi to'lqinining tarqalish tezligini va quvur liniyasining kuchlanish holatini, shuningdek quvur liniyasini to'r qobig'i bilan mustahkamlash mavjudligini ko'rsatadigan ifodalar olinadi. : bosimning sakrash amplitudasining pasayishi va quvur liniyasining mustahkamligining pasayishi;
2.2 to'r qobig'i bo'lmagan quvur liniyasi bilan solishtirganda, to'r qobig'ining mavjudligi suv bolg'asi to'lqinining tezligining oshishiga, uning tarqalishi paytida bosim zarbasi amplitudasining kamroq pasayishiga va kuchning oshishiga olib keladi. quvur liniyasi.
3. Har xil suyuqlik oqimi rejimlarida devor materialining elastik-plastik harakati bilan quvur liniyasi devorlarining mustahkamligi tahlili o'tkazildi va suv bolg'asi to'lqinining o'zgaruvchan kesimi kamayib borayotgan quvur liniyasida tarqalishi va laminar suyuqlik oqimi rejimi, Xo nuqtasidan bir oz masofada quvur liniyasi devorini qalinlashtirish maqsadga muvofiqdir.
4. O'zgaruvchan ko'ndalang kesimdagi elastik quvur liniyasida bosim impulsining tarqalishining bir o'lchovli to'lqinli muammosini hal qilish uchun nur usulini amalga oshiruvchi dastur yordamida o'tkazilgan raqamli tajriba natijalari shuni ko'rsatdiki, bosim to'lqinining shakli quvur liniyasi bo'ylab tarqalish suyuqlik oqimi rejimiga qarab chiziqli bo'lmagan tarzda buziladi.

DISSERTATSIYA TADQIQOTI UCHUN FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATIFizika-matematika fanlari nomzodi Sumets, Pavel Petrovich, 2003 y.
1. Hadamard J. Giperbolik tipdagi chiziqli qisman differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi. M.: Nauka, 1978.-351 b.
2. Alekseev A.S., Babich V.M., Gelchinskiy B.Ya. To'lqin jabhalarining intensivligini hisoblashning nurlanish usuli // Seysmik to'lqin tarqalishining dinamik nazariyasi savollari. V. L., 1961. - S.2 - 24.
3. Altshul AD. Quvurlardagi ishqalanish yo'qotishlari. M.: Stroyizdat, 1963. -192 b.
4. Ambartsumyan S.A. Anizotrop qobiqlarning umumiy nazariyasi. M.: Fan. Fizika-matematika adabiyotining bosh nashri, 1974. - 448 b.
5. Ambartsumyan S.A., Movisyan L.A. Impuls to'lqinlarining tarqalishi masalasiga // Polimerlar mexanikasi. 1978. - 4-son. - S. 696 - 701.
6. Amosov A.A., Dubinskiy Yu.A., Kopchenova N.V. Muhandislar uchun hisoblash usullari: Darslik. M .: Yuqori. maktab, 1994. - 544 b.
7. Babich V.M., Alekseev A.S. To'lqin jabhalarining intensivligini hisoblashning nurlanish usuli to'g'risida // Izv. SSSR Fanlar akademiyasi. Ser. geofizika. 1958. -№1. - S. 9-15.
8. Bagdoyev A.G. Siqiladigan suyuqlik harakatining ba'zi nochiziqli muammolari. Yerevan: ArmSSR Fanlar akademiyasining nashriyoti, 1967. - 230 p.
9. A. G. Bagdoev, zarba to'lqinlari bilan uzluksiz muhitning fazoviy statsionar bo'lmagan harakatlari. Yerevan: ArmSSR Fanlar akademiyasining nashriyoti, 1961. - 276 p.
10. Baxvalov N.S. Raqamli usullar. M.: Nauka, 1973. - 631 b.
11. Boshlangan G.B. Inqilobning retikulyar giperboloidining mustahkamligi, barqarorligi va tebranishlarining aksisimmetrik masalalari. Kitobda: Sent. MISI materiallari, 1974. - No 118. - S. 112-120.
12. Biderman V.L., Buxin B.L. Momentsiz retikula uchun muvozanat tenglamalari // Inzh. jurnal MTT. 1966. - 1-son. - B.84 - 98.
13. Biofizika: Proc. stud uchun. yuqoriroq darslik muassasalar. M .: Insonparvarlik. ed. markaz VLADOS, 1999. - 288 p.
14. Bolotin V.V. Moslashuvchan quvurlarning cheklangan deformatsiyalari // MPEI materiallari. - 1956 yil. 19-son. - S. 272 ​​- 291.
15. Bolotin V.V. Kuchaytirilgan muhitlar nazariyasining asosiy tenglamalari//Polimerlar mexanikasi. 1965. - 2-son. - S. 34 - 39.
16. G. I. Bykovtsev va D. D. Ivlev, plastiklik nazariyasi. Vladivostok: Dalnauka, 1998.-528 b.
17. Vanin G.A., Semenyuk N.P., Emelyanov R.F. Temirlangan materiallardan tayyorlangan qobiqlarning barqarorligi. Kiev: "Naukova Dumka", 1978. - 212 p.
18. Verveiko N.D. Elastoviskoplastik to'lqinlarning nur nazariyasi va suv bolg'asi to'lqinlari. Voronej: VGU, 1997. - 204 p.
19. Verveiko N.D. Qarshilik chizig'ida suv bolg'asini hisoblash uchun nur usuli // Izv. universitetlar. Muhandislik. 1983. - No 10. - S. 65 - 69.
20. Verveiko N.D. Suv bolg'asining bosh to'lqinini o'zgaruvchan parametrlarga ega chiziqda hisoblash // Differensial tenglamalar va ularning qo'llanilishi: Sat. ilmiy tr. Voronej, 1985. - S. 3 - 7.
21. Verveiko N.D., Sumets P.P. Chiziqli bo'lmagan elastik tomirlarda impuls to'lqinlarining tarqalishi // "Konflikt nazariyasi va uning qo'llanilishi" II Butunrossiya ilmiy-texnik konferentsiyasi materiallari. - Voronej: VGTA, 2002.-34-bet.
22. M. B. Vinogradova, O. V. Rudenko va A. P. Suxorukov, rus. To'lqinlar nazariyasi. M.: Nauka, 1979.-383 b.
23. Voevodin A.F., Shugrin S.M. Bir o'lchovli tizimlarni hisoblashning raqamli usullari. Novosibirsk: Nauka, 1981. - 208 p.
24. Volobuev A.N., Neganov V.A. Jismoniy muammolarda logarifmik chiziqli bo'lmagan chiziqli Shredinger tenglamasining paydo bo'lishi // Yangi tibbiy texnologiyalar byulleteni. 2002 yil - IX v. - № 4. - S. 81-84.
25. Volobuev A N., Neganov V.A. Aortadagi turbulentlikning degeneratsiyasi // To'lqin jarayonlari va radiotexnika tizimlari fizikasi. 2001-jild.4-№1, - S.52-56.
26. A. S. Volmir, Suyuqlik va gaz oqimidagi qobiqlar: gidroelastiklik muammolari. -M.: Fan. Fizika-matematika adabiyotining bosh nashri, 1979. -320 b.
27. Volmir A.S., Grach M.S. Oqayotgan suyuqlik bilan qobiqning tebranishlari // MTT. 1973. - 6-son. - S. 162 - 166.
28. Volmir A.S., Gershtein M.S., Purinya B.A. Aorta bifurkatsiyasi zonasidagi gidroelastik hodisalar // Polimerlar mexanikasi. 1971. -№1. - 164-166-betlar
29. Vorobyov A.M., Nikulin G.N., Kryukov Yu.N. O'zgaruvchan kesimdagi kanallarda zarba to'lqinlarining parametrlarini hisoblash // Bir va ko'p fazali muhitning gidrogaz dinamikasi. Toshkent, 1986. – S.57 – 67.
30. Gavrilyuk KV, Koshelev V.B., Lukshin A.V. Gemodinamika masalalarida nuqtali markerlar usuli / In t prikl. mat. RAS // Prepr. 10.1997. - S. 1-22.
31. Gershtein M.S., Kogutovskiy V.V. Oqadigan suyuqlik bilan ko'p qatlamli membrana sifatida arteriyaning dinamikasi // Polimerlar mexanikasi. 1975. - 5-son. -FROM. 868 - 870.
32. Ginzburg I.P. Amaliy suyuqlik dinamikasi.-L.: Leningrad davlat universiteti nashriyoti, 1958-338 p.
33. T. Gire, “Oʻtkinchi akustik toʻlqin taʼsirida elastik silindrsimon qobiqning tebranishlarining qoʻzgʻalishi”, Tr. Amer. muhandis-mexanik orollari. PM. 1969. - 36-v. - № 3. - B.82 - 91.
34. Godunov S.K. Matematik fizika tenglamalari M.: Nauka, 1971 - 416 b.
35. Goldenveizer A.L. Elastik yupqa qobiqlar nazariyasi. Moskva: Gostekhizdat, 1953.-544 b.
36. Grigoryuk E.I. Chig'anoqlarning suyuqlik bilan o'zaro ta'siri muammolari // VH Vsesoyuz materiallari. konf. chig'anoqlar va plitalar nazariyasi bo'yicha.-M.: Nauka, 1970.-S.755-778.
37. Grigolyuk E.I., Gorshkov A.G. Chig'anoqlarning barqaror bo'lmagan gidroelastikligi. -L: Kema qurish, 1974.-208 p.
38. Grigorenko Ya.M., Vasilenko A.T. Anizotropik bir jinsli qobiqlarning statikasi masalalari. M.: Fan. Ch. ed. Fizika-matematika. lit., 1992. - 336 b.
39. Grigoryan R.D. Inson yurak-qon tomir tizimining matematik modeli. - In: Biologik, tibbiy kibernetika va bionika. - Kiev: IK AN UkrSSR, 1984. - 106 p.
40. Gruz A.N., Kubenko V.D., Babaeva A.E. Qobiq tizimlarining gidroelastikligi - Kiev: Yuqori. maktab, 1984. 206 b.
41. Din, Li. Kompozit materiallarda to'lqin frontining tarqalishini o'rganish // Tr. Amer. muhandis-mexanik orollari. PM. -1969 yil. -36-jild.-№3.-S. 122-131.
42. Dobrolyubov A.I. Deformatsiyalanuvchi jismlar va suyuqliklarning to'lqinli harakatlari: Kinematika va massa almashinuvi. Minsk: Fan va texnologiya, 1989. - 94 p.
43. Ivlev DD Ideal plastiklik nazariyasi. M.: Nauka, 1966. - 232 b.
44. Idelchik I.E. gidravlik qarshilik. M.: Gosenergoizdat, 1954. -316 b.
45. Idelchik I.E. Gidravlik qarshilik bo'yicha qo'llanma. M .: Mashinostroenie, 1975. - 559 p.
46. ​​Ilgamov M.A., Kamolov A.Z. Cheklangan uzunlikdagi silindrsimon qobiqning akustik muhitdagi tebranishlari. In: Plitalar va qobiqlar nazariyasi bo'yicha tadqiqotlar. - Qozon, 1966. - S. 367 - 376.
47. Ismagilova S.R., Lejneva A.N., Shakirov N.V. Katta qon tomirlarida qon oqimini o'rganish // Russ. J. Biomex. 2. 1999. - S. 60.
48. Karo K, Pedli T., Shroter R., Sid V. Qon aylanishining mexanikasi. M.: Mir, 1981.-372 b.
49. Kataev V.P. Oqadigan suyuqlik bilan quvurlarning chiziqli bo'lmagan tebranishlari / Gidroaeromexanika va elastiklik nazariyasi. 1972. - Nashr. 14.-S.72-77.
50. Kataev V.P., Plutalov A.E. Suyuqlikning barqaror bo'lmagan oqimi bo'lgan quvurlarning dinamikasi.//Izv. universitetlar. Aviatsiya Texnika 1971. - 2-son. - S. 95 - 97.
51. Cayuk Ya.F. Plitalar va qobiqlar nazariyasining geometrik nochiziqli masalalari. - Kiev: "Naukova Dumka", 1987. 208 p.
52. Kovrevskiy A.P. Turg'un bo'lmagan suyuqlik oqimini o'z ichiga olgan quvur liniyalarining dinamikasi // Prikl. Mexanika. 1970. - T. 6. - Nashr. 8. - S. 97 - 102.
53. Koppel T.A., Liiv U.R. Quvurlarda suyuqlik harakatining paydo bo'lishini eksperimental o'rganish // Izv. SSSR Fanlar akademiyasi. MJG. 1977. - 6-son. -79-bet.
54. Koul. J. Amaliy matematikada perturbatsiya usullari. M.: Mir, 1972. - 274 b.
55. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Smirnov M.M. Matematik fizikaning differensial tenglamalari. M .: Davlat. ed. Fizika-matematika. lit., 1962. - 766 b.5 8. Kudryavtsev LD Matematik tahlilning qisqacha kursi. T2. M.: FIZMATLIT, 2002. - 424 b.
56. Kucher V.I., Kashtan B.M. Izotropik bir jinsli bo'lmagan elastik muhit uchun nur usuli. Sankt-Peterburg: Sankt-Peterburg universiteti nashriyoti, 1999. - 167 p.
57. Landau L.D., Lifshitz E.M. Nazariy fizika. T. VI. Gidrodinamika. -M.: Nauka, 1988. 763 b.
58. Lightfoot E. Tirik tizimlarda ko'chirish hodisasi. M.: Mir, 1977. - 520 b.
59. Levtov V.A., Regirer S.A., Shadrina N.X. Qonning reologiyasi. M.: Tibbiyot, 1982.- 188 b.
60. Lishchuk V.A. Qon aylanishining matematik nazariyasi. M.: Tibbiyot, 1991. -256 b.
61. L. G. Loitsyanskiy, suyuqlik va gaz mexanikasi. M .: Davlat. sanalardan boshlab. texnik-nazariy. lit., 1957. - 784 b.
62. Lukovenko S.A., Pshenichnoe G.I. Rombik to'rli to'r silindrsimon qobiqlarning tebranishlari va barqarorligi // Strukturaviy mexanika va tuzilmalarni hisoblash. 1975. - 4-son. - B.34 - 38.
63. Mises R. Siqiladigan suyuqlik oqimlarining matematik nazariyasi. M.: IL, 1961.-234 b.
64. Morman D., Heller L. Yurak-qon tomir tizimining fiziologiyasi. - Sankt-Peterburg: Peter, 2000. - 256 p.
65. Natanzon M.S. Suyuqlikning pulsatsiyalanuvchi oqim tezligi bilan qo'zg'atilgan quvur liniyasining parametrik tebranishlari / / Izv. SSSR Fanlar akademiyasi. REL. Mexanika va muhandislik. 1962. - 4-son. - S. 42 - 46.
66. Nikitin L. V. Bioelastik jismning modeli // Qattiq tana mexanikasi. 1971. -№3. - S. 154-157.
67. Novatskiy V. Elastiklik nazariyasi. M.: Mir, 1975. - 872 b.
68. Pavlovskiy Yu.N., Regier S.A., Skobeleva I.M. Qonning gidrodinamikasi. Kitobda: Gidromexanika, 1968. - M.: VINISCH 1970. - S. 5 - 96.
69. Paskonov V.M., Polejaev V.I., Chudov L.A. Issiqlik va massa almashish jarayonlarini raqamli modellashtirish. M.: Nauka, 1983. - 312 b.
70. Patrashev A.N. Gidromexanika. M .: SSR Dengiz vazirligi nashriyoti, 1953. - 720 p.
71. Pedli T. Yirik qon tomirlarining gidrodinamikasi. M.: Mir, 1983. -400 b.
72. Petrashen G.I.Elastik to'lqinlar tarqalishining matematik nazariyasi asoslari. L.: Nauka, 1978. - 220 b.
73. Petrashen G.I. Anizotrop elastik muhitda to'lqinlarning tarqalishi. L.: Nauka, 1980. - 280 b.
74. Podgorny A.N., Gruz I.S., Drujinin A.G. Bir hil anizotrop muhitda statsionar bo'lmagan manba tomonidan qo'zg'atilgan to'lqin jabhasi // Amaliy mexanika. 1976. - T. 12. - 12-son. - S. 28 - 34.
75. Podilchuk Yu.N., Rubtsov Yu.K. To'lqinlarning tarqalishi va tarqalishi nazariyasida nurlanish usullari. Kiev: Nauk, Dumka, 1988. - 220 p.
76. Podilchuk Yu.N., Rubtsov Yu.K., Soroka P.N. Impulsli nurlanishning aksimetrik akustik muammolarida nurlar seriyasi usulini qo'llash //
77. Mat. fizika va chiziqli bo'lmagan mexanika. 1987. - No 8 (42). - S. 77 - 82.
78. Podoltsev A.S., Shulman Z.P. Arterial tizimning gemodinamikasi va biomexanikasini raqamli modellashtirish // Inzh.-Fiz. va. 3. 1999. - T.72. -FROM. 450-457.
79. Polyakov K. A. O'zgaruvchan kesmali gaz-suyuqlik yo'llarida dinamik jarayonlarni modellashtirish: Dissertatsiya avtoreferati. dis. samimiy. Fizika-matematika. Fanlar. Samara, 2003. -16 b.
80. Ponomarev V.V. Chekka effektlarni hisobga olgan holda momentsiz ft nazariyasiga ko'ra aylanishning panjara qobig'ini hisoblash // Qurilish va arxitektura. Oliy o'quv yurtlari yangiliklari, Novosibirsk. 1979. -№11.- B.64 - 68.
81. Pshenichnov G.I. Elastik momentsiz qobiqlarda suyuqlik tebranishlarining ba'zi muammolarining aniq echimlari // PMM. -1971 yil. -T.35.-4-son. 739-744-betlar.
82. Bug‘doy G.I. Yupqa elastik to'rli qobiqlar va plitalar nazariyasi. -M.: Nauka Fizika-matematika adabiyotining bosh nashri, 1982. -352 b.
83. Rachev A. I. Prestresslar va mushaklarning faolligini hisobga olgan holda arterial tomirlarda puls to'lqinining tarqalishi // Polimer mexanikasi. 1978. - 2-son. - S. 301 - 311.
84. Regier S. A. Qon aylanishining gidrodinamikasi. M.: Mir, 1971. - 234 b.
85. Regier S.A. Qon aylanishi gidrodinamikasining ba'zi savollari. Shanba kuni. Tarjimalar: Qon aylanishining gidrodinamiği. - M.: Mir, 1971. - S. 242 - 258.
86. Regier S.A., Rutkevich I.M., Usik P.I. Tomirlar tonusining modeli//Polimerlar mexanikasi. 1975. - 4-son. - S. 585 - 589.
87. Reyner M. Reologiya. M.: Nauka, 1965. - 223 b.
88. Ridel V.V., Gulin B.V. Yumshoq qobiqlarning dinamikasi M.: Nauka, 1990.-205p. £ 91. Rojdestvenskiy B.L., Yanenko N.N. Kvazilinear tenglamalar sistemalari va ularning