Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kramer formulasi va gauss usuli

3-§. CHIZIQLI  ALGEBRAIK  TENGLAMALAR  SISTEMASI.  

KRAMER  FORMULASI  VA  GAUSS  USULI. 

 

Kramer formulasi. 

 

Faraz  qilaylik  birinchi  darajali,  ikkita  noma

’lumli 

ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo

’lsin: 

 















2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

b

х

а

х

а

b

х

а

х

а

                  (1) 

 

(1) sistemaning 1-tenglamasini a

22

 ga, 2-tenglamasini -a

12 

ga 

ko

’paytirib qo’shsak  

(a

11

a

22

-a

12

a

21

)x

1

= b

1

a

22

-b

2

a

12           



  

21

12

22

11

12

2

22

1

1

a

a

a

a

a

b

a

b

x







  (2) 

 

Agar (1) sistemaning  1-tenglamasini -a

21

 ga, 2-tenglamasini  

a

11  

ga ko

’paytirib qo’shsak  

(a

11

a

22

-a

12

a

21

)x

2

= b

2

a

11

-b

1

a

21           



    

21

12

22

11

21

1

11

2

2

a

a

a

a

a

b

a

b

x







  (3) 

 

(2)  va  (3)  larga  e

’tibor  bersak  ikkinchi  tartibli 

determinantning ta

’rifiga ko’ra 

 

x

1

=







1

22

21

12

11

22

2

12

1

a

a

a

a

a

b

a

b

;         x

2

=







2

22

21

12

11

2

21

1

11

a

a

a

a

b

a

b

a

;                     

(4) 

 

(4) ga Kramer formulasi deyiladi. 

 

Misol.     

 

       1)  

















1

3

8

5

2

y

x

y

x

   (x=-1; u=2),     2) 





























7

3

2

3

5

2

2

9

2

3

5

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 , (x=1;y=-

2; z=-1). 

 

Agar uch noma

’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi 



















0

0

2

2

2

1

1

1

z

c

y

b

x

a

z

c

y

b

x

a

               

berilgan bo

’lib, 



1

=

2

2

1

1

c

b

c

b

,   



2

=

2

2

1

1

а

с

а

с

 

, 



3

=

2

2

1

1

b

a

b

a

 

determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo

’lsa, u holda 

sistemaning barcha yechimlari                                            

x=



1

t,  y=



2

t,  z=



3

t      

formula bilan aniqlanadi. (t-ixtiyoriy son). 





























0

0

0

3

2

1

2

2

2

1

1

1

z

c

y

d

x

a

z

c

y

b

x

a

z

c

y

b

x

a

       

Bu  sistemada 



0  bo

’lsa,  x=0  ,u=0  ,z=0    lar  sistemaning 

yagona yechimi bo

’ladi.  

Agar 

∆=0 bo’lsa, cheksiz ko’p yechimi bo’ladi. 

 

Misol.

 

1)



















0

2

0

5

3

z

y

x

z

y

x

    (x=3t; u=4t;z=11t), 

 

2) 





























0

3

7

3

0

2

4

0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

    (x=2t;y=-3t; z=5t). 

 

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss  

usuli bilan yechish. 

 

     Quyidagi    n  ta  noma

’lumli  m  ta  chiziqli  tenglamalar 

sistemasi berilgan bo

’lsin: 







































m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

а

х

а

х

а

b

x

a

х

а

х

а

b

x

a

х

а

х

а

...

....

..........

..........

..........

..........

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

                (1) 

 

Endi  (1)  sistemani  Gauss  usuli  bilan  yechishga 

o

’taylik. 

Bu 

usulning 

mohiyati 

shundan 

iboratki 

noma

’lumlarni  ketma-ket  yo’qotib  ,berilgan  sistemaga  teng 

kuchli  bo

’lgan  uchburchak  (yoki  pog’onasimon)  ko’rinishdagi 

sistemaga 

keltiriladi. 

a

11

≠0  deb  (1)  ning  birinchi 

tenglamasini  a

11 

ga  bo

’lib,  so’ngra  uni  -a

21 

ga  ko

’paytirib, 

ikkinchi tenglamaga qo

’shamiz.  

Keyin  -a

31 

ga  ko

’paytirib,  uchinchi  tenglamaga  qo’shamiz  va 

shu  jarayonni  davom  ettiraversak  natijada    shunday  sistema 

hosil  bo

’ladiki,  u  sistemaning  faqat    birinchi  tenglamasida 

x

1

 qatnashib qolganlarida qatnashmaydi.  

   Shu  jarayonni  (1)  sistemaning  qolgan  tenglamalariga 

ketma-ket  tatbiq  etsak,  qo

’yidagi  ikkita  sistemaning 

bittasiga kelamiz. 

 



































m

n

n

n

n

n

d

x

d

x

c

x

c

x

d

x

c

х

с

x

c

x

...

..........

..........

..........

..........

...

...

2

2

3

23

2

1

1

3

13

2

12

1

  (2) yoki 











































n

p

d

x

c

x

d

x

c

x

c

x

d

x

c

х

с

x

c

x

p

n

pn

p

n

n

n

n

...

.....

..........

..........

..........

...

...

2

2

3

23

2

1

1

3

13

2

12

1

 

(3) 

(2)  sistemaga    uchburchak  sistema  ,  (3)  ga  esa  po

g’onali 

sistema deyiladi.   

Agar  (1) sistema (2) ko

’rinishdagi  sistemaga keltirilsa, u 

holda  (1)sistema  birgalikda  bo

’lgan  sistema  bo’lib  yechimi 

yagona  bo

’ladi.  Agar(1)sistema  (3)  ko’rinishdagi  sistemaga 

keltirilsa  u  holda  (1)  sistema  birgalikda  bo

’lib,  yechimi 

cheksiz ko

’p bo’ladi. 

Misol. 1)  





























39

16

25

5

18

12

14

3

0

13

7

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Yechish.  a

11

=2

≠0  bo’lgani  uchun  birinchi  tenglamani  2  ga 

bo

’lamiz. 





























39

16

25

5

18

12

14

3

0

2

/

13

2

/

7

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Bu  sistemaning  1-tenglamasini  (-3)  ga  ko

’paytirib  2-

tenglamaga, (-5)ga ko

’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak 

























39

2

/

33

2

/

15

18

2

/

15

2

/

7

0

2

/

13

2

/

7

3

2

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

 

Endi 

0

2

7

22





a

  bo

’lgani  uchun  2-tenglamani 

2

7

  ga  bo

’lib  , 

so

’ngra uni 

2

15

 ga ko

’paytirib 3- tenglamadan ayirsak: 

























7

3

7

3

7

36

7

15

0

2

13

2

7

3

3

2

3

2

1

/

/

/

/

/

/

x

x

x

x

x

x

        



       x

1

=-4;x

2

=3;x

3

=-1. 

2) 

































2

1

5

2

1

4

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

1-tenglamani (-2) ga ko

’paytirib 2-tenglamaga ,(-1) ga 

ko

’paytirib  

3-tenglamaga qo

’shsak         

































3

3

3

3

3

3

1

4

2

3

2

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

     



     

















1

1

4

2

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

 

x

2

=1+x

3

; x

1

=1-2-2x

3

+ 4x

3

-= 2x

3

-1. 

Shunday qilib     x

1

=2x

3

-1;   x

2

=1+x

3.

 

Demak  berilgan  sistema  cheksiz  ko

’p  yechimga  ega  ekan, 

chunki  x

3

    ga  ihtiyoriy  son  berib,  x

1

,  x

2

    larning  cheksiz 

ko

’p qiymatlarini hosil qilamiz. 

 

Misollar.  

 

51. 















81

7

2

13

5

3

y

x

y

x

   

52. 

















18

4

3

6

4

3

y

x

y

x

   

53. 















40

5

4

7

2

3

y

x

y

x

 

 

54. 















ab

by

ax

by

ax

6

3

0

3

2

   

55. 















2

2

1

3

y

ax

y

ax

 

 

56. 

















n

y

x

n

m

ny

mx

2

)

(

2

 

 

57. 























10

5

16

3

5

2

z

y

z

x

y

x

 

 

58. 





























16

2

5

16

7

3

2

6

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

59. 



































0

4

3

4

0

5

4

5

0

2

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 

60. 





























2

5

3

3

4

2

1

3

4

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

61. 





























7

2

3

3

3

2

4

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

62. 





























10

2

3

3

3

2

4

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 

63. 





























1

3

3

6

4

2

4

3

2

z

y

x

z

y

x

y

y

x

 

64. 





























11

4

3

3

2

4

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

  

65. 





























0

0

5

3

2

0

2

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 

66. 























6

5

0

3

3

8

7

z

x

z

y

y

x

 

 

67. 































1

2

2

2

2

3

2

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x