Боб. Алгебраик системалар 20-§. Алгебраик амал ва алгебралар

боб. АЛГЕБРАИК СИСТЕМАЛАР
20-§. АЛГЕБРАИК АМАЛ ВА АЛГЕБРАЛАР
Ҳозирги замон алгебра фани тўплам ва унинг эле-ментлари учун аниқланган алгебраик амал ва унинг хоссаларини ўргатади.
1-таъриф. Бўш бўлмаган А тўплам берилган бўлсин. декарт кўпайтмани А тўпламнинг ўзига
мос қўювчи акслантиришига А тўпламда
аниқланган бинар алгебраик амал дейилади.
Бу таърифга асосан, бўл ганда тартибланган
жуфтликка шу А тўпламнинг аниқ битта С элемента мос келгани ҳолда жуфтликка мос келмаслиги мум-
кин. а акслантирнш ёрдамида жуфтликка
нинг мос қўйилиши ёки
орқали белгиланади.
А тўнламнинг элемептлари учун аникланган бинар (икки ўринли) алгебраик амаллар одатда махсус танланган
белгилар билан белгиланади. Мактаб математика-сидан маълумки, ва лар мос рағишда а ва b эле-
ментларнинг йнғиндиси ва кўпайтмасини билдиради.
2- т а ъ р и ф. бўлиб, декарт кўпайтманинг
тартибланган ҳар бир элементига А тўплам-
нинг ягона элемента мос қўйилган бўлса, А тўпламда ранги п га тенг бўлган (п ўринли, п — ар) алгебраик амал аникланган дейилади. -
ўринли алгебраик амални а оркали белгиласак, у
ёки кўриниш-
ларда ёзилади. Баъзи ҳолларда бўлиши мумкин.
Бундай ҳолда қаралаётган алгебраик амал қисмий алгебраик амал деб юритилади.
Алгебраик амаллар ноль, бир, икки, уч, ўрин-
ли бўлиши мумкин ва улар мос равишда нулар, унар, бинар, тернар, алгебраик амаллар деб юри-
тилади.
А тўпламнинг исталган элементини алоҳида олиш—• ноль ўринли алгебраик амалдир. Бир ўринли алгебраик амал деганда А тўпламни ўз-ўзига акслантиришни ту-шунамиз. Бирор сонлар тўпламида аникланган
пропорция уч ўринли алгебраик амал бўлади. п та натурал соннинг энг катта умумий бўлувчисини топиш п ўринли алгебраик амалга мисолдир.
Натурал сонлар тўпламида аниқланган «а дан бе-восита кейин келади» муносабати бир ўринли алгеб­раик амалдир.
Битта А тўпламнинг ўзида бир қанча алгебраик амаллар аниқланиши мумкин. Шу амалларни биз орқали белгилайлик. 3-таъриф. Бўш бўлмаган А тўплам ва унда қаралаёт-ган алгебраик амаллар тўплами дан тузилган тартибланган жуфтлик алгебра дейилади.
А тўпламда қаралаётган амаллар сони чекли бўлганда бу алгебра кўринишда белгиланиб,
узунлиги га тенг бўлган кортежни ифодалайди. Бу
ер да А тўплам қаралаётган алгебранинг асосий тўплами,
амаллар эса асосий алгебраик амаллар деб юри-тилади. алгебраик амалнинг ранги одатда оркали бел-гиланали.
4-та ъ риф. Агар бўлса,
кортеж алгебранинг
тури (шипи) дейилади.
Масалан, алгебра (2, 2, 2) турли алгеб-
радир.
бўлса, операцияга нулар операция дейи-
либ, у ҳолда нулар операцияга А тўпламнинг ихтиёрий танланган элемента мос қўйилади.
алгебра эса (2, 2, 0) турли алгебрадир (1 сон кўпайтириш амалига кўра N даги нейтрал элемент).
Мисоллар. 1) Натурал сонлар тўпламида аниқ-ланган айириш амали бинар алгебраик амал бўлмай, балки қисмий бинар алгебраик амалдир, чунки истал-ган иккита натурал сон айирмаси ҳар доим ҳам нату­рал сон бўлавермайди.
2) N тўплам элементлари учун аникланган мослик алгебраик амал бўлади.
3) Бутун сонлар тўпламида сонларни қўшиш, кў-пайтириш, айириш амаллари бинар алгебраик амал бў-лади.
4) Мулоҳазалар устида бажариладиган (инкор ама-лидан бошқа) мантиқий амаллар мулоҳазалар тўпла-мида бинар алгебраик амаллар бўлади.
5) Бирор U универсал тўпламнинг қисм тўпламла-
ри учун бажариладиган бирлашма ва кесишмалар би-нар алгебраик амал бўлади.
6) Иккита натурал т ва п соннинг умумий бўлув-чисини топиш бинар алгебраик эмас, чунки мазкур сонлар бир нечта умумий бўлувчиларга эга бўлиши мумкин.
7) Иккита векторнинг скаляр кўпайтмаси ҳам би­нар алгебраик амал эмас, чунки у векторларнинг ска­ляр кўпайтмаси вектор бўлмай, балки сондир.
8) Бутун сонлар тўплами ва бу тўпламда аниқланган қўшиш, айириш амаллари бўйича алгебрани ташкил қилади.
9) алгебра (2,2) турли алгебрадир.
10) Бирор бўш бўлмаган М тўпламнинг барча қисм тўп-ламлари тўпламини деб белгилайлик. Бундай ҳолда
алгебра (2, 2, 1) турли алгебра бўлиб, бу ерда ва —лар мос равишда кесишма, бирлашма
ва тўлдирувчи тўпламларни билдиради.
11) R ҳақиқий сонлар тўплами учун алгебра (2, 2, 2, 0) турли алгебра бўлади.
Машқлар
1. бўлганда мослик неча турли алгебра бўлади.
2. N тўпламда яъни даражага кўтариш амали коммутатив бўладими ёки ассоциатив бўла-дими? Мрт \
3. Ҳақиқий сонлар тўпламида шартни каноат-лантирувчи учликлар тўплами неча турли алгебраик амал эканлигини аниқланг.