Bir o’zgaruvchili butun va kasr ratsional tenglamalar reja

BIR O’ZGARUVCHILI BUTUN VA KASR RATSIONAL TENGLAMALAR
REJA:

1.Bir o’zgaruvchili ratsional tenglamalarni yechish.

2. Bir o’zgaruvchili ratsional tengsizliklarni yechish.
Ratsional ifodani aynan almashtirish deb berilgan ifodani berilga-niga o‘xshamaydigan shunday yangi ifoda bilan almashtirish tushunila-diki, ikkalasining qiymatlari teng bo‘lsin.
Misol: berilgan bo‘lsa, kasr suratini x²+8x+15=(x+3)(x+5) ko‘rinishda yozib berilgan kasrni bilan almashtiramiz. Ikkala kasr-ning barcha x≠-5 dagi qiymatlari o‘zaro teng bo‘ladi.
Umumiy mavjudlik sohasida bir ratsional ifodani unga aynan teng ifoda bilan almashtirishga shu ifodani aynan almashtirish deyiladi. Bun-day almashtirishlar tenglamani yechishda, teoremalar va ayniyatlarni isbotlashda, masala va misollarni yechishda ishlatiladi. Almashtirishlar kasrlarni qisqartirish, qavslarni ochish, umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqarish, ifodani ko‘paytuvchilarga ajratish, o‘xshash hadlarni ixcham-lash va shu kabilardan iborat bo‘ladi. Almashtirishlarni bajarishda quyida-gilardan foydalanish tavsiya etiladi.
Agar x₁ va x₂ax²+bx+c=0 tenglamaning ildizlari bo‘lsa, u holda ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Qisqa ko‘paytirish formulalari va ba`zi umumlashtirilganlari:


(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
(a+b)(a-b)=a²-b²
(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
(a±b)⁴=a⁴±4a³b+6a²b²±4ab³+b⁴
(a±b)⁵=a⁵±5a⁴b+10a³b³±10a²b³+5ab⁴±b⁵
a⁴-b⁴=(a-b)(a³+a²b+ab²+b³)=(a-b)(a+b)(a²+b²)
a⁵+b⁵=(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)
Ikkinchi darajali bir noma’lumli tenglama soddalashtirishdan keyin


ax²+bx+c=0 (1)
ko‘rinishga keltiriladi.
Tenglamaning o‘ng tomonidan to‘la kvadrat ajratamiz:
yoki bundan yoki ikkala tomonidan kvadratildiz topamiz:
(2)
b²-4ac kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi va D bilan belgilanadi:
D=b²-4ac.
1. Agar D>0 bo‘lsa, (1) tenglama x₁≠x₂ haqiqiy ildizlarga ega bo‘ladi;
2. Agar D=0 bo‘lsa, (1) tenglama x₁=x₂ haqiqiy ildizlarga ega bo‘ladi;
3. Agar D<0 bo‘lsa, (1) tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘ladi.