Akslantirishlar

Akslantirishlar.

Reja:

Funksiya tushunchasi.

Funksiya (akslantirish) haqida tushuncha.

Akslantirish va funksiya.

Syurektiv (ustiga) akslantirish..

Biektiv akslantirish.

Funksiya tushunchasi.

• Ta`rif. A va V to’plamlar berilganda, A To’plamning har bir x elementi uchun xfu munosabatni qanoatlantiruvchi yagona uV element mavjud bo’lsa, u holda f moslikka akslantirish (funktsiya) deyiladi va u f:AB yoki u=f(x) ko’rinishlarda belgilanib A to’plam f akslantirishning aniqlanish sohasi deyiladi.

Misol.

• {(x;u)\x,uN, u=x2} funksiya bo’ladi.
• Ta`rif. u=f(x) shartni qanoatlantiruvchi tartiblangan (x;u) juftliklar to’plami funksiyaning grafigi deyiladi

Akslantirish va funksiya.

• 1-ta’rif. A to'plamdagi 𝑥 elementning B to'plamdagi 𝑦 elementga mos qo'yilishi akslantirish deyiladi. Agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning har bir elementiga mos qo'yilsa A to'plam B to'plamga akslantirilgan deyiladi 2-ta’rif. A to'plamdagi har bir 𝑥 elementning B to'plamdagi aniq bir 𝑦 elementga biror qonun yoki qoida asosida mos qo'yilishi funksiya deyiladi va 𝑦 = 𝑓(𝑥) ko'rinishda belgilanadi. Bu yerda 𝑥 − erkli o'zgaruvchi yoki argument, 𝑦 − erksiz o'zgaruvchi yoki funksiya deyiladi. Masalan yo'lning tezlikka bog'liqligi, yoki tezlikning tezlanishga bog'liqligi 1-misol. Mashina bir soatda 60 km yursa uning yo'l tenglamasini tuzing. Yechish: bir soatda 60 km yursa,ikki soatda 120km yuradi demak, 𝑠 = 60t

syurektiv (ustiga) akslantirish

• Ta`rif. Agar f:AV akslantirishda A=V, ya`ni
• f:AA bo’lsa, u holda f akslantirish to’plamni
• o’z-o’ziga akslantiruvchi almashtirish deyiladi.
• u=f(x) da u element x elementning obrazi (aksi),
• x element esa u elementning, ya`ni
• f(x) ning proobrazi (asli) deb yuritiladi.
• Ta`rif. Agar V to’plamning har bir element
• asliga ega bo’lsa, u xolda f:AV akslantirishga
• syurektiv (ustiga) akslantirish deyiladi

Biektiv akslantirish

• Ta`rif. Agar f:AV akslantirish bir vaqtda syurektiv va inektiv bo’lsa, u holda f akslantirish biektiv akslantirish deyiladi.
• Ta`rif. A to’plamning har bir x elementini yana shu x elementga o’tkazuvchi (akslantiruvchi) akslantirishga ayniy (birlik) akslantirish deyiladi va uni eA:AA orqali belgilanadi.

Funksiya tushunchasini umumlashtirish.

• Ma'lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta'rianadi: X sonlar o`qidagi biror to`plam bo`lsin. Agar har bir x ∈ X songa f qoida bo`yicha aniq bir y son mos qo`yilgan bo`lsa, u holda X to`plamda f funksiya aniqlangan deyiladi va y = f(x) shaklda yoziladi. Bunda X to`plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil topgan E(f) to`plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya'ni E(f) = { y : y = f(x), x ∈ X } .
• Agar sonli to`plamlar o`rnida ixtiyoriy to`plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya'ni akslantirish ta'riga kelamiz. Bizga ixtiyoriy X va Y to`plamlar berilgan bo`lsin. Agar har bir x ∈ X elementga biror f qoida bo`yicha Y to`plamdan yagona y element mos qo`yilsa, u holda X to`plamda aniqlangan Y to`plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish berilgan deyiladi. Bundan keyin biz ixtiyoriy tabiatli to`plamlar bilan ish ko`ramiz (shu jumladan sonli to`plamlar bilan ham), shuning uchun ko`pgina hollarda funksiya termini o`rniga akslantirish atamasini ishlatamiz. X to`plamda aniqlangan va Y to`plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish uchun f : X → Y belgilashdan foydalaniladi. Biz asosan quyidagi belgilashlardan foydalanamiz. N − natural sonlar to`plami, Z − butun sonlar to`plami, Q − ratsional sonlar to`plami, R − haqiqiy sonlar to`plami, C − kompleks sonlar to`plami, R+ = [0, ∞), Z+ = {0} S N hamda R n sifatida n o`lchamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi.

2.1-misol. f : R → R, f(x) = |x| .

• Yechish. 2.1-misolda keltirilgan f : R → R akslantirishning qiymatlar sohasi E(f) = [0,∞) dan iborat. Chunki barcha x ∈ R lar uchun |x| ≥ 0 va ixtiyoriy y ∈ [0,∞) uchun f(y) = y tenglik o`rinli. 2.2-misoldagi g : R → R, g(x) = 2 [x] akslantirishning qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko`ra E(g) = 2 · Z := {. . . , −2, 0, 2, . . . , 2n, . . .} dan iborat. Dirixle funksiyasi D : R → R ning qiymatlar sohasi ikki nuqtali to`plamdan iborat, ya'ni E(D) = {0; 1} . Riman funksiyasi R : R → R ning qiymatlar sohasi, E(R) = ½ 0; 1; 1 2 ; 1 3 ; . . . ; 1 n ; . . .¾ . Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi P : R 2 → R, P(x, y) = x ning qiymatlar sohasi, E(P) = R dan iborat. Sferik akslantirish S : R 3 → R, S(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ning qiymatlar sohasi, E(S) = R+ dan iborat. ∆ Endi f : X → Y akslantirish uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz.

2.1-misol. f : R → R, f(x) = |x| . davomi

• Har bir a ∈ X uchun unga mos qo`yilgan b = f(a) ∈ Y element a elementning f akslantirishdagi tasviri yoki aksi deyiladi. Umuman, X 13 to`plamning biror A qismi berilgan bo`lsa, A to`plam barcha elementlarining Y dagi tasvirlaridan iborat to`plam A to`plamning f akslantirishdagi tasviri yoki aksi deyiladi va f(A) simvol bilan belgilanadi. Endi b ∈ Y ixtiyoriy element bo`lsin. X to`plamning b ga akslanuvchi barcha elementlaridan iborat qismi b elementning f akslantirishdagi asli deyiladi va f −1 (b) simvol bilan belgilanadi. f −1 (b) to`plamf(x) = b tenglama ildizlaridan iborat. O`z navbatida har bir B ⊂ Y to`plam uchun X ning B ga akslanuvchi (o`tuvchi) qismi B to`plamning f akslantirishdagi asli deyiladi va f −1 (B) = { x ∈ X : f(x) ∈ B} shaklda belgilanadi. Umuman olganda, Y to`plam sifatida f akslantirishning qiymatlar sohasini o`zida saqlovchi to`plam qaraladi. Agar barcha b ∈ B lar uchun ularning f −1 (b) aslilari bo`sh bo`lsa, u holda B to`plamning asli ham bo`sh to`plam bo`ladi.