Bir xil o’lchamli А va В matritsalarning barcha mos elementlari o’zaro teng bo’lganda ular teng (А=В) deb ataladi.
Matritsalarni qo’shish.
Ikkita bir xil o’lchamli matritsaning yig’indisi deb ularning mos elementlarini qo’shish natijasida hosil bo’lgan matritsaga aytiladi.
Matritsalarning yig’indisi uchun А+В=В+А, (А+В)+С=А+(В+С) tengliklar o’rinli.
Barcha elementlari nollardan iborat matritsa nol matritsa deb ataladi va (0) yoki 0 kabi belgilanadi. Istalgan А matritsa uchun А+0=А bo’ladi, bu yerdagi 0 matritsa А bilan bir xil o’lchamli nol matritsa.
Matritsani songa ko’paytirish.
Matritsani songa ko’paytirish.
Matritsani songa ko’paytmasi deb matritsaning barcha elementlarini shu songa ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan matritsaga aytiladi.
Matritsani nolga ko’paytirish natijasida nol-matritsa hosil bo’ladi.
Birlik matritsa.
Bosh diagonalida turgan barcha elementlari 1 ga teng bo’lib qolgan elementlari 0dan iborat kvadrat matritsa birlik matritsa deb ataladi va Е orqali belgilanadi. Birlik matritsaning determinanti 1ga teng, ya‘ni |Е|=1.
Istalgan А kvadrat matritsani uning tartibiga mos birlik matritsaga ko’paytirish natijasida o’sha matritsaning o’zi hosil bo’ladi, ya‘ni АЕ=ЕА=А.
Ikkita sonlardan kamida bittasi nol bo’lgandagina ularning ko’paytmasi nol bo’lishi ma‘lum. Matritsalarni ko’paytmasi bunaqa xossaga ega emas, ya‘ni ikkita noldan farqli matritsalarning ko’paytmasi nol matritsa bo’lishi ham mumkin.
Matritsalarni ko’paytirish.
Matritsalarni ko’paytirish.
Teskari matritsa.
Teskari matritsa.
Аkvadrat matritsaga teskari matritsa deb AВ=ВА=Е shartni qanoatlantiruvchi В matritsaga aytiladi. А matritsaga teskari matritsa odatda А-1 kabi belgilanadi. Har qanday kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjudmi degan savolga quyidagi teorema javob beradi.
4.1-teorema. А kvadrat matritsaga teskari А matritsa mavjud bo’lishi uchun А matritsaning xosmas matritsa bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. Faraz qilaylik А ga teskari А-1 matritsa mavjud bo’lsin. U holda АА-1=Е, bo’ladi. Bundan А matritsaning xosmasligi kelib chiqadi.
Matritsaning rangi va uni hisoblash.
Matritsaning rangi va uni hisoblash.
To’g’ri burchakli yoki kvadrat A matritsa berilgan bo’lsin. Matritsaning k ta satr va o’shancha ustunlarini tanlab ularni kesishish joyida turgan elementlardan joylashish tartibini o’zgartirmagan holda k-tartibli deteminant tuzamiz. Ana shu determinant A matritsaning k-tartibli minori deb ataladi. Matritsaning elementlarini uning birinchi tartibli minori deb hisoblash mumkin.
Agar A matritsaning -tartibli minorlari orasida kamida bitta noldan farqlisi mavjud bo’lib, undan yuqori tartibli qolgan barcha minorlari nolga teng bo’lsa, u holda butun son A matritsaning rangi deyiladi.
Boshqacha aytganda A matritsaning noldan farqli minorining eng yuqori tartibiga shu matritsaning rangi deb atalar ekan.
Nol matritsadan farqli istalgan matritsaning rangi natural son bo’ladi.
Matritsaning rangini topishda ko’p sonli determinantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Shuning uchun matritsani rangini hisoblashda uni elementar almashtirish deb ataluvchi almashtirishdan foydalanish maqsadga muvofiq.
Matritsani elementar almashtirish деб quyidagi almashtirishlarga aytiladi.
Matritsani elementar almashtirish деб quyidagi almashtirishlarga aytiladi.
faqat nollardan iborat satr (ustun)larni o’chiramiz;
ikkita satr (ikkita ustun)larni o’rinlarini almashtirish;
bir satr(ustun)ning barcha elementlarini biror songa ko’paytirib, boshqa satr(ustun)ning mos elementlariga qo’shish;
satr(ustun)ning barcha elementlarini noldan farqli bir xil songa ko’paytirish.
Agar matritsa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida hosil qilingan bo’lsa va ekvivalent matritsalar deyiladi hamda kabi yoziladi.
1-teorema. Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning rangi o’zgarmaydi.
Teoremaning isboti determinantlarning xossalaridan kelib chiqadi.
2-teorema. Agar matritsaning rangi ga teng bo’lsa u xolda unda ta chiziqli bog’lanmagan satrlar mavjud bulib qolgan barcha satrlar shu ta satrlar orqali chizikli ifodalanadi, ya‘ni ularning chizikli kombinatsiyasi bo’ladi.
