16-Amaliy mashg’ulot. Kanonik tenglamalar. Lagranj va Gamilton funksiyalari orasidagi bog'lanishni topish

16-Amaliy mashg’ulot. Kanonik tenglamalar. Lagranj va Gamilton funksiyalari orasidagi bog'lanishni topish.

Mexanik sistema holatini umumlashgan koordinata va tezliklar orqali aniqlash (Lagranj formalizmi) bunday sistemalarni yoritishning yagona usuli emas. Ba’zi mexanik sistemalar holatini umumlashgan koordinata q_i va umumlashgan impulslar P_i orqali ifodalash qulayroq bo’ladi (Gamilton formalizmi). Bu usulda mexanik sistemaning holati Gamilton funksiyasi

(16.1)

bilan xarakterlanadi. Harakat tenglamasi esa –S (S – erkinlik darajasi) ta birinchi tartibli tenglamalar sistemasidan iboratdir:

(16.2)

Bu tenglamalar – Gamilton tenglamalari yoki kanonik tenglamalar deyiladi. (16.1) munosabat ko’rinib turibdiki, Gamilton funksiyasi H Lagranj funksiyasi olgan ortirma ga teskari ishorali ortirma oladi. (bu holda p,q va q, lar o’zgarmas deb hisoblanadi)

(16.3)

Dinamik kattaliklar – umumlashgan koordinata, impuls hamda vaqtning ixtiyoriy funksiyasi r(q,p,t) ning vaqt davomida o’zgarishi quyidagicha aniqlanadi:

(16.4)

Bu yerda

(16.5)

Puasson qavslari deb ataladi. Agarda f(q,p,t) harakat integrali (harakat davomida saqlanuvchi kattalik) bo’lsa, u holda

(16.6)

Shu jumladan, vaqtga oshkora bog’liq bo’lmasa

(16.7)

Gamilton tenglamalari Puasson qavslari orqali juda ham sirametrik ravishda ifodalanadi

(16.8)

Dinamik kattaliklarning funksiyasi bo’lgan uchta ixtiyoriy f,g,h larning Puasson qavslari orasida Yakobi ayniyati o’rinlidir:

(16.9)

16.1. Berilgan Gamilton funksiyalariga mos Gamilton tenglamalarini tuzish.

1 – masala. Ushbu Gamilton funksiyasiga mos ravishda Gamilton tenglamasini tuzing:

Yechilishi: (16.2) ifodaga binoan:



2 – masala.

Yechilishi: Bu gal erkinlik darajasi 3ga teng, demak, uch juft tenglama topiladi: