1. Tanlamaning statistik taqsimoti. Empirik taqsimot funksiyasi. Poligon va gistogramma

1. Tanlamaning statistik taqsimoti. Empirik taqsimot funksiyasi. Poligon va gistogramma
Tasodifiy hodisalar ustida o‘tkaziladigan kuzatish natijalariga asoslanib, ommaviy tasodifiy hodisalar bo‘ysunadigan qonuniyatlarni aniqlash mumkin. Matematik statistikaning asosiy vazifasi kuzatish natijalarini (statistik ma’lumotlarni) to‘plash, ularni guruhlarga ajratish va qo‘yilgan masalaga muvofiq ravishda bu natijalarni tahlil qilish usullarini ko‘rsatishdan iborat.
Biror X tasodifiy miqdor F(x) taqsimot funksiyasiga ega deylik. X tasodifiy miqdor ustida o‘tkazilgan n ta tajriba (kuzatish) natijasida olin-gan qiymatlar to‘plamiga n hajmli tanlanma deyiladi, qiymatlarni bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan va X tasodifiy miqdor bilan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar deb qarash mumkin. Ba’zan tanlanma F(x) nazariy taqsimot funksiyaga ega bo‘lgan X bosh to‘plamdan olingan deb ham ataladi.
Bosh to‘plamdan tanlanma olingan bo‘lsin. Birorta x₁ qiymat marta, qiymat marta va hokazo kuzatilgan hamda

bo‘lsin. Kuzatilgan qiymatlar variantalar, kuzatishlar soni chastotalar deyiladi. Kuzatishlar sonining tanlanma hajmiga nisbatini

nisbiy chastotalar deyiladi.
Tanlanmaning statistik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar ro‘yxatiga aytiladi.
Shunday qilib, taqsimot deyilganda ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari va ularning ehtimollari orasidagi moslik, matematik statistikada esa kuzatilgan variantalar va ularning chastotalari yoki nisbiy chastotalari orasidagi moslik tushuniladi.
Aytaylik, X son belgi chastotalarining statistik taqsimoti ma’lum bo‘lsin. Quyidagi belgilashlar kiritamiz: -belgining x dan kichik qiymati kuzatilgan kuzatishlar soni; n – kuzatishlarning umumiy soni.
Taqsimotning empirik funksiyasi (tanlanmaning taqsimot funksiyasi) deb har bir x qiymati uchun (X
Bu yerda: – x dan kichik variantalar soni, n – tanlanma hajmi.
Xossalari: 1) Emperik funksiyaning qiymatlari [0; 1] kesmaga tegishli.
2) kamaymaydigan funksiya.
3) Agar x₁ eng kichik varianta, x_k esa eng kata variant bo’lsa, u holda bo’lganda =0, x>x_k bo’lganda =1 bo’ladi.

Tanlanmaning statistik taqsimotini ko‘rgazmali tasvirlash hamda kuzatilayotgan X belgining taqsimot qonuni haqida xulosalar qilish uchun poligon va gistogrammadan foydalaniladi.

Chastotalar poligoni deb kesmalari , … ( nuqtalarni tutashtiradigan siniq chiziqqa aytiladi. Bu yerda – tanlanma variantalari, – mos chastotalar.
Nisbiy chastotalar poligoni deb kesmalari , … ( nuqtalarni tutashtiradigan chiziqqa aytiladi, bu yerda x_i – tanlanma variantalari, W_i –ularga mos nisbiy chastotalar.
Chastotalar gistogrammasi deb asoslari h uzunlikdagi oraliqlar, balandliklari esa (chastota zichligi) nisbatlarga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan iborat pog‘onali figuraga aytiladi.
Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb asoslari h uzunlikdagi oraliqlar balandliklari esa (nisbiy chastota zichligi) nisbatlarga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan iborat pog‘onali figuraga aytiladi.
291-misol. Hajmi 30 bo‘lgan tanlanmaning chastotalari taqsimoti berilgan.

	2	8	16
	10	15	5

Nisbiy chastotalar taqsimotini tuzing.
Yechish: Nisbiy chastotalarni topamiz. Buning uchun chastotalarni tanlama hajmiga bo‘lamiz.

u holda, nisbiy chastotalar taqsimoti

	2	8	16

292-misol. Quyidagi taqsimot qatori bilan berilgan tanlanmaning empirik taqsimot funksiyasini tuzing va grafigini chizing.

	1	4	6
	10	15	25

Yechish:


U holda, nisbiy chastotalar empirik taqsimoti

	1	4	6
	0.2	0.3	0.5

Empirik taqsimot funksiya quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Topilgan qiymatlar asosida grafikni yasaymiz.
293-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti bo‘yicha chastotalar va nisbiy chastotalar poligonlarini chizing.

	1	2	4	5	8
	5	10	15	7	3

Yechish: n=5+10+15+7+3=40 tanlanma hajmi. Chastotalar poligoni quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.



Nisbiy chastotalarni topamiz.
; ; ; ; ;

	1	2	4	5	8

U holda, nisbiy chastotalarni poligoni quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

294-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti bo‘yicha chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammalarini chizing.

Interval nomeri	Qism interval	Intervaldagi variantalar chastotalari yig‘indisi	Chastotalar zichligi	Nisbiy chastotalar	Nisbiy chastotalar zichligi
I			/h		/h
1	5–10	2	0.4
2	10–15	6	1.2
3	15–20	12	2.4
4	20–25	10	2

Chastotalar gistogrammasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Nisbiy chastotalar gistogrammasi esa quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

295. Quyidagi tanlanma berilgan.

2, 1, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3.

1. 
   Variatsion qatorni tuzing.
   
2. 
   Chastotalar jadvalini tuzing.
   

v) Nisbiy chastotalar poligonini chizing. 296. Korxona ishchilaridan tavakkaliga 20 tasi tanlanib, ularning tarif razryadlari haqida quyidagi ma’lumotlar olingan.
1, 2, 4, 6, 3, 4, 4, 2, 6, 3, 5, 3, 3, 1, 5, 4, 2, 5, 4, 3.
Shu ma’lumotlarga asoslangan holda:

1. 
   Tanlanmaning statistik taqsimotini tuzing va chastotalar poligonini yasang.
   
2. 
   Empirik taqsimot funksiyasini tuzing.
   

297. Tanlanma

	4	7	8	12
	5	2	3	10

chastotalar taqsimoti ko‘rinishda berilgan. Nisbiy chastotalar taqsimo-tini toping.
298. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha uning empirik funksiyasini toping.

	1	4	6
	10	15	25

299. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha chastota-lar poligonini yasang.

	2	3	5	6
	10	15	5	20

300. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha nisbiy chastotalar poligonini yasang.

	2	4	5	7	10
	0.15	0.2	0.1	0.1	0.45

301. Quyidagi ma’lumotlar asosida empirik funksiyasini toping.

	4	7	8
	5	2	3

302. Chastotalar poligonini yasang.

	15	20	25	30	10
	10	15	30	20	25

303. Nisbiy chastotalar poligonini yasang.

	20	40	65	80
	0.1	0.2	0.3	0.4

304. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha chastotalar gistogrammasini yasang.

Interval ro‘yxati	Qism interval	Intervaldagi variantalar chastotalarining yig‘indisi	Chastota zichligi
I
1	2–7	5
2	7–12	10
3	12–17	25
4	17–22	6
5	22–27	4

305. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha chastotalar gistogrammasini yasang.

Interval ro‘yxati	Qism interval	Qism intervaldagi variantalar chastotalarining yig‘indisi
I
1	0–2	20
2	2–4	30
3	4–6	50

306.Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha chastotalar gistogrammasini yasang.

Interval ro‘yxati	Qism interval	Qism intervaldagi variantalar chastotalarining yig‘indisi
I
1	2–5	6
2	5–8	10
3	8–11	4
4	11–14	5

307. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti bo‘yicha chastota-lar poligonini yasang.

	1	4	5	8	9
	0.15	0.25	0.3	0.2	0.1

308. Quyidagi ma’lumotlar asosida empirik funksiyani toping.

	2	5	7
ni	3	2	5

309. Nisbiy chastotalar poligonini yasang.

	5	10	12	20
	0.1	0.2	0.3	0.4

310. Tanlanma

	3	7	8	10
	5	2	3	10

chastotalar taqsimotini ko‘rinishida berilgan. Empirik taqsimot funksiya-ni toping va grafigini chizing.