1. Метод квадратур Линейное уравнение Фредгольма II рода

1. Метод квадратур
1. Линейное уравнение Фредгольма II рода имеет следующий вид:

Здесь неизвестная функция, ядро интегрального уравнения, свободний член (правая часть) интегрального уравнения. Для удобства анализа в интелральном уравнении (1) по традиции принято выделять числовой параметр который называют параметром интегрального уравнения.
На вопросы существования решения уравнени (1) отвечает классическая теория Фредголмбма ( см., напр., ) Она применима, в частности, для непрерывных в прямоугольнике ядер. Будем считать, что правая часть уравнения (1) непрерывна на отрезке , а его решение будем разыскивать в классе непрерывных на функций. Если однородное уравниние ( имеет только тривиальное рещениеб то значение параметра називается правильным или регульярнымю Тогда у неоднородного уравнения при любой правой части существует единственное решениею. Всюду далуу в этой главе будем считать это условиу выполненным.
Приложения интегральных уравнений Фредгольма второго рода весьма разнообразны граничные задачи теории потенциала, граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, граничные задачи теории упругости и т.д.
2. Описание метода. Найдем приближенное решение уравнения (1) методом квадратур. Построим на отреске сетку с узлами Запишем уравнение (1) в узлах сетки:

Аппроксимируем интегралы в равенствах (2) конечными суммами с помощью одной из квадратурных формул:

Здесь приближение к искомой функции веса квадратурной формулы.
Решение системы уравнений (3) дает приближенные значения искомой функции в узлах По ним с помощью интерпольяции можно построить приближенное решение интегрального уравнения (1) на всем отрезке .
Пусть равномерная с шагом Используем квадратурную формулу трапеций. Тогда система линейных алгебраических уравнений (3) примет следующий вид:

Где
3. Компьютерная программа. Напишем на язике Matlab функцию Fred_II_Rest.m, реализующую вычисления по формуле (4).
% Функция для решения уравнения Фредгольма второго
% рода методом квадратур. Используется формула
% трапеций с равноотстоящими узлами.
% входные данные: К- ядро уравнения, f – правая
% часть ( задаются аналитически ). – а-начало
% отрезка интегрирования, b- конец отрезка, h-шаг
% сетки. Результат – вектор у приближений к
% решению в излах сетки
% Автор : Файрушин Р.
Function [y] = Fred_II_Rect(k,f,a,b,h)
X=a:h:b;
N=size(x,2);
Wt=1/2;
Wj=1;
A=zeros(n);
For i=1:n
A(i,j)= -h*qj*k(x(i),x(1));
For j=2:n-1
A(i,j)= -h*wj*k(x(i),x(j));
End;
A(i,n) =-h*wt* k(x(i),x(n));
A(i,i)=A(i,i)+1;
End;
B=zeros(n,1);
For j=1:n
B(j,1) = f9x(j));
End;
Y=a\b;
4.примерю Выполним с помощью функции fred_II_rect.m упражнения 3,9 с.162,из книги [3] .Дано уравнение (1) с границами отрезка интегрирования а=- и b= параметром ядром

И правой частью f(x)=25-16 cos(2x) . надо найти приближенное решение этого уравнения методом квадратур, основанным на использовании формулы трапеций с равномерной сеткой с шагом h= 18,и сравнит с точным.
На языке Maktab сценарий решения этой задачи выглядит следуюшим образом. Для сравнения приближенного решения с точным используется функция plots.m (см.с.13).