|
)
-6 >
№ )
%(п)
Р(п)
=1 >
» • • • >
> • • • •
Координаталари шу сонлардан иборат бўлган бирлик кубнинг
Рк = т
^
'к
>
т (к = 1 , ю
нуқталарини
N
та ўзаро боғлиқ бўлмаган тасодифий нуқталар деб
қарашимиз мумкин.
Эллигинчи йиллардан бошлаб ҳисоблаш математикасида, шу
жумладан каррали интегралларни ҳисоблашларда, Монте — Карло
методи қўлланила бошланди.
Биз ҳозир шу методнинг икки вариантини қисқача кўриб чиқа-
миз.
Б и р и н ч и в а р и а н т . Фараз қилайлик, интеграллаш соҳаси;
қуйидаги
0 <
х,
< 1
О<<
0 1
(хи х 2,
. . . . Х;_
1
)
<Ф,-
(хи х г, . . . ,
Хг-О
(14.1)
(I
— 2 ,3 .............
п)
тенгсизликлар билан аниқлансин ва
/ ( Р ) = / ( х и х 2, . . .
,
х, }
функция бу соҳада
0 < / ( Р ) < 1
(14.2)
тенгсизликни қаноатлантирсин. Ушбу
1 = 1 / ( Р ) а Р
(14.3)
а
каррали интегрални тақрибий ҳисоблаш учун юқорида айтилган
N
та
Рк =
(Н /, |^2), . . .
Ц/)
тасодифий нуқталар тўпламини оламиз.
Агар
Рк
6 2 бўлса,
/ ( Р к)
ни ҳисоблаймиз, агар
Рк $&
бўлса,
/ ( Р к)
= 0 деб оламиз. Сўнгра, бу
/ ( Р к)
миқдорларнинг ўрта ариф-
метигини аниқлаймиз:
8 м ( ? ) =
- ^ 2
/(Рк)
катта сонлар қонунига кўра катта
N
лар учун:
к—
1
катта эҳтнмоллик билан
1 = 5 м ( / )
деб олиш мумкин. Аниқроғи,.
агар берилган а ( 0 < а < 1 ) учун А
қуйидаги
Ф(4) =
/
2п —о
_ _ е _
2
е сИ ■
■
1 + а
2
(14.4)
38?
www.ziyouz.com kutubxonasi
■тенгликдан (эҳтимолликлар интеграли " жадвалидан фойдаланиб)
аниқланса ва берилган $ > 0 учун
N
қуйидаги
М > 4 2
- [ \ Л
р
) - 1 \ Ч
р
= -
/ \ р ) й р — Р
= - т а д
тенгсизликни қаноатлантирса, у ҳолда Чебишев тенгсизлигига кў-
фа
.
тенгсизлик а эҳтимоллик билан бажарилади. Агар 4 = 2 бўлса,
у ҳолда а = 0,997 ва 4 = 5 бўлса, у ҳолда а = 0,99999 бўлади.
Бу ерда / нинг қиймати олдиндан маълум бўлмагани учун,
/ ) ( / ) нинг қиймати номаълум, шунйнг учун ҳам
N
нинг керакли
кичик қийматими топиш мураккаблашади. Шу сабабга кўра прак-
тикада қуйидагича иш тутилади.
Ихтиёрий А
70
сонни олиб,
£)(/)
нинг тақрибий қийматини бера-
диган
к=\
^иқдорни ҳисоблаймиз, кейин А^ ни аниқлаймиз:
Агар
^ > ^ 0
бўлса, у ҳолда [Аў] +
1
та синов олинади ва
8л / / ) :
1
[ЛЧ-М
[М] + 1
к=\
1 + 4
Ў { Р к ) ~ 8 % \ / ) ,
| 7 | ) ч ( л
2
миқдорлар ҳисобланади ҳамда Л + А/, билан таққосланади ва ҳ.к .
Синовнинг керакли сони
Мт
аниқлангандан кейин бу жараён тўх-
татилади.
ч,
Зм{/)
ва оЛг(/) ларни
ҳисоблашда ЭҲМларнинг хотирасини
абанд қилмаслик \ақсади да қуйидагича иш тутиш мумкин.
Фараз қилайлик,
т
та синов ўтказилиб,
2 / т а , и
«
- + 2 т ) - ч , < л
к—1
к
= 1
миқдорлар ҳисобланган бўлсин.
Навбатдаги
т
+
1
- синов ўтка-
?илгандан кейин 5
/га+1
( /) ва
6т + 1
( / ) лар
8т\
1 (/) =
\т8 т{/) Л- /{Рт+\
)],
8/11+1 ( /) “
8ЦГ) )
+ / 2( Р т + 1)] - ^
+1( /)
формулалар ёрдамида ҳисобланади.
И к к и н ч и в а р и а н т . Бу ерда ҳам аввалгидек
N
та
=*»
388
www.ziyouz.com kutubxonasi
*= (Е*1), ^2>, . . . , £<£>) ўзаро боғлиқ бўлмаган тасодифий нуқталар
орасидан
0 < ^ > < 1
Ф ^ О ), |<2> ) < ^ < д а %2>),
Ф«(?(Л .
-
^ п_1)) < ^ п)*
0 < 5 й< / (Е у > ,
:фя(^>,
?(«-
1)),
№
тенгсизликларни қаноатлантирадиганларнинг сони V аниқланади-
Етарлича катта
N
лар учун
деб олиш мумкин. Аниқроғи, агар берилган а учун
(а
(14.4) тенг-
ликдан аниқланса ва синовлар сони
N
берилган е > 0 орқали
(2
(14.5)
тенгсизликни қаноатлантирса, у ҳолда а эҳтимоллик билан
тенгсизлик бажарилади.
Агар ЭҲМ [0, 1] да текис тақсимланган тасодифий миқдорлар-
ни ҳосил қилувчи программага эга бўлса, у ҳолда бу варианг
олдинги вариантга нисбатан анча қулайдир.
Бу ерда (14.5) тенгсизликни қаноатлантирувчи
N
ни аниқлаш
учун аввал ихтиёрий А^ олиниб, юқоридаги усул билан интеграл-
нинг тақрибий қиймати / 0 ҳисобланади ва
дг. =_ ./|)(1 ~ .У||) /2
е2
а
топилади. Агар А^ > А^0 бўлса, у ҳолда синовлар сони [/Ҳ] + 1
га етказилади, / ҳисобланади ва
Л
е2
<*
топилади. Бу жараён керакли
Мк
топилгунга қадар давом эттири-
лади.
Шуни ҳам айтиш керакки, бу метод
N
та синов нуқта олин®
ганда а эҳтимоллик билан 0(=) == 0
хатоликни беради.
15-
§. СИНГУЛЯР ИНТЕГРАЛЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ҲИСОБЛАШ
1. Сингуляр интеграл туш ун ч аси . Биз 10- § да
<0<«<ч
кўринишдаги махсусликка эга бўлган интегралларни ҳисоблаш
масаласини кўрган эдик.
38®
www.ziyouz.com kutubxonasi
Кўп татбиқий масалаларда, жумладан аэродинамикада, шундай
мнтеграллар учрайдики, уларда а = 1 бўлади. Бундай ҳолда интег-
.рални Коши бўйича бош қиймат маъносида тушуниш керак.
Агар
/ (х )
функция [
а
,
Ь
] оралиқнинг
с
нуқтаси атрофида че-
гараланмаган бўлиб,
С—
8
ь
-
П т
£->0
|
А № +
|
№ & .
а
с+г
.лимит мавжуд бўлса, бу лимит [
а , Ь]
оралиқ бўйича
/ ( х )
функ-
циядан олинган хосмас
интегралнинг Коши бўйича бош қий-
..мати
дейилади ва
ь
*ь
/ (х ) й х
ёки
|
/( х) йх
а
а
ҳ
к .
р . \
жаби белгиланади. (Бу ерда
V .
р. „уа1еиг рг1пс1ра1е“ сўзларнинг
<бош ҳарфлари бўлиб, французча „бош қиймат“ни билдиради).
Бош қиймат маъносидаги интегралларни кўпинча
махсус
ёки
еингуляр интеграллар
деб аташади.
М и с о л. Фараз қилайлик, / (
х
) = —!---- ,
с Р (&, Ь)
бўлсин. У ҳолда
х
—
с
С — г х
,
Ь
,
С
а х
(*
а х
ь — с
е<
-------- +
-------- = 1п ----- -- + 1п — .
(15.1)
0 х
—
с
е) х
—
с
с — а
е2
а
С-\-г
з
Жўриниб турибдики,
ва
ихтиёрий равишда нолга интилса, бу йиғинди-
с
й х
шинг лимити мавжуд бўлмайди, яъни
------ — хосмас интеграл
мавжуд
^
х
—
с
ц
а
-бўлмайди. Бу ерда е2 = е3 = е деб оламиз, У ҳолда
е
-» 0 да (15.1) ифода-
ь
.
'
-
ь ах
-шинг лимити мавжуд бўлиб, таърифга кўра 1 -------- интегралнинг бош қий-
г
х —
с
а
матини беради;
V. р
■ I
й х
Ь
— с
------ = 1п -------
(15.2)
Т а ъ р и ф . Агар ихтиёрий х ь х 2 £ [ а ,
Ь\
нуқталар учун
\/(Г\)
/(хр)
I ^ А
\х^
х 2|*
тенгсизлик- ўринли бўлса, у ҳолда
/(х)
функция
\а, Ь\
оралиқда
Гельдер шартини қаноо,тлантиради
дейилади, бу ерда /, ва
-<х — қандайдир мусбат миқдорлар. Агар а = 1 бўлса, у ҳолда
/ ( х )
■Лиишиц шартини қаноатлантиради
дейилади. Биз доим 0 <
< а ^ 1 деб оламиз. Кўриниб турибдики,
\а, Ь\
да Гельдер шарти-
-ни қаноатлантирадиган функция шу оралиқда узлуксиздир.
Фараз қилайлик,
у
£
(а, Ь)
ихтиёрий нуқта бўлсин, Г
-
йх
0 х — у
а
гинтегралда
К(х, у)
—!—
Коши ядроси
дейилади ва интеграл-
х
- у
нинг ўзи
Кошининг сингуляр интеграли
дейилади.
390
www.ziyouz.com kutubxonasi
1 -т ео р ем а ; Агар / (
х )
функция
[а, Ъ\
оралиқда Гельдер
шартини қаноатлантирса, у ҳолда Кошининг сингуляр интеграли
бош қиймат маъносида мавжуддир.
И сбот. Ҳақиқатан ҳам,
Г
Ш
- 1 Ш
. а х +
/ ( у )
г
- * * -
.
( 1 5 .3 )
*/
Х
— у
V
X
—
V
3 X
—
V
а
а
'
а
'
\х —
у!1
— (а > 0 ) ,
Гельдер шартига кўра | у ' ^
<
шунинг учун ҳам, (15.3) нинг ўнг томонидаги интеграл хосмас,
интеграл сифатида мавжуд ва (15.2) формулага кўра иккинчи ин-
/1
'
/(х)(1х
■У
теграл ҳам мавжуддир. Бундан эса |
- -
.
х
.. интегралнинг бош
қиймат маъносида мавжудлиги келиб чиқади:
*ь
ь
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
