|
[
Ж
ф
с
,
[
/ ( * > ~
/ ( у >
а х
+ / ( у ) 1п
.
Л
х — у
Л
х — у
у — а
а
а
Яна сингуляр интегралга мисол сифатида Гильберт алмаштириш-
ларини олишимиз мумкин:
1
С
х ~ У
Ф ( У ) !
2п
§
<р(л)с1г
Лху
ф ( у ) =
------ |
<К*)с1ё
с1х,
бу ерда ср(х) ва ф(лг) функциялар [—
ъ,
я] да Гельдер шартини
қаноатлантиради ва шу билан бирга:
«
=■ |
ў(х)с/х — 0.
Кўрсатиш мумкинки,
$ткх
ва со
$кх
барча
к =
1 ,
2,
.
Гильберт алмаштиришлари бўлади [42]:
с о з /г у
е в ---------
Г
8Ш & Х с1§
— ~
у
2л ^
2
1
х _
81
п/гу = а ------------ Г соз& л ;с1д
х
~
у-
2л V
2
.
. УЧуН:.
(1 5 .4 )
Бу параграфда сингуляр интегралларни тақрибий ҳисоблаш билан:
шуғулланамиз.
2. Гильберт ядроли сингуляр интегралларни тақрибий
ҳ и собл аш . Қулайлик учун Гильберт интегралини алмаштириш ёр-
дамида қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз:
/ / ( / ) = |
/(х)с1£к(х— у)с1х.
(15.5)
0
Одатда Гильберт интегралида
ў(х)
функцияни Гёльдер шартларини.
39 ь
www.ziyouz.com kutubxonasi
қаноатлантиришидан ташқари, уни даврий функция деб қаралади.
Ёиз бу ерда /( х ) - функциянинг Фурье коэффициентлари
оо
д * ) ~ 2
с “е™пх
(15<6)
қуиидаги
I
I
~~т
(
п
^ 0)
(15.7)
шартни қаноатлантиради ва а > 1 деб фараз қилиб, (15.5) интеграл
учун квадратур формула тузамиз [15,19].
Бунинг учун
Рм(х)
тригонометрик кўпҳадни қуйидагича кири-
тамиз:
N-1
р х(х)
—
У
6'"‘е
т = —Л(+1
2//
2
%1тх
С„
к—
1
-2тс
I кт
2Л^
Энди (15.9) ни (15.8) га қўйсак,
2Л^
2 / ( / г ) « * )
21У
к
= 1
(15.8)
(15.9)
- 1 + 2 2 соз2теОТ
(Х ~ Ъ / ) ‘
т
= 1
'
та эга бўламиз, бу ерда
N-1
2ж
1т Р
* )
2
*
/я=-ДГ+1
(1 5 .4 ) формула ёрдамида
*Ь(У)
= -2 2
8т2п т
(У “
~ Ь )
=
*ь(У)
т —Х
ни ҳосил қиламиз. Энди
/ ( х ) ^ Р м(х) + г м(х)
(15.10)
деб олиб, буни ( 15. 5) интегралга қўйсак,
2 / ( ~
Ф.ОО + З Д )
О З - " )
к
—1
квадратур формулани ҳосил қиламиз.
2 - т еор ем а. Агар
/ ( х )
функциянинг Фурье козффициентлари
(15.7) шартни қаноатлантирса ва а > 1 бўлса, у ҳолда (15. 11)
жвадратур формуланинг қолдиқ ҳади учун
шах
\Р„(у)
| < - ^ - •
(15.12)
0 < у < 1
а —
1
N
баҳо ўринлидир. Бу ерда
С
ўзгармас сон.
И сбот. Шартга кўра а > 1 , шунинг учун ҳам (15.7) дан
кўрамизки,
.
.392
www.ziyouz.com kutubxonasi
д * ) = 2 с<
%к1пх
(15.13)
Фурье қатори абсолют яқинлашади. Фараз қилайлик, /?л,(у) нинг
Фурье ёйилмаси
оо
(15.14)
бўлсин. (15.4) формулалардан
1е1гЛту
= г'з1§гш •
е2к1ту
(15.15)
эканлиги равшан. Энди (15.9), (15.10), (15.13) ва (15.15) дан
коэффиниентларнинг қуйидагига тенглигини кўрамиз:
с*
=
/
(°т ~ £,„)ш§пт, \т\
<
N
бўлса,
т
\ с т-т&пт, \т\
>
N
бўлса.
Ушбу бевосита кўриниб турган
(15.16)
2ЛГ
2
*
6=1
тенгликлар ва
-2к 1тх
2Дг п /
п^
1
■«п . ”
ъм
= Г 1, агар
п
2У га бўлинса,
0, агар
п
2/У га бўлинмаса,
с ,
е
п-\-т
Г(х )е—
~
2 <
2
П= —
00
п= —
оо
дан фойдаланиб,
~т
учун қуйидагига эга бўламиз:
~
]
Н
оо_
2х,
_
__
6=1
п =
~ о о
е
2К1ПХ
2У
П= —
00
/1^=0
+ 2 Сп+т ( 2Л/
Демак,
одг
. . /гб
1
V I
2шЖ
6 = 1
_ С т + 2
2п
Л Ч -т
11
= —
00
п=/=0
к от
,'т 1=
•'2пЛГ+ т •
(15.17)
П=—со.пт^О
Энди (15.4), (15.15) ва (15.17) дан қуйидагини ҳосил қиламиз:
оо
|^(у)к 2 №= 2
2 |с";|=
т=—а
о
| т | < л г
| т | > Л г
оо
оо
оо
=
2
I
2
С 2яЛг+ т |
+ 2 = 4 2 ~ 2 2 Кгт + пл/
|т|<УУ
п= —
о
о
|т |> Д г
т=
1
\
т=\
пфЪ
Демак,
п = - —сс
Г1 = —00
оо
|/?д,(У) I < 4 2 к»1-
Бундан ва (15.7) дан теореманинг тасдиғи келиб чиқади.
393
www.ziyouz.com kutubxonasi
М А Ш Қ Л А Р .
1.
Қуйидаги ин-тегралларни трапеция, тўғри тўртбурчак, Симпсон, Гаусс,
'Чебишев формулалари ёрдамида е = 1 0 -1 аниқликда ҳисобланг:
1
1,5
1
й х
а) Г 51п
х Ч х ,
б)
Г 1п (1 +
х ? ) Л х ,
в)
Г —
*
,
<1
оГб
+ *
г) I
1п( 1 +
х " )
1 + х
й х ,
д) \ — —
'—
* й х ,
.
О
X
.
0,2
'
0
1
1п( 1 +
х )
С) I
х \ п х с 1 х .
2.
Қуйидаги квадратур формулаларни келтириб чиқаринг:
а)
| / г а / ( х )^
=
^
2
51п2^
г
/ ( с о з ^ т г ) + /?«-
к=1
■к
2;л
(2/г)1
, —1 < 5 < 1;
б)
№
"Ь
х
1{х)<1х ■
4тс
2 л + 1
к%
/
2
к%
\
2
!1"! ^ Т Т / Г 5 2 7 Т 1 ) + '(”'
и—\
/(2«) (£)>_ ! < £ < 1.
2
2п{
2
п)!
3. Бешинчи даражали кўпҳадни аниқ интеграллайдиган қуйидаги кўри-
нишдаги квадратур формулани қуринг:
1
|
/{ х ) й х « Л [ /( 0 ) + /( 1 ).] + А [ /Ч 1 ) - / ' ( 0 ) ] + В /{Х1).
0
4.
Ушбу
1
• - ' * * » *
* ^
[ / ( - / + ) + « » >
+ * ¥ Р ) }
квадратур формуланинг бешинчи даражали кўпҳадни аниқ интеграллашини
кўрсатинг*
5, Учинчи даражали кўпҳадни аниқ интеграллайдиган
1
|
/{ х ) й х « Со/(0) + С + (1 ) + С + '(0 ) + С з/'(1)
кўринишдаги квадратур формулани топинг.
6. Учинчи даражали кўпҳадни аниқ интеграллайдиган
1
|
Ж )5 1
п
~
х й х = С _ , л - 1) + Со/( 0 ) + Сх/( 1 )
— 1
квадратур формулани топинг.
7.
Интеграл остидаги функциянинг махсуслигини сусайтириш йўли билан
қуйидаги интегралларни е = Ю-5 аниқлик билан ҳисобланг:
'
2 х
а)
- Г / т
■ й х ,
б)
й х
/ х{\ —X)
в)1
й х
б /
х - { \ — х ) 3
394
www.ziyouz.com kutubxonasi
1. А л б е р г Дж., Н и л ь с о н Э., У о л ш Дж. Теория сплайнов и
«е приложения. М., «Мир», 1972.
2. Б а х в а л о в Н. С. Численнме методм, т. I, М., «Наука», 1973,
3. Б а х в а л о в Н. С.
Об оптимальннх оценках скорости сходимости
квадратурннх процессов и методов интегрирования типа Монте — Карло на
классннх функций, Сб. «Численнне методн решения дифф. и интегральннх
уравнений и квадратурнне формулн». М., «Наука», 1964 (5—6 3 -бетлар).
4. Б е р е з и н И.
С., Ж и д к о в
Н.
П. Методн вмчислений, т. 1.,
изд. 3-е. М., «Наука», 1966.
-
5. Б у с л е н к о Н. П. и др. Методн статистических испнтаний (метод
Монте — Карло). М., Физматгиз, 1962.
-
6. В а р г а Р. Функциональньш анализ и теория аппроксимации в чис-
ленном анализе. М., «Мир», 1974.
7. В о е в о д и н В. В. Численнне методн алгебрм. Теория и алгоритмн.
М., «Наука», 1966.
8. Г е л ь ф о н д А. О. Исчисление конечннх разностей, 3-е исправ. изд.
М., «Наука», 1967.
9. Г о н ч а р о в В. Л. Теория интерполирования и приближения функ-
ций, 2-е переработанное изд. М., Гостехиздат, 1954.
10. Д а у г а в е т И. К. Введение в теорию приближений функций, изд.
ЛГУ, Ленинград, 1977.
-
11. Д е м и д о в и ч Б. П., М а р о н И. А. Основьг внчислительной ма-
тематики. М., «Наука», 1970.
12. Е р м а к о в С. М. Метод Монте — Карло и смежнне вопросн. 2-е доп.
изд. М., «Наука», 1975.
13. Е р м а к о в
С.
М., М и х а й л о в
Г.
А.
Статистическое моде-
лирование, М. «Наука», 1982.
14. И с р а и л о в М. И., Д ж у р а к у л о в Р. Построение весовнх квад-
ратурннх формул для интегралов типа Коши и сингулярннх интегралов с
помошью эрмитовнх сплайнов, Сб. «Вопросн вмчислительной и прикладной
математики», 47. Ташкент, «Фан», 1977.
15. И с р а и л о в М. И., М а к с у д о в Т. С. Квадратурнне и кубатур-
нне формулн для сингулярннх
интегралов с ядром Гильберта на классе
функций
Е а
п ( с )
Сб. «Вопросн внчисл. и прикл. матем», 28. Ташкент, «Фан»,
1974.
.
•
16. Қ а л и т к и н Н. Н. Численнме методн. М., «Наука», 1978.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
