Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

/ г+
1
— /; айирмага биринчи тартибли чекли айирма дейилади; ша-
роитга кўра бу миқдорни 
ўнг яекли. айирма:
Д /,, 
кап чекли
айирма:
у / г
+1
ёки 
марказий айирма:
§/г
+>/2
=
/
1
+
4
,
лар каби
белгиланади. Шундай қилиб, қуйидагича ёза оламиз:
/
1 + 1
— / / = А /« = У А и =
ь Л
+
ч ,
= / , + . , . • 
( 8 - 1 )
Юқори тартибли айирмалар рекуррент муносабатлар ёрдамида ту-
зилади:
Д * / « =
Д(Д*-: 
/ , ) =
Д*-ЧД/.) 
=
Д*-1 
/ +
1 
-
Д'-1/»
V * / = У ^ - 1/ . ) = У
а
- Ч
у
/<) = V4-1/ — V*—' / - ъ
8*/« = Ч8*-1/ ) = ^-Н8//) = 8*-1/«+‘/, - 24- 1/- - /,.
{ к
_ +А-1 __ Л
% -1
Айирмалар жадвали одатда қуйидагича тасвирланади:
X
/
/ ‘
р
/ з
/ ‘
хв
/о
А
А
XI
А
А,
/-з
}*1,
Х3
/»
/ I
Л
/3
•/%
х3
/ з
■
 
/1,
/ з
X
,
л
/'/,
Ҳисоблаш практикасида ишнинг ҳамма босқичларида назорат
қилувчи амалларнинг мавжудлиги талаб қилинади. Бу нарса қў-
пол хатоларга йўл қўймасликка ёки ҳеч бўлмаганда уларни ми-
нимумга келтириш учун хизмат қилади. Бундай назорат қилувчи
амаллар айирмалар жадвалини тузаётганда бевосита ҳосил бўлади.
(
8
.
1
) ва ундан кейинги формулалардан кўриниб турибдики,
Д 2 + /?,,, + • • • + / ! _ . / ,
= / 1
— /о +
/ 2
—
/ 1
+ • • • + / л
—
/ п - 1 —
= / л - / о , Д + / 1 + • • • + Л
-1
= Д
- / 4
 + А - Д , + • • • +
+
/ п - Ч
,
_
/ л - 3/, 
=
/ п - Ч ,
~ / ч , ’
яъни жадвалнинг ҳар бир ус:.+ўнидаги сонларнинг йиғиндиси
аввалги устун энг яетки элементларининг айирмасига
тенг.
Айрим интерполяцион формулаларда / , ва уларнинг чекли
айирмалари билан бир қаторда айирмаларнинг қуйидаги ўрта ариф-
метиги ишлатилади:
/24-1 I 
Л к - 1
 
1
„ / ■
24-1
+ '!+Ч,
М I 
~
 
2
 
’
219
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Энди чекли айирмаларкинг айрим хоссаларини кўриб чиқамиз.
1
- 
лемма. 
к-
тартибли чекли айирма функциянинг қийматлари
орқали қуйидаги формула билан ифодаланади:
' 
, 
< 8
- 2 >
(-= 
0
 
+ 
2
Бу ерда 
к
жуфт бўлганда 
I
буту-н бўлиб, 
к
тоқ бўлганда / ярим
бутундир.
И сбот. Математик индукния методи билан исбот қиламиз.
к —
1
бўлганда, (
8
.
1
) га кўра (
8
.
2
) нинг ўринли эканлиги келиб
чиқади. Фараз қилайлик, (8.2) формула 
к = 1
бўлганда ўринли
бўлсин. У ҳолда
I
Б у тенгликда бир хил 
/ т
лар олдидаги коэффициентларни йиғиб
ва
С[ + с ^ = с ц
1
тенгликдан фойдаланиб, /'+* учун изланган ифодага эга бўламиз.
Ш у билан лемма исбот бўлди.
М и с о л . 
к =
2, 3, 4 учун (8.2) дан қуйидагиларга эга бўламиз:
/< = Л +
1
-
2
/ / + / , - ! ,
/? = / /+>,, — 3/,+,,, + 3/
А
= / , +2 - 4 /,+ 1 + 6/, - 4 / + / / _ 2.
Бу леммадан қуйидаги натижаларга келамиз.
1
- натиж а. Иккита ср ва рр функиия йиғиндиси ёки айирма-
сининг /;- чекли айирмалари мос равишда шу функциялар чекли
айнрмаларпнинг йигиндиси ёки айирмасига тенг:
/ 1
 = Ф) ±
ё к
г
2
- натиж а. Функция билан ўзгармас сон кўпайтмасининг чек-
ли айирмалари функция чекли айирмалари билан 'ўзгармас соннинг
қўпайтмасига тенг:
{а/)\ = а /
1
-
220
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2 - 
лем м а. Жадвалнинг қадами /г — х,- — л
+_1
ўзгармас бўлса,
у ҳолда бўлинган айирма билан чекли айирма орасида қуйидаги
муносабат ўринлидир:
/(* /, . . . . * < + * ) = * ( 8 - 3 )
Исботни бу ерда ҳам индукция методи билан олиб борамиз. 
к =
 1
бўлганда 
-
/(XI,
Хг+О
/г
+1
~~и
х 1+ 1 
Х 1
/ и
А
бўлиб, (8.3) формуланинг тўғрилиги равшан. Фараз қилайлик,
(
8
.
3
) формула барча 
т
<
к
лар учун ўринли бўлсин, у ҳолда
/(XI,
. . . .
х с+к+1)
/(х[ + 
1
..........
Х
1
 + к+\)
 
/(-*+■...........
х
1
+к
)
х
1
+к+1
~
Х 1
(Нкк\) (Н(к
+ 1'))
л
/ 1
 +(/г
4
-
1)2
А*+
1
(А + 
1)1
’
Шундай қилиб, (8.3) формула 
т
=
к
+ 1 учун ҳам ўринли экан.
Лемма исботланди.
Энди (7.4) формулага кўра
* • • » 
^1-\-к)
^
^ 5 ^
Бу тенгликни (8.3) билан солиштириб,
ААЛ = У'г/г+^ = 8,г/г+й/2 = 
/ к)
Ш 
к к
ни ҳосил қиламиз.
Охирги тенгликдан қуйидаги натижага келамиз. 
^
3
- 
натиж а. 
п-
даражали кўпҳаднинг 
п-
тартибли чекли айир-
маси ўзгармас сонга тенг бўлиб, ундан юқори тартиблиси эса
нолга тенг.
Охирги натижа кўпҳад жадвалини тузишнинг қулай усулини
беради. Аввал аргументнинг ( « + 0 та қийматларида 
п-
даражали
кўпҳаднинг қийматларини ҳисоблаймиз. Шу маълумотлардан фой-
даланиб, 
п-
тартибли айирмалар жадвалини тузамиз, сўнгра, 
п-
тартибли айирмаларнинг доимийлигидан фойдаланиб, 
п-
тартибли
айирмалар устунини тўлдирамиз. Ундан кейин, («-— 1)-, 
(п—
2)-
тартибли ва ҳоказо айирмалар у+.унларини тўлдирамиз. Бу устун-
ларни тўлдираётганда
/ Н Л - . / , + Л - 4
формуладан фойдаланамиз. Практикада бу усулни қўллаётганда
қўпол хатоларга йўл қўймаслик мақсадида вақти-вақти билан
кўпҳаднинг қийматини ҳисоблаб туриш мақсадга мувофиқдир.
221
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

М и с о л. Жадвал қадамини 
Н=
I ва дастлабки қийматни 
х 0—1
деб 
ҳисоблаб, 
ў(х) = х ъ
+
Зх2
— 
6 х
— 5 кўпҳаднинг айирмалар жадвали тузилсин 
Е ч и ш. 
/ ( х )
нинг 
х 0 = 1 , х х = 2, х 2 =
3 нуқталардаги қийматларини. 
ҳисоблаймиз: / 0 = —7, / 4 = 3, / 2 = 31. Бундан эса қуйидагилар келиб чиқади:
Д 2 = Л - / о =
Ю, 
Д , = / 2 - Л = 28, / 2 = Д а _ / 1 / а = 18.
23- 
жадвал
X
/
/ ’
Р
Ў
1
—7
10
2
3
28
18
6
3
31
52
24
6
4
83
. 
82
30
6
5
165
118
36
6
6
283
160
42
7
443
Бу қийматларни 23- жадвалга жойлаштирамиз. Бизнинг функгдиямиз 3- дара- 
жали кўпҳад бўлганлиги учун унинг 3- тартибли айирмаси ўзгармас сон бў- 
либ, Д. = 3! = 6 га тенгдир. 23- жадвалнинг қолган устунлари қуйидаги
/ ? - / ? _ ! + /?_.,, 
( / - 1 , 2 , 3 . . . . ) ,
/)+./, = //_ .,, + /? 
(г' =
2- 3
...........)•
/ / - / , _ ! + / ! _ ./ , 
(/ - 3. 4------ ).
формулалар ёрдамида тўлдирилади.
Айирмалар жадвалини тузаётганда ҳисобловчи тасодифан хато-
га йўл қўйиши мумкин. Ҳозир биз / ни -ҳисоблашда йўл қўйилган
е
хато айирмаларга қандай таъсир қилишини кузатамиз (24- жад-
вал).
24- жадвалдан ёки (8.2) формуладан кўринадики, 
к
- тартибли
айирмага хато ( — 1);С{ ( / = 0, 
к)
коэффициент билан тарқалади,
демак 
к-
тартибли айирма максимал хатосининг абсолют қиймати
жуда тез ўсади: ҳар бир /* айирма учун хатоларнинг ишораси
билан олинган йиғинди нолга тенг бўлиб, абсолют қиймати билан
олинган йиғинди эса [е( 
2
11
га тенг. Шундай қилиб, функциянинг
қийматлари ҳисобланаётганда йўл қўйилган арзимас хато унинг
юқори тартибли айирмаларига катта таъсир кўрсатар экан.
Айирмалар жадвалидаги е хатонинг тарқалиш қонуни айрим
ҳолларда бу хатонинг ўрнини ва қийматини тогшшга ҳамда жад-
вални тузатишга имкон беради. Одатда айирмалар жадвали бирор
белгиланган ўнли хона аниқлигида ҳисобланади. Агар 
у
=
/ {х)
222
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

24- ж адеал
X
/
/■
р
Р
Х 1 -
4
Х 1 -
8 
Х ! - 2
Х 1 - 1
Х 1
Х 1 + 1
Х ! + 2
Х
И-3 
х
<+4
/ « - 4
Н - г  
1 1 - 2
П
- 1
/ г + 8
и + \
и + 2
/ + 3
/ + 4
А - ч ш
/ 1 - %
/ ) - * / .
/ ! _ . / , + 8 
/ / + V *
/1 + * /.' 
/!+•/.■ 
/ ! + ’/.
А - ъ  
/ ? - 2
/ ? - ! + • 
/ 2 - 2 *
Л + \
+
8 
/ / + 2
/ ? + з
• • •
/ 3
/ / - * / .
/ ? - • / , + 8 
38
/ / + . / , + 38 
/ / + • / , — • 
//+ * /,
• • •
/ / - 2 + 8 
/ / 4_ ! - 4 *
Л + 6 .
/ / + 1
4 ® 
/ / + 2 + 8
функция 
к-
тартиоли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда унинг
к-
тартибгача бўлган айирмалари текис ўзгариб, 
к-
тартиблиси
белгиланган ўнли хона миқёсида деярли ўзгармас бўлади. Ж ад-
валнинг бирор қисмида охирги шартнинг бажарилмаслиги, умуман
айтганда, ҳисоблаш хатоси мавжудлигидан далолат беради. 
к-
тартибли айирманинг нормадан максимал оғишини ўрнатилгандан
кейин, қуйидаги шартлар бажарилганда бу хатонинг ўрнини ва
қийматини аниқлаш мумкин: 
1
) бу хато фақат бир жойда ва
функциянинг қийматини ҳисоблаш пайтида содир бўлган; 
2
) чекли
айирмаларни ҳисоблаётганда бошқа хатога йўл қўйилмаган. 24-
жадвалдан кўринадики, / * даги максимал хато / , нинг хато қий-