|
(2.1)
кўпҳад учун ушбу
/>(**) = / ( * * ) , £ =
0 . 1
...........
п
(
2
.
2
)
тенгликлар бажарилсин. Бу тенгликларни очиб ёзсак,
ст{т
= 0,
п
)
ларга нисбатан (я +
1
) номаълумли ( я +
1
) та тенгламалар сис-
темаси ҳосил бўлади:
С
0
+
С}Х
0
+
С
2
Х
0
+ .
.
-\-спх
п
0 —
/ ( х (1),
С
0
+
СгХ
1 +
с
2
х \
+ .
• +
^
=
Л
4
(2.3)
с 0
"Ь
С\Хп
+
С
2
Хп
"Ь •
•
+ С аХ * = / ( Х а).
Б у системанинг детерминанти Вандермонд детерминантидир:
№{х0,
х и . .
. ,
х п).
Масала мазмунидан равшанки,
х к
нуқталар бир-би-
ридан фарқли, демак бу детерминант нолдан фарқлидир. Шунинг
учун ҳам (2.3) система ва шу билан бирга қўйилган интерполя-
дия масаласи ягона ечимга эга. Бу системани ечиб,
ст
ларни то-
гшб (2.1) га қўйсак,
Р{х)
кўпҳад аниқланадй. Биз
Р{х)
нинг
ошкор кўринишини топиш учун бошқача йўл тутамиз, аввало
фундаментал кўпҳадлар деб аталувчи С /;(л:) ларни, яъни
) = Ч =
0
,
1
Ф ]
бўлганда,
1
,
I = ]
бўлганда
шартларни қаноатлантирадиган
п-
даражали кўпҳадларни қурамиз.
У ҳолда
П
1
«{х)
=
2
А х № п А х )
(2 -4 )
/=0
изланаётган интерполяиион кўпҳад бўлади. Ҳақиқатан ҳам, барча
I
=
0
,
1
,
2
, . . . я учун
.
П
П
1
гХх ‘ ) =
2
л х №пАх 1 )
= 2 / ( х ;)
ч = л х 1 )
'
/=0
/=0
ва иккинчи томондан
1
-п{х)
я-даражали кўпҳаддир.
Энди
<Зп,;{х)
нинг ошкор кўринишини топамиз,
] ф 1
бўлган-
да
) =
0
, шунинг учун ҳам (()„_ ; (
х )
кўпҳад
] Ф
1
бўл-
ганда
х —Х
1
га бўлинади. Шундай қилиб, я- даражали кўпҳаднинг
п
та бўлувчилари бизга маълум, бундан зса
Ах ) = СП{х — Х
1
)
1
Ф!
келиб чиқади. Номаълум кўпайтувчи
С
ни эса
{х})
=
с
11
(зс;- —
XI
) =
1
,
М/
£ 0 8
www.ziyouz.com kutubxonasi
шартдан топамиз; натижада:
Яп*Ах ) :
=п
‘Ф
1
■XI
X}—XI
Бу ифодани (2.4) га қўйиб, керакли кўпҳадни аниқлаймиз:
2
(
2
.
5
)
р о
1
Ф
1 Х 1
Х 1
Б у кўпҳад
Лагранок интерполяцион кўпҳади
дейилади.
Бу формуланинг хусусий ҳолларини кўрайлик:
п =
1 бўлганда.
Лагранж кўпҳади икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ формуласи-
ни беради:
X
—
X,
М
* ) = ^ / ( *
0
> +
X
—
х0
х0—хг
Л ^ ) .
Агар
п
= 2 бўлса, у вақтда квадратик интерполядион кўпҳадга
эга бўламиз, бу кўпҳад учта нуқтадан ўтувчи ва вертикал ўққа.
эга бўлган параболани аниқлайди;
Ц(х)
(х—х 0 (х—х 2)
л
ч ,
(х—х 0)(х—х 2) ^
ч ,
- [ х о - х М х и - х У ^ ’
+
(х
1
- х д ( х
1
- х 3) №
) -Г
( Х — Х о ) ( Х — Х
1
)
+
( х
2
— х
0
) ( х , — х
0
^ ( х ^ -
М и с о л. 0, 1, 2 нуқталарда мос равишда 1, 2, 5 қийматларни қабул қи-
лувчи квадратик кўпҳад қурилсин.
^
Бу қийматларни охирги формулага қўямиз:
Ь2(х)
(х-1)(х-2)
(х-0)(х-2)
(х-0)(х-1)
_
(
0
—
1)(0
—
2
) ' ^ (
1
—
0
) (
1
—
2
)
^ (
2
—
0
) (
2
—Г)
'
Энди Лагранж интерполяцион формуласининг бошқа кўрини-
шини келтирамиз. Бунинг учун
П
Ш„+
1
(х) = П
(Х — Х
1
)
*=0
кўпҳадни киритамиз. Бундан ҳосила олсак,
и>'п+1(х) = У
[ П
(Х — Х1
) ] .
Квадрат қавс ичидаги ифода
х = х }
ва
к ф ]
бўлганда нолга ай-
ланади, чунки
(х^ — х })
кўпайтувчи қатнашади. Демак,
и'п+
1
(Х})
=
П
(Х} — Х
1
).
Шунинг учун ҳам, II
- Лагранж коэффициентини
1
ф! X] XI
шп+Ах)
шп+
1
(хМх- хЛ
14— 2105
209>
www.ziyouz.com kutubxonasi
кўринишда ёзиш мумкин. Бундан эса Лагранж кўпҳади қуйидаги
кўринишга эга бўлади:
^п(х )
=
2
ЯХ])<*П+Х{Х)
0
<»'П + 1 ( Х 1 ) ( * - * ] )
(
2
.
6
)
Энди тугунлар бир хил узоқликда жойлашган:
х,
—-
х
0
=
х
2
— х,==
= . . .
= х п
— х
„_1
= 7 хусусий ҳолни кўрамиз.
Б у ҳолда соддалик учун х = л
:0
+
{к
алмаштириш бажарамиз,
у ҳолда
•
х — Х] = к({ —
/ ) , о>п+
1
(д:) ==
кп+'а> *
п+1((),
б у ерда
“ «+
1(0
=
*(* —
1
) • • • (< —
п), % +1(х /
= (—
1
)" -//!(я —
])\кп
бўлиб, (2.6) Лагранж интерполяцион кўпҳади қ.уйидаги кўриниш-
ни олади:
о
+
*к)
П
*“ “ «+!(*)
2
[ = 0
( -
1
)"
!/(Х])
(/—У)У!(«—У)Г
(2.7)
3-§. ЭИТКЕН СХЕМАСИ
Интерполяцион кўпҳадни қуриш учун ҳисоблашларни соддалаш-
тириш мақеадида Эйткен схемасини қўллаш қулайдир.
к(оа...п) (х)
орқали
х 0, х и . . . , х п
тугунлар ёрдамида қурилган
п-
дара-
жали кўпҳадни белгилаймиз. Маълум (2.5) формулага кўра
£<
01
) И =
X—
Д х
о) 4
X
—
х 0
Х~г—х
0
Лм) =
|/ ( х 0)
х 0—х]
\ / ( Х 1 ) Х 1 — Х \'
Хх—Х
0
’
/< * .) +
I/(■*/)
х х—х\
1
/(х2) х
2
—ҳ\
х 2—х г
’
^ о . Л * ) = з ^ / ( * о ) + ^ / ( М
)
\ / ( х 0) х 0—х\
\1(х/) х2— х \
х
2
—
Х
0
Энди У(о,
2
)
(х)
ифода
/ ( х 0)
ва
/ ( х 2)
лардан қандай қонуният би-
лан тузилган бўлса, худди шу қонуният билан
7
(
01
)(х) ва
Ь(
1 2
)(х)
ёрдамида тузилган
/'(
01
)+)
х
0
—
х
/'(
12
)+ )
х
2
—X
х 2
—
х 0
ифодани кўриб чиқамиз. Кўриниб турибдики,
Р(х)
иккинчи дара-
жали кўпҳад бўлиб,
Р (х 0) — / ( х 0), Р ( х / —/ ( х / , Р (х
2
) ^ = / ( х 2)
тенгликлар ўринлидир. Демак,
Р(х)
=
7
(
012
)
(х).
Шундай қилиб,
7
(
01
)(
х
) ва
7
(
12
>(лг) га биринчи тартибли интерполЯ'
2 1 0
www.ziyouz.com kutubxonasi
цияни қўллаб,
1
(
012
)(*) кўпҳадга эга бўлдик. Худди шу натижа-
ни қолган икки формуладан ҳам ҳосил қила оламиз:
£(
012
)
\Х)
£ (
012
)(-Х)
й(
01
)(х) х
1
—х
^(
02
)(Х) Хч х
*
2—*1
й(
02
)(Х) Х
0
—Х
1 (П ) { х )
Хг—Х
Х\—Х0
Б у жараённи чексиз давом эттиришимиз мумкин.
Шундаи қилиб,
п
+ 1 та нуқта ёрдамида
п-
даражали интер-
поляцион кўпҳад қуриш учун шу нуқталарнинг
п
таси ёрдами-
да тузилган иккита бир-биридан фарқли
(п —
1
)- даражали интер-
поляцион кўпҳадларга биринчи тартибли интерполяцияни қўллаш
керак. Масалан,
£(01234)
(X)
£(
0123
)
(х) х ъ
X
^(
0 1 2
Ъ)(Х) х о
—х
£(0124)
(X) Х±
X
£(1234)(А)
х 4
,—X
Х ь — Х 3
Х 4— Х 0
Юқорида келтирилган схема
Эйткен схежаси
дейилади. Одатда
Эйткен схемаси
1п(х)
нинг умумий кўринишини топиш учун эмас,.
балки унинг бирор х нуқтадаги қийматини ҳисоблашда фойдала-
нилади. Ҳисоблашларни 20-ж адвал шаклида ёзиш маъқулдир.
20- жадвал
У1
XI —х Ш -
1.
1) 1.(1-2
.....
1) 1(1-
3.... 0
Ц1-4
.....
1)
1(1-5
....
1)
Х0
Уо
Х0—X
Х\
У1
Х {— X
1-(01)(х )
У2
х 2—X
^(\2)(х )
^ (012)
(Х)
Хз
Уз
х 3—X
й(2з)(х)
£(123)
(х)
£(0123)(х)
х 4
У
4
х4—х
Ь(34)(Х)
£(234)
(Х)
^(1234)(
х
)
^(0\2Ъ4)(Х)
Хъ
Уъ
Х ъ— X
й(45)(х)
£(345) (■*) £(2345)(-*)
£(12345)(А')
£(012345) (А)
М и с о л. Қадами
Н
•= 0,01 га тенг бўлгаи 51п
х
нииг жадвалидан фой-
даланиб, 51пл: нинг
х =
0,704 нуқтадаги қийматини топамиз. Ҳисоблаш на-
тижалари 21- жадвалда келтирилган.
21- жадвал
Do'stlaringiz bilan baham: |
