Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

матрицанинг хос сони бўлиб, 
г ц
( А - ^ А
- 1
матри-
цанинг хос сонидир. Аммо (А-^ҲА
- 1
 =
{ А
А
' ) ~
1
ва 
А
А
' , А
' А
мат-
рицалар ўхшаш бўлганликлари учун 
у ц
Демак, (12.10) дан
^з
V
ш ах £/ 
ш!п
Хусусий ҳолда симметрик А матрицалар учун 
Ъ
= |Х;
тах|А;1
т1п|А,|
бўлади.
ва
(
12
.
11
)
202
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

М и с о л. Қ у й и д а г и м а т р и ц а н и о л а м и з [4 4 ]!
А
=
‘ 5 
7 6 
5 '
7 
10 8 
7
6 
8 10 9
- 5 
7 9 
10 -
1 >у магрицанинг элементлари катта сон бўлишига қарамасдан йе! 
А —
1, шунинг 
учун бу матрица ёмон шартланган бўлиши керак. Бу матрицанинг тескариси:
68
—41
—17
10 ~
—41
25
10 - 6
— 17
10
5 - 3
10
—6
—3
2 -
Берилган 
А
матрица элементларини озгина ўзгартирганда у махсус 
бўлиб қолиши мумкин. Ҳақиқатан ҳам,
' 5+ е
7
6
5 -
7
10
8
7
6
8
10
9
- 5
7
9
10 -
матрица
ни олайлик. Бу ерда <3е1 А(е) = 1 + 68 
г
дир. Демак, е = — — « —0,015 бўл-
, 
Ь
8
ганда бу матрица махсус матрицага айланади. Шундай қилиб, 
А
матрицанинг 
элементлари 0,02 аниқликда берилган бўлса, уни амалда махсус деб қараш 
керак. Қаралаётган 
А ~
1 матрицанинг элементлари кескин ўзгаради. Ҳақиқа- 
тан ҳам,
учун 
&е
1
А
1
0,320
^Г
1
А -
' 4,99 
7 
7 
10 
6 
8 
- 
5 
7
6 
5 '
8 
7 
10 
9
9 10 -
бўлиб,
'204,82
—128,12
—53,12
31,25
—128,12
77,53
31,78
-18,81
—53,12
31,78
14,03
—8,31
- 
31,25
—18,81
—8,31
5,12
дир. Агар тескари матрицанинг элементлари катта бўлса, у ҳолда бир-бирига 
«яқин» озод ҳадларга ҳам 
Ах — Ь
системанинг бир- биридан «узоқ» ечимлари 
мос келиши мумкин. Ҳақиқатан ҳам,
Ьг
= (23, 32, 33, 31)' 
ва
Г3 = (23,1; 31,9; 32,9; 31,1)'
озод ҳадларга
- (
1
) = (
1
, I, 
1
, 
1
)'
ва
3?2)= (14,6; — 7,2; — 2,5; 3,1)'
ечимлар мос келади. 
А,
матрицанинг шартланганлик сони 
ч
учинчи нормада
= 1И131ИГЧ13 = / 9 3 3 /9 7 0 8
I
3009,6.
2 0 3
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Бу ҳақнқатан ҳам катта сон. Энди 
Ахх
=
Ь
системанинг шартланганлик 
ўл-
човини 
Ь
=
Ьг
учун топамиз:
1
|
6
.
11
з „ 
/3 6 0 3
____
*3 = ~[ГГ
'/9 7 0 8 « 2657,1.
Хатоликлар вектори 
е 
ни баҳолаш. 
Биз юқорида шартлан-
ганлик сони катта бўлиб, озод ҳад озгина ўзгарганда ечим анчага
фарқ қилишини конкрет ҳолда қараган эдик, 
энди шу масалани
умумий ҳолда кўриб чиқамиз.
Фараз қилайлик, (12.1) система билан бир вақтда
В у = /
( 12. 12)
система ҳам_берилган бўлиб, 
В
матрича ва / вектор билан 
А
матрица ва 
Ь
вектор орасида қуйидаги тенгликлар ўринли бўл-
син:
В = А — С А , 7 = Л > + \
 
(12.13)
бу ерда
1.|С|| < ? < 1, | / |
Энди (12.12) ва (12.13) дан
(
Е - С ) А у
= /
ёки
Ау
 = (
Е
- С ) - > / = ( С + _ С + С2+ . . . ) 
(Ь
+ 5) -
Ь + (С
 + С2+
+ . . . 
)Ь + ( Е + С + С 2+
. . . 
)8
га эга бўламиз. Бу тенгликни 
г — Ь
— 
Ау
билан сслиштирсак, у
ҳолда (
1 2
.
1
) система тақрибий ечими 
7
нинг боғланишсизлик век-
тори
7 = -
[ ( С + С 2+ . . . 
)~Ь + ( Е + С + С * +
. . .
бўлади. Демак, р. ва V таърифига кўра, қуйидаги муносабат ўрин-
лидир:
[|+ц 
||+ || 
< 1 А , /|| 
ц
/ , 11
+ С
2
 + . . . ) ®|| +
+
_ | + !
-ч
 
11*11
( С + С 2+ . . . 
) Ь ~ ( Е + С +
Р
Ч
 
1
< + -г— + т— ' -
' 1 
Ч \\Ъ\\
(12.14)
Бундан кўрамизки шартланганлик сони V ва 
р
ҳамда 
<7
қанча ки-
ЦГ||
чик бўлса „нисбий хато“ -==• ҳам шунча кичик бўлади. 
(12.14)
11
*
1
!
дан амалда керак бўладиган / , | нинг баҳосини чиқариш мумкин.
2 0 4
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Пунинг учун
т (р, д)
Р
. 
? 
Р
1
- ?
1 - 7
1
Й
1
деб белгилаб ва 
\\х*\\
=* ||у +
х
* — ў|( + ||Ў|( +
ни ҳисобга олиб, 
1
— 
'>т(р,
(?) >
0
бўлганда
гТи 
ГГи 
7)
II**
1 — V 
т(р, д)
“ У1Н0
у
11 +
1Н|
(12.15)
га эга бўламиз. Одатда амалда бизга А ва 
Ь
маълум бўлмасдан
балки 
В
ва /"берилган бўлади. Шунинг учун ҳам (12.15) ўрни-
да қуйидаги баҳони қараш керак:
_ 
, _
ч*т(р, 
а*)
11г11 < 1|у|1 I
—Ч*т(р, 
д*)’
(12.16)
б у ерда V* 
В
матрицанинг шартланганлик сони бўлиб,
<
7
* =
1
|£ )£ ~
111
. 
0
= В - А
ва 
т(р,
 
^
 ^
ДИР- 
„ 
,
Амалда (12.1) системани ечишнинг кўп методлари 
А
матрица-
ни алмаштириб содда кўринишга, 
масалан, диагонал, учбурчак
ва. ҳ. к. кўринишга келтиришдан иборатдир. Бундай алмаштириш 
А
матрицани чап томондан бирор 
М
матрицага кўпайтириш натилга-
сида бажарилади. Ихтиёрий махсусмас 
А
матрица учун
||М А|| < 1 И Н И | | , Ц А -1 + 1 + 1 < | | А - 1||.||Ж -Ч |
бўлганлигидан,
у (М А )< ч (М )^ -(А )
келиб чиқади, яъни алмаштириш натижасида, умуман айтганда,
А матрицанинг шартланганлик сони ортиб борар экан.
Кўрсатиш мумкинки [4], фақат 
М — сЦ
бўлгандагина (бу ер-
д а
(У+ртогонал матрица ва 
с
 — ўзгармас сон) 
V 
(УИ) =
1 
бўлио,
V 
(МА)
= V (А) бўлади.
М а ш қ л а р 
1, Қуйидаги
8,82 
3,45 5,58 4,41 '
3,45 
4,01 0,89 3,24
5,58 
0,89 5,86 1,38
4,41 
3,24 1,38 1,07 _
матрицанинг хос сони ва хос векторларини шу бобдаги барча методлар би- 
лан топинг.
2. Агар 
А
ва 
В
бир хил тартибли квадрат матрица бўлса, у ҳолда
М =
(
А В
В А
матрицанинг характеристик кўпҳади 
А
+
В
ва 
А — В
матрицалар характерис- 
тик кўпҳадининг кўпайтмасига тенглигини исбот қилинг.
3. Ҳар кандай 
п-
тартибли квадрат комплекс 
А
матрица
В«
I
205
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

кўринишдаги матрицага ўхшашлигини кўрсатинг, бу ерда 
В п ( п
— 1)-тар- 
тибли квадрат матрицадир. 
В = Р ~ 1А Р
шартни қаноатлантирадиган 
Р
матри- 
цани тузиш йўлини кўрсатинг. 
„ 
'
4. Айтайлик, 
А
матрицанинг хос қиймати X бўлиб, унга мос келадиган 
хос вектор 
х
бўлсин. Ихтиёрий 
а0, аи . . . , ап
учун 
х
вектор 
а0Е
+
а^А
+
+ . . . +
апАп
матрицанинг 
а0
+ ахХ + . . . +
ап\ п
хос сонига мос келувчи 
хос вектор эканлигини кўрсатинг.
5. Ихтиёрий 
А
матрица ва 
а
сон учун 
А
ва 
А
— 
аЕ
матрицалар бир хил 
хос векторга эга бўлишини кўрсатинг.
6. Агар 
А
содда структурага эга бўлса, у ҳолда 
а0Е
+
ауА
+ . . . +
апАп
ҳам содда структурага эга бўлишини кўрсатинг.
7. Агар 
А
матрица
ап
й12 0 0 . . . 0
0
А
=
а'л
й22 #23 0 *. . 0
0
0
0
0 0 . • 
ап. п—1апп
кўринишга эга бўлиб, з1§ 
п Ч. к-
-1 = 5*8
(к =
1, 2, . . . ,
п—
1) бўл
са, у ҳолда 
А
матрицанинг барча хос сонлари ҳақиқий бўлишини кўрсатинг.
8. Охирги масала натижасидан фойдаланиб, Лежандр кўпҳадининг бар- 
ча илдизлари ҳақиқий эканлигини кўрсатинг.
9. Қуйидаги 
п-
тартибли
Г 
2
—1
0
0. . .0
° 1
—1
2
— 1
0. . .0
0
А
=
0
—1
2
—1 . . .0
0
_ 
0
0
0
0. .—1 2...
матрицанинг барча хос сонлари 
\ к
= 2
лигини кўрсатинг.
%к
1 + соз —— 
п +
1
.
(к
1, 
п)
экан-
5-БО Б, ФУНКЦИЯЛАРНИ 
ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАШ
I - §. МАСАЛАНИНГ ҚУЙИЛИШИ
Аксарият 
ҳисоблаш методлари 
масаланинг қўйилишида
қатнашадиган функцияларни унга бирор, муайян маънода яқин
ва тузилиши соддароқ бўлган фуикцияларга алмаштириш ғоя-
сига асосланган.
Ушбу бобда функцияларни яқинлаштириш масаласининг энг
содда ва ж уда кенг қўлланиладиган қисми — функцияларни ин-
терполяциялаш масаласи қаралади.
Дастлаб интерполяциялаш деганда функциянинг қийматларшш
аргументнинг жадвалда берилмаган қийматлари учун топиш ту-
шунилар эди. Бу ҳолда 
интерполяциялашни „сатрлар орасидаги-
ларни ўқкй билиш санъати* Деб ҳам таърифлаш мумкин. Ҳознрги
вақтда интерполяциялаш тушунчаси жуда кенг маънода тушуни-
лади. Интерполяция масаласининг моҳияти қуйидагидан иборат.
Фараз қилайлик, 
[а, Ь
 ] оралиқда 
у
— 
/ { х )
функция берилган ёки
2 0 6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ҳеч бўлмаганда унинг 
Д х 0), / { х
,) , . • . * 
Л х п)
қийматлари маъ-
лум бўлсин. Шу оралиқда аниқланган ва ҳисоблаш учун қулай