Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

= —
^ («г)соз2т:нх +
Ь^> &\п2ъпх),
 
(8.13)
2
п=1 
.
345
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

б у ерда
В1(х)со$2ппхс1х гя
 2 Г 
В^х^со&шхйх,
о
1 
1
Ь{п
“ 2 Г 
В((х)$пл2т.пхс1х
 =
2 Г £у(х)51п2я/т/х.
Фурье қаторлари назариясидаги маълум теоремаларга кўра, V > 1
бўлганда 
В*п(х)
узлуксиз бўлганлиги сабабли (8.13) тенглик барча
я лар учун ўринлидир ва у барча бутун бўлмаган 
х
лар учун
V = 1 бўлганда ҳам ўринлидир, бутун 
х
лар учун қатор йиғиндиси
нолга тенг:
Энди V > 1 деб фараз қилиб, 
ва 
Ь<£
коэффициетларини ҳисоб-
лайлик:
Колган коэффициентларни ҳисоблашда аввал V = 2
к (к =
1, 2, . . .)
ҳолни кўриб чиқамиз. Бўлаклаб интеграллаймиз:
Интегралланган ҳад нолга тенг. Бўлаклаб интеграллашни давом
эттирамиз:
Агар 
к
 > 1 бўлса, у ҳолда 
В2к_г(1) = В2к_х(0)
бўлганлиги учун
интегралланган ҳад нолга тенг бўлиб,
бўлади. Агар 
к
 = 1 бўлса, у ҳолда интеграл нолга тенг бўлиб,
бўлади. Энди (8.14) тенгликни & марта қўллаб, (8.15) ни ҳисобга
олсак, натижада
_1_
2
[ 5 ; ( + 0 ) + ^ ( - 0 ) ] = - 1 (
Қ Ш х
 =
В1+1{
х
)
| = 0 
(V 
= 1, 2, . . . ).
0
а {пЛ)
 = 2 |
В2к(х)со$2шхс1х
=а
о
С082ЛЛЛГ
2 
п п
В2к_2(х)со$2шхс1х.
д(2А)
2 к ( 2 к
 — 1) 
(2А—2)
® Я
(2 
пп)* 
п
'п
(8.14)
< 2)
(тш)3
(8.15)
^ к)
 = ( - ! ) '
,4-1 
2 ( 2 к ) \
(2
ш )2к
346
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

га эга бўламиз. (8.10) тенгликдан
у
52й(1 — л:)
8
т
21
ш
(1
 
— х) = —В2к{х)пп2ъпх
ва, демак,
ь т =
 0 
(п =
1 , 2 , . . . )
келиб чиқади.
Энди (8.14) — (8.15) ни (8.13) га қўйиб, даврийлаштирилган
Бернулли кўпҳадлари учун қуйидаги Фурье ёйилмасига эга бўла-
миз:
( — 1)* Ч2&)! 
' У
С0$2ттх
м к - 1 2к 
г $ и
п
= 1
(8.16)
Б у тенгликнинг ҳар иккала томонини дифференциаллаб,
(— 1)й (2/г — 1)1 
81п2.тх
С2к-\\Х> ~
 
22А-2Гк2А-1 
^ л2*-’1
ни ҳосил қиламиз. Агар (8.16) да 
х
= 0 деб олсак, Бернулли сон-
лари учун қуйидаги формула келиб чиқади:
&2к
 
/
5
(
0
)
{—\)к~ \2 к )\
2^/2 —
 1 7^2/г
(8.17)
Бу ердан (8.12) формула келиб чиқади ва 
к
ўсиши билан 
В2к
нинг
модуль бўйича тез ўсиши кўринади.
2. Ихтиёрий функцияларни Бернулли кўпҳадлари орқали
тасвирлаш . Қуйидаги тесремани исботлаймиз. 
^
2 - теор ем а. Агар 
/ { х)
функция [0, 1] оралиҳда 
1 тартиб-
ли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда 0 
< 1 учун қуйида-
ги формула ўринлидир:
т — 1
ж > = | д о ^ + 2
( 0 —
(о)
0 
\==1 
‘ 
^
/ (т) 
(0
т \ з)
в ч х - ц - в ; п{х)
<
11
.
(8.18)
И сбот. Ушбу
Р
Я(Х)
=
~
( 
ВГп(х - *)/{т)№
 
(8-19)
т\ А
о
интегралда 
т
 > 1 деб фараз қилиб, бу интегрални бўлаклаб интег-
раллаймиз:
?т(х ) ■
■
■0
/ ( « - ! )
{{)
пй
Я47
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Бернулли кўпҳадларининг юқорида кўрсатилган
1 ) - е д - в . М
м +
хоссаларидан фойдалансак, у ҳолда
Рт(х) 
= ~ Г Г ~ [ /(т~1)
(1) ~ / ( т ' 1) (0) ] +
Рт~'(х)
ва бу муносабатни 
т —
1 марта қўллаб,
т В ( х )
Г 
1
Рт(х) “ 2 “ Т 2 I / ( , ’" 1> (1) - / (' - !)(0) ] +
ь (х)
 
(8.20)
м — 9
-I
формулага эга бўламиз.
Энди р,(л:) ни ҳисоблаш учун 
В*(х)
нинг бутун нуқталарда
— 1 сакрашга ва бутун бўлмаган нуқталарда эса 
В\(х)
нинг ҳоси-
ласи 1 га тенглигини эътиборга олиб ҳамда 0 <
х
 < 1 деб олиб
қуйидагига эга бўламиз:
Р
1
И =■ |
т В [ ( х
-
№
 + Г 
ў(Ь)В\(х
 -
Ь ) с И = В \ ( \ 0 ) / ( х ) ~
0 
х
- В\(х)/(0)
+ |
/ ( №
+
В \ ( х ~
 1)/(1) -
в\
( - 0 ) / ( х ) +
| / ( № -
0 
х
= " Я * (+ 0 ) - Я*(— 0) ] / ( х ) +
В,(х)
[/(1 ) - / ( 0 ) ] + |
/ ( № .
Маълумки,
Я * (+ 0 ) =
_1_
2 ’
я қ —0)
шунинг учун ҳам
р/х)
=
~ / ( х )
+
В / х )
[/(1 ) - / ( 0 ) ] + |
/ ( № .
о
Буни (8.20) га қўйиб, (8.19) ни эътиборга олсак,
1 
ГП. 
^
( х \
Г
Лх)
= |
/ ( №
+ 2
- Т 1
/ (У-1) (!) - / (у_1) (0) I
0 
V =1 
^ 
-I
, 
1
„ V I
в*т(х
келиб чиқади ва бунда 
у — т
га мос келувчи ҳадини интеграл
билан алмаштирсак:
т \
Вт(х)
т\
у ҳолда (8.18) формулага эга бўламиз.
в а (х) \ / ^ т
%
348
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Биз (8.18) формулани 0 < х < 1 учун исботладик, лекин у
0 <
х
< 1 учун ҳам ўринлидир, чунки у формулада қатнашаётган
барча функциялар 
х
нинг узлуксиз функцияларидир.
Фараз қилайлик, /(%) функция ихтиёрий 
[а, а
 +
к)
( / г > 0)
оралиқда /? г> 2- тартибли узлуксиз ҳосилага эга бўлсин. (8.18)
формуланинг шу ҳол учун мос келган кўринишини келтирамиз.
Янги | ўзгарувчини киритамиз: 
х = а
 
0 < § < 1 ва 
т
марта
узлуксиз дифференциалланувчи ф(£) = / ( « + /г£) функцияга 0 < $ < 1
учун (8.18) формулани қўллаймиз
1 
т —1
ф
(
о
 = |
ф м
* + 2
0 
V»!
'> (
0
)
VI
в
» ( 0 -
_1_
т\
(
8
.
21
)
Қуйидаги
ф(”>(5) -
к' р (а
+
к\)
 =
к-1 / ^ ( х ) ,
ф(т) == 
/ ( а
 + Лт) = / ( / ) ,
I
 =
а
 +
кх, й1 = кй
 т
муносабатларни ҳисобга олиб, (8.21) формулада аввалги ўзгарувчи
ва функцияларга ўтамиз, у ҳолда
г 
а+Н 
т - 1
/ ( * ) = ~ Н / ( / ) 0 " + 2 Н
” [ / ( , " 1 ) ( а + /г ) _ /< ," 1)(а) 
х
а 
*■ 
■*
х & ( +
1 ) - +
| ' , ” <а + *’ > [ в - (
^
-
’ ) -
— в
*
т
(
8
.
22
)
3. 
Э й л ер —Маклорен ф ор м уласи . Олдинги пунктдаги (8.22)
формулада 
х = а
деб олиб, шу билан бирга 
Вт(0) = Вт
ва 
Вт(
т)
ҳамда унинг ҳосиласининг даврийлигини
В*т( ~ ' ) - В *
т(
 1 - т) =
Вт(
 1 - т) 
(0 < т < 1)
ҳисобга олсак, у ҳолда
а+Ь.
. 
» I <* 
. 
т
1 
8
/(а)= Т I /(^ “ Т !/(« + * )-/(« )]+
у=2
X [ 
/ ’- Х)(а 
+
к)
-/О-О(а) 
] 
-
^ |/»>(а+Ат) 
[ 5 т ( 1 - т ) -
Вт \&
еки
а + Н
|
№ й 1 =
а
к
2
[/(а)+/(а + /г )]-
349
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ш_1 
ь'
д
- 2
[/<ч_1,(а+Л) - / (ч' 1,(а) ] + 
■
■\>=2 
. 
.
+ ^ г 1 /<Ш)(а + Лх) [Я/»0—') - £ « ] *
(8.23)
' 
о 
‘
формулага эга бўламиз. 
.
Эйлер— Маклорен формуласини ҳосил қилиш учун 
[а, Ь\
оралиқ.
ни 
к
 = ----- — қадам билан « та
[а + у А , а + (у + 1)^], 
у = 0, « — 1
■қисмий оралиқларга бўламиз ва бу қисмий оралиқ учун (8.23)
формулани қўллаймиз:
.£ + (/ + 1)Л
|
/(х)с1х
----- — [ / ( а + у 'Л ) + /( а + (у + 1)Л) ]
с+/А
— 1 А„ 5^
у=2
V!
/ ( ^ - 1 ) ( а + ( у + 1)Л) _ / Х ^ - 1 ) ( а + у Л)
+
и т
 I • «
| /(т)(а + У'Л + Н [б т ( 1 - т ) - 5 т ]Л. 
(8.24)
+1 ]
Қуйидаги
Т„ — к
/(<*) +
т
2
П - 1
+ 2
Л « + Д )
/=г
(8.25)
белгилашни киритиб (8.24) формулани ў бўйича 0 дан. л — 1 гача
йиғиб чиқамиз:
* 
т —1 
1
1 А * ) *
х
= Г - 2
1 / ^ ' ^ ) - Г - 1^ ) ] + ^ р | [ 5 Л -
с
V**! 
0
п —
1
- т) -
Вт\ ^ / {т\ а
 + ўА + А + + . 
(8.26)
■
 
/=о 
■
Бу формула 
Эйлер—Маклорен формуласи
дейилади. Одатда Эй-
лер—Маклорен формуласида жуфт 
т = 2к
олинади. Бундай ҳолда
Вт{
 1 — т) — 
Вт
ни қуйидагича ёзиш мумкин:
В2к{
 1 — т) — 
В2к
 =
В2к{
т) — 
= Ф
2
а
(
т
).
Бу функния 0 + т < 1 оралиқда ўз ишорасини сақлайди. Бундан
ташқари, ў = 3, 5, 7, . . . бўлганда / / = 0 эканлигини ҳисобга
олсак, у ҳолда Эйлер— Маклорен формуласини қуйидаги кўриниш-
да ёзиш мумкин:
г 
к~ 1 
н 21 в
)/{х )й х ^ Т п- ^ — Л [/^ ){Ь )- /М - Р {а )\ + В2к{Л,
(8.27)
а 
1 —1
'
350
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

б у ерда
2£+1
1 
п~~1
/?2.(/) = - ^ у Г | Ф2
^ ) ^ / т ( а + ; Ъ + Нх)ах.
 
(8.28)
Б у формуладан кўринадики,
_ 2 ^
1 / < 2/- 1)( ^ ) - / (2/- 1,(а)1
ҳад трапециянинг катта формуласига тузатмадан иборатдир. Энди
фараз қилайлик 
/ ( х )
даврий функция бўлиб, даври 
Ь — а
га тенг
бўлсин ҳамда ҳақиқий ўқнинг барча нуқталарида 
2к-
 тартибли
узлуксиз ҳосилага эга бўлсин. У ҳолда барча 
/ )2>>(х)
ҳосилалар
ҳам даврий бўлиб, (8.27) формула соддалашади:
ь
1/(х)с1х = Тп + Ғ>
2
к(Г).
а 
.
Функциянинг даврийлиги туфайли 
Тп
тўгри тўртбурчаклар квад-
ратур йиғиндиси билан устма-уст тушади, шунинг учун ҳам
|
/ ( х ) й х
 =
~ ~ - ^ / ( а
 + / А) + ^ ( / ) .
а 
1=1