Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

оралиқда аниқланган функциялар синфи 
Н
бррилган бўлсин.
Бутун Н синфда
'
а 
Ь=
1
квадратур формуланинг цолдиц ҳади
деб
$п(Н)
= зирКОО [ = зир I Г 
Дх)с1х — У Ак/{Ҳк)
I
■
 
! £ Н 
т
 
1
ифодага айтилади. Унинг қуйи чегараси
, 
ж п{Н ) 
= мнп{Н)
Ак • хк
царалаётган синфда квадратур формула хатосининг опти-
мал баҳоси
дейилади.
Агар шундай квадратур формула мавжуд бўлсаки, унинг учун
Нп(Н) — Уё/Н)
тенглик бажарилса, бундай формула қаралаётган
синфда 
оптимал ёки энг яхши фсрмула
дейилади.
Иккита синф мисолида оптимал формула тузишни кўриб чиқа-
миз. Аввал [0, 1] оралиқда узлуксиз ва биринчи ҳосиласи бўлак-
ли узлуксиз ҳамда 
\/'(х)
 | < й тенгсизликни қаноатлантирувчи
С Х(Б)
функциялар синфини қараймиз.
Қа,оалаётган
Г 
(0 < Х! < . . . < л:л = 1) 
(7 .1 )
0
Ь
= 1
.
квадратур формула 
/ ( х ) —
 сопз1 учун аниқ бўлишини, яъни
(7 -2)
к
= 1
тенглик бажарилишини талаб қиламиз. Акс ҳолда 
/ ( х ) = С
учун •
• 
к = 1
 
'
334
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

б ў л и б , б а р ч а
/ ( х )
 
= с о п з 1 ф у н к ц и я л а р қ а р а л а ё т г а н с и н ф д а ё т а д н
в а д е м а к ,
/ ? „ ( / / ) > з и р ( | 1 - 2 Л * | 1^1 ) “
« > • . '
К ў р и н и б т у р и б д и к и , б у н д а й к в а д р а т у р ф о р м у л а н и н г о п т и м а л л и г и
ҳ а қ и д а г а п б ў л ц ш и м у м к и н э м а с . Р а в ш а н к и , 
/( х) £ 0 ( Ь )
 
н и
/ М = / ( 0 ) +
[ / ' ( №
 
(7.3)
к ў р и н и ш д а ё з и ш м у м к и н в а а к с и н ч а , / ( 0 )
и х т и ё р и й с о н б ў л и б ,
/ ' ( х )
б ў л а к л и - у з л у к с и з в а 
1/'(х)
| < I б ў л с а , у ҳ о л д а ( 7 . 3 ) т е н г -
л и к
Д х ) £ С * ( 1 )
 
ф у н к п и я н и
а н и қ л а й д и . 
( 7 . 1 ) — ( 7 . 2 )
к в а д р а т у р
ф о р м у л а н и н г
/ ( х )
= с о п з ! у ч у н а н и қ л и г и н и ҳ и с о б г а о л и б , қ у й и д а -
ғ и г а э г а б ў л а м и з :
1 
п
1 
х
/ ? „ ( / ) » ]
/ ( х ) й х -
 2
 
А к/ ( х к)
= Г / ( 0 ) + Г 
/ ' ( № й х -
,
0 
0 *- 
0 
- 
п
г 
ж* 
_ 
1 * 
" 
п 
хъ
” 2 лм / ( 0 ) + 1 
\ ^ 1 \ ў ( т а х - ^ А к\ г т -
к =
 1 
0 
0 0 
к
= 1 
0
0
< 
А
=1
о
б у е р д а
_
ао
 
= Г 1 , а г а р
0 < / < л : А б ў л с а ,
■
' * 
7
\ 0 , а г а р
Х и К ^
б ў л с а .
Ш у н д а й қ и л и б ,
К пУ)~\т
\ —
 
1
—
2 А*
 (х * ~ /)0] л
|
г т
п№ ,
б у е р д а / С , / ( 0 ф у н к ц и я / ? „ ( / )
ц о лд а ц н и н г ядроси
д е й и л а д и в а у
қ у й и д а г и г а т е н г :
К п(*)
, — / ,
а г а р
к
/ + 2 Л . агар
1 — 
I,
 
агар
= 1 — / — 
2
Ак (Хк
— /)° **
. 
к
= 1 
, 
,
0 < / < М
б ў л с а .
< Я
а
+1
(& — 1, л — 1) бўлса, 
(
7
Д )
л:* < / < 1 
бўлса.
Ш у н и н г д е к ,
2 /1* (
ха
— 0 °
А-=1
1 ,
а г а р 0
^
б ў л с а ,
П
Як
«= 2
Л ’ а г а р
х к_х < ( < х к( к= 2/ п)
 
б ў л с а ,
0 ,
а г а р * „ < / < !
б ў л с а .
( 7 . 5 )
335
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(7.4) дан кўринадйки 
К п(*)
ядро 
/ ( х )
функцияга боғлиқ бўлмай,
балки фақат квадратур формуланинг тугунлари 
х /г
ва коэффициент-
лари 
Ак
ларгагина боғлиқдир. /(„ (/) нинг графиги бўлакли-чизиқли
бўлиб, 
Хи
тугунларда сакраши 
Аи
га тенг бўлган биринчи жинс
узилишга эга.
С 1 
(Ь)
функциялар синфида 
Нп
( /) қолдиқ ҳад учун
1 
.
\Кп(Л
1 < ^ | |
Ка Ц)\<Н
 
,
0
баҳога эга бўламиз. Энди 
'
1
ЯП( С Ч 1) ) *= Ь 1 \Кп(*)\М
о
БКанлигини 
кўрсатайлик. Қуйидаги'
9 (X)
= 1
1
81§п К„ 
(1)](Н
0
функция бўлакли-узлуксиз ҳосила <р' (х) =
I
 81*§п 
Кп
 ( 0 га эга,
| <р' (х) | «
Ь ( х ф х и
), яъни у қаралаётгаи синфда ётади ва
1 
1
I 
(?)
 I = 1
1
51§п 
К п  
(0 • К„ (/) 
си
 =
I \
 | 
кп
 (01Л.
0 
0
Бундан маълум бўладики, қаралаётгаи синфда квадратур формула
1
хатосини минималлаштириш қуйидаги ||/Ц ^ _[ 
\ / ( х ) \ й х
метрикада
1 о
1 — / функцияни (7.5) кўринишдаги функция билан энг яхши яқин-
лаштириш масаласига келтирилади. Энди
1
1 I 
Кп
 (/) | 
ни 
V
 
(/2
» • • • » 
Й
/ 1
 
> • • • > 
%п)
0
орқали 
белгилаб олиб, 
V (д2,
. . . , 
дп\ х и
. . . , 
х л) 
=а
X, 
п хк
 
1
- 1 | Ц Л + 2 1
| 1 - * - ? * | Л + 1 | 1 - < | Л
(7.6)
0 
А=2 
лгд
тенгликка эга бўламиз. Агар 
ци
ларни белгиланган деб олсак, у
ҳолда йиғиндининг 
к-
ҳади
хк
^ ( Я к ) 3*
1 I
1
1 — / — 
дк
 I 
сИ
336
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

фақатгина ^ га боғлиҚ ва бу интегрални ҳисобласак, қуйидагига
эга бўламиз:
У(дк) =
агаР 1 -**_!< ?*►
[ ( 1 - ^ - ^ ) 5+ ( 1 - ^ - ^ - ! )2].
агар 1 
- х к+ д к< \ — х к_ и
\ { х к- х к_ у - { я к- 1 + х д [ х к- Х ь _ д ,
агар <7*< 
1 - х к.
Бундан эса,
У'(дк) =
Х ~ Хк-Ъ
— 2(1 
— дк) + х к + х к-
1*
-
( х - х к-г),
агар 1— * * _ ! < ? * ,
агар 1—
< 1 
—х к_и
а г а р ^ < 1 —
’
Охирги ифодадан фойдаланиб, 
V(дк)
ни минималлаштиришни ҳисоб-
га олсак олдинги ифодадан
и ш
V
 (?*) =
Т (хк
 — л ^ ) 2 
(7.7>
Ч
келиб чиқади. (7.6) нинг ўнг томонида 
V
(<
7
А) миқдорлардан таш-
қари яна уш бу ифода ҳам бор:
Х \
 
I 
Г)
Г 
Г 
, 
*? + (1— *л)2
З К 1 Л + 3 | 1 — 
1\(И = —
 
~2 
—- .
0 
* п
 
,
Бундан ва (7.6) — (7.7) дан 
ш! 
V (д
2 , , 
.
. ,
. . . , х я)=*.
«
2
.
7 / ( <
Шундай қилиб,
1
> . . . , 
х п) = Х1 + (],
Хп) 
( х к - х к _ у .
к=2
Ш? 
V
(^2 I ■ > • > *^1 » • • • > ^й) :
I
=
ш! 
(7 (лг! , • . . , л:л).
Энди 
ҳосилаларни нолга тенглаштириб, қуйидаги чизиқли алгеб-
ихк
раик тенгламалар системасига эга бўламиз:
3-^1— 
Х а
П 
^ х п
— 2 — 
Х П—\ 
Х к —\
2 
Х к - \ - Х к 
+
1
' 
2 
2 
» 
2
(<6 = 2, я — 1).
Бу системанинг ечими эса
2к— 1
Хк а
 
2 
п
( к = \ , п )
бўлиб,
ш 
и
 
( ^ 1
,
. . . »
х п)
“ 4^ •
* ...........
*п
22—2105
83?
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шундай қилиб, қаралаётган 0 < л:, <
< . . . < д : л — 1 соҳа
ичида 
II (хи
. . . , 
х п)
нинг экстремал қийматини топдик, лекин
II (хи
. . . , 
х п)
ўзининг знг кичик қийматига бу соҳанинг чега-
расида ҳам эришиши мумкин.
Бевосита текшириб кўриш мумкинки, 
II (х
х , . . . , д:я) нинг
топилган қиймати унинг минимал қийматидир.
Бунинг учун 
'
2 
п
к-=
 1
2п
2 п ^ Ь
к
= 1
Коши — Буняковский тенгсизлигида 
Ьх = х и Ь2 = Ь3 = - 2
 
,
а
— 
а
 
—
- 3 — х 2 
и
 
— 
и
 
__
х п
— лгл_ ! 
и
 
,
— 
°Ь
--- 
3
 
» • • • » 
°2п-1 
° 2 п- \
-------- 2----- » 
= 1 ---
Ха
деб олсак, у ҳолда 2
— .1 бўлиб,
2 л
1 ^ 2« 2
к = 1
к = 1
СКИ
2л
4 7 г ^ 4 2 **— 
» • • • . *л)
А=1
1
тенгсизликни ҳосил қиламиз. Шундай қилиб, | |К Л( 0 !
Л1
нинг
минимал қиймати 
-т-
бўлиб, бу қийматга
4,*г
2
 
к-_ 
' ь ~ ~ 2 п
_ 2^ 
1 
л 
1 
Н" -**£—1 
1 
к
 — 1
• < ------ — , 
Як
 — 1 — - 
о 
- I ------ —
бўлганда эришилади. Бу ва (7.2) дан квадратур формуланинг коэффи-
циентлари учун мос равишдаги қуйидаги қийматларга эга бўламиз:
Лл = А 1
= ?/— 9/+1==4 (7 = 2, л —1),
Д = 1 ~
<6=2
2
л *
Шундай қилиб, қаралаётган синфда оптимал квадратур формула
умумлашган ўрта тўғри тўртбурчак формуласи
0 
к = 1
бўл и б, унинг хатолиги 
дан иборатдир.
3 3 8 ;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Айрим ҳолларда оптимал квадратур формула қуриш пайтида б у
формула коэффициентлари ёки тугунларининг маълум шартларни
қаноатлантириши, масалан тугунларининг мунтазам тақсимланиши
талаб қилинади.
Энди [0,1] оралиқда узлуксиз, биринчи ҳосиласи квадрати би-
лан жамланувчи, ҳамда
1
' 
0
шартни қаноатлантирувчи функциялар синфи 
С\
(7) ни қараймиз.
Бу синфнинг ҳар бир функциясини