|
1 . М
- + Д - £ - ( * ■ - ! ) *
(5Л )
ташкил этади. Бу кўпҳадларнинг ортогонал система ташкил этиши
6- бобда таъкидланган эди. Лекин буни бевосита текшириш ҳам
мумкин. Ихтиёрий й < « учун, бўлаклаб интеграллаш йўли билан
ушбуга эга бўламиз:
х
-1
*
ап(х2-
1
)п
йхп
-йх
=
\^Хк
<р
1^2 — ])П
- м
х 1
■к
- 1
йп~\х
2 — 1)л
йх'
гП
--
1
йхп~
йх.
1
г
Ўнг томондаги биринчи ҳад нолга тенг, шунинг учун:
йп- \ х2—
1)я
йхп~1
йх.
82
$
www.ziyouz.com kutubxonasi
Шунга ўхшаш
5 . - ( - * ) (—й + 1) |
^
- ' Г
- О х - . .
- ( —1)* 1-2-3 . . .
к
+
-1
ап~к(х2
—
1)п
й х '
п —к
йх.
Бундан кўринадики, ихтиёрий
к =
0, I, . . . ,
п
—
1
учун
Зн
= 0
бўлиб,
Ьп(х)
ортогонал системани ташкил этади.
1 п(х)
кўпҳад
ип(х)
дан фақат доимий кўпайтувчи билан фарқ қилади. (5.1) фор-
муладан:
Демак,
л *<х ) = + Д Г * ” - - -
“*м “ + + " • < * >
(5.2)
(5.3)
келиб чиқади. Энди
(5.2)
ни ҳисобга олиб, бўлаклаб
интеграллаш
йўли билан
(Зк
ни ҳисоблашдагидек)
[Ч М * *
- (-!)•
|
\уах
-
'Г
(2я)1
22”(я1)2
| (1 —
х 2)пйх
ни ҳосил қиламиз. Маълумки,
1п = { ( \ - х 2у й х = - ^ - ^ ^ Ш
- ,
1
(2
п +
1)11
(2
п +
1)1
Демак,
1
1-1(х)йх-
2 п + 1
(5.4)
Бизга /,„(1) ва /.„(— 1) нинг қийматлари керак бўлади. Буни то-
пиш учун Лейбниц формуласидан фойдаланамиз:
1
Н п
М * )
= — Г —
I (X
+ 1)"
( х -
1)«] =
2 п - п \
й х п
+ 2
сч-
м - к
2 п - п \
х и
п а х п ~ к
к ~ 0
ак
ахк
■
(л:— 1)*
2 + 3 + + < * + ‘>‘ 7 + й -
( п
—
к )
1
~
2
[С^ ( Х + 1)* ( х - \ ) - к.
к= 0
324
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бундан эса хусусий ҳолда
К (
1) = 1,
! „ ( - ! ) = ( - 1 ) я
(5-5)
га эга бўламиз.
Энди Гаусс квадратур фэрмуласининг
/(х)йх
~ ^
Ак
/ (
хк
)
(5 .6 )'
-1
к
= 1
тугунлари ва коэффициентларини аниқлашга ўтамиз. Тугунларни
топиш учун
7„(х) = 0
алгебраик тенгламанинг барча илдизларини аниқлаш керак. Тугун-
лар аниқлангандан сўнг коэффиииентларни
Ак
I
= 1
Ь п ( х )
± г ( х — х к) 1 п { х к )
йх
ёрдамида аниқлаш мумкин. Лекин бу формула ҳисоблаш учун
ноқулай, шунинг учун ҳам бошқа йўл тутамиз. Бунинг учун
(5.6) формулани шундай кўпҳадга қўллаймизки, ўнг томонда фа-
қат биргина ҳад қолсин.
Масалан,
/ ( ■ * ) = 2
1 п,к(х) Ь'Пшк(х)
каби олсак, бу ерда
Кк(х)
= - ^ 4 - =
С
П
( х - х / ,
х
х к
/= 1
,/ф к
У ҳолда
|
2Ьп,к(х) Ь'Пш
к (х)йх
=
1?Пш
к (х)
-1
-1
К ( - ' )
4 х к
4 х к
(1
’
(5.7)
— х кЎ
(1
+ х к У
(1 —
х к
)3
\ > — л к>
чунки (5.5) га кўра М (1) = 7,^(— 1) = 1. Иккинчи томондан, (5.6)
га кўра
I
2 1 п,к(х ) 1 'п.к(х ) а х = 2 А к 1 п ,к (Х к К , к ( Х к)>
(5 -8 )
-1
чунки (5.6) даги қолган ҳадлар нолга айланади.. Қуйидаги тенгликни
ч
( х — х к ) 1 п,к(х)
=
1 д(х)
икки марта дифференциаллаб,
х
=
х к
деб олсак,
1 п .к ( х и) = К ( х ,)>
К , к ( х к ) ^ К ( х к)
1
325
www.ziyouz.com kutubxonasi
га эга бўламиз. Бу қийматларни (5.8) га қўйиб, сўнгра уни (5.7)
билан таққослаб, қуйидагини топамиз:
А —
4хи
1
о-4)3’
*
Маълумки, Лежандр кўпҳади
Ьп(х)
ушбу
(л:г — 1)
Г ( х )
+ 2
х1'п( х ) — п(п
+
\)Ьп(х)
= 0
(5.9)
тенгламани қаиоатлантиради. Буни бевосита текшириб кўриш мум-
кин. Бу тенгламада
х = х к
деб ва /-„ (+ ) = 0 ни ҳисобга олсак
(4 ~ 0
К(хк)
+ 2
хьК(хк)
= 0
келиб чиқади. Бундан эса
У_"(
х
) =
п(Хк)
■ 4
Бу ифодани (5.9) га қўйиб,
Ак
учун керакли формулага эга бў-
ламиз:
А
= --------—
--------
*
(1-дф [!„(**>]’
(к = \,а).
Энди Гаусс формуласининг қолдиқ ҳадини аниқлайлик. Фараз қи-
лайлик,
/ ( х )
функцияси [— 1, 1] оралиқда 2
п-
тартибли узлуксиз
ҳосилага эга бўлсин. У ҳолда 3- § даги 3- теоремага кўра
ЯяСЛ
/(2п)(£)
(2
п)\
1
|
иР/х^йх.
-1
Бу ердан (5.3) ва (5.4) формулаларга кўра
К п ( Р )
/ (2П)(Р
1
22п(п\у
(2
п)\
(2
п)\
]*
1?(х)с!х --
/ <2в)(6) ,
2
2п(п\у '
2
(2л)!
’ [ (2и)! ]а * 2я + Г
Шундай қилиб, Гаусс формуласининг қолдиқ ҳади
К п ( Г )
2
2п+\п\у
[(2«)1 ]з (2
п
+ 1)
/ <2п>(£)
бўлади.
Қуйида Гаусс формуласининг тугунлари, коэффициентлари ва
қолдиқ ҳадлари
п
= 1, 2, 3, 4, 5, 6 учун келтирилган:
п
= 1
= 0 , Л , = 2 , /?( =
~—/"(р).
п
= 2
—X! = х 2 = 0,5773502692, Л<2> = + / = 1,
826
www.ziyouz.com kutubxonasi
п
= 3
—х 4 = д:а == 0,7745966692, х 2 = 0,
.
,
_
5
,
_
8
г .
1
Л4 —
Л 3 —
,
Л2
9
»
^?3 =
9
15750
/<6>Ш ;
п —4
—
= л:4 = 0,8611363116, - х , = х 3 = 0,3399810436;
Ла
—
Л3
= 0,6521451549,
Л,
=
Л4
= 0,3478548451,
/?4 =
'
3472875
л — 5
—х , = х 5 = 0,9061798459,
- х а = х 4 = 0,5384693101.,
Л,
= Л 5 = 0,2369268851,
л 2 = Л 4 = 0,4786286705,
Л3 = 0,5688888889,
х 3 = 0 ,
Яз
1237732550
П
= 6
■/<10) (I);
- х , = х 6 = 0 ,9 3 2 4 6 9 5 1 4 2 ,
—х 2 = х 5 = 0,6612093865,
—х 3 = х 4 = 0,2386191861,
= Л 6 = 0,1713244924,
Л 2 = Л 5 = 0,3607615730,
Л3 = Л 4 = 0,4679139446,
1
648984486150
-/<12)(Ю.
В. И. Криловнинг [23] китобида Гаусс формуласининг тугун-
лари ва коэффиЦиентлари
п
= 1(1)16 учун ўн бешта ўнли рақами
билан берилган. Ихтиёрий
[а, Ь\
оралиқ бўйича олинган
интегрални
,
Ь
—
а
,
а + Ь
I
= -------
-х-\
-----
-
—
2
2
алмаштириш ёрдамида [— 1, 1] сралиққа келтириш мумкин:
1
1 и ± х + ± ± ± ) а Х'
www.ziyouz.com kutubxonasi
Б у и н т е г р а л г а Г а у с с ф о р м у л а с и н и қ ў л л а с а к ,
а
А=1
н и ҳ о с и л қ и л а м и з , б у е р д а
2
*
'
2
х к
в а
л а р [ — 1, 1] у ч у н қ у р и л г а н Г а у с с ф о р м у л а с и н и н г т у г у н -
л а р и в а к о э ф ф и ц и е н т л а р и д и р .
М и с о л. Гаусс формуласи ёрдамида ушбу
С
Л х
I
=
— —- = 0,78539816 . . .
*/ 1 4*
интегрални ҳисоблайлйк. Аввало
I
— —
— алмаштириш ёрдамида
/ = 2
-----------------
:) 1 4 + (1+ *)!'
кўринишга келтирамиз, сўнгра
п =
4 деб ҳисоблашларни олти хона аниқлик-
да бажарамиз:
/ = 2 Г 0,347855 ( ---------- ------------+ ------------ ----------- ) +
I
\ 4 + 0,1388642
^
4 + 1,8611362
+ 0,652145 ( ---------- ------------Н---------------—-------- ) ] = 0,785403.
\ 4 + 0,6600192
^ 4 + 1,3399812
) \
'
2. Мелер квадратур формуласи.
Энди
[—1, 1] оралиқда
Р( х ) = - 7 = Ц .
(5.10)
У
1 —
х 2
вазн билан квадратур формула қурайлик. [ — 1, 1] оралиқда (5.10)
вазн билан ортогонал бўлган кўпҳад
Тп(х )
= с о з
п
агссозл:
Чебишев кўпҳадлари эканлиги маълумдир. Буни текшириш
учун
т
с х т с о з п
агссозл: ,
1т—
---- 7= - - —-----
а х
1х
—;с2
интегралда
х
= соз9 алмаштириш бажарамиз:
п
■
1т —
| соз^ОсозгаОбШ.
-
о
Маълумки,
созт 0 = ^
а ксо5к&
&=0
828
www.ziyouz.com kutubxonasi
ва барча
к
= 0, 1, . . .
, п
— 1 учун
*
.
Г соз&ОсозяОйМ = 0.
Булардан эса
1т
Do'stlaringiz bilan baham: |
