Њзбекистон республикаси

1- мавзу. МАТЕМАТИК ДАСТУРЛАШ ФАНИНИНГ ПРЕДМЕТ ВА МАСАЛАЛАРИ

Режа:

1. 
   Математик дастурлаш фанининг аќамияти ва предмети.
   
2. 
   Иљтисодиётга оид айрим масалалар ва уларнинг математик моделлари.
   
3. 
   Функция экстремуми, чизиљли функция, чизиљли тенгсизликлар ва чизиљли тенгламалар системаси ќаљидаги баъзи тушунчалар.
   

Иљтисодиётда чуљур таркибий њзгаришларни амалга ошириш, ишлаб чиљаришни доимий равишда модернизациялаш ва технологик жиќатдан янгилаб бориш иљтисодиётни ислоќ этишнинг стратегик вазифасидир.

Маълумки, иш усулларини мукаммаллаштириб борувчи ќар бир ишлаб чиљарувчи њз ишини ташкил љилиш ва бошљаришда энг љулай ёки унга яљин ечимни топиши унинг асосий вазифасидир. Бундай ечимларни математик методлардан фойдаланиб топиш мумкин. Математик методларни ишлаб чиљариш тармољларида љњллаш, улар фаолиятининг натижавий књрсаткичларига бевосита таъсир этмољда.
Ќозирги босљичда математик методларнинг ишлаб чиљаришда љњлланилишининг интенсив ривожланиб боришига асосан: 1) моддий ишлаб чиљариш мураккаблашиб бормољдаки, уни оддий усуллар билан ечиш самара бермай љолди; 2) кучли ќисоблаш техникасининг мавжудлиги, унингсиз олдин бажариб бњлмайдиган масалаларни ечиш имкониятининг яратилганлиги сабаб бњлмољда.
Режалаштириш ва бошљариш, ишлаб чиљаришни чуљур таќлил љилиш, меќнат унумдорлигини ва ишлаб чиљаришнинг рентабеллик даражасини њстириш, ички имкониятларни љидириб топишда математик методлар ва ќисоблаш техникасидан фойдаланиш катта самаралар бермољда. Бу њз навбатида йирик иљтисодий ва социал масалаларни ќал этиш имконини беради.
Иљтисодий жараёнлардаги бирор масалани математик йњл билан ќал љилиш ёки уни ќисоблаш техникаси ёрдамида ечиш учун олдин унинг моделини тузиш керак. Бу књп ќолларда математик модел тузишдан иборат бњлади. Тузилган моделнинг реаллиги тњпланган маълумотлар миљёсига, уларнинг аниљлик даражасига, тадљиљотчининг малакасига ва моделлаштириш жараёнидаги аниљланадиган масаланинг књламига бођлиљ.
Математик дастурлаш (программалаштириш) – математиканинг шундай соќасики, унда књп њлчовли экстремал масалаларни, чеклаш шартларида ечишнинг назарияси ва сонли усуллари ишлаб чиљилади, яъни књп њзгарувчили (аргументли) функция эркли њзгарувчилари њзгариш соќасига маълум шартлар љњйилганда унинг экстремуми топилади.
Математик дастурлашнинг таркибий љисми бњлиб, чизиљли дастурлаш (программалаштириш, режалаштириш), чизиљли бњлмаган дастурлаш ва динамик дастурлаш ќисобланади.
Чизиљли дастурлашда, књп њзгарувчили чизиљли функция њзгарувчиларига чизиљли чеклаш шартлар љњйилганда унинг экстремум (максимум ёки минимум) љийматини топиш масаласи љњйилади. Књпинча иљтисодий ва техник-иљтисодий жараёнлар муаммоларини ќал этишда шундай масалаларни ечишга тњђри келади. Чизиљли дастурлашнинг келиб чиљиши ва унинг ривожланиши иљтисодий жараёнлардаги муаммолар билан бођлиљ. Чизиљли дастурлаш ибораси биринчи бњлиб, 1951 йилда америкалик олимлар Ж.Б.Данциг ва Т.Купманс ишларида љњлланилган. Дастурлаш (режалаштириш) сњзи бирор иљтисодий объект ишининг режасини (планини) тузиш маъносида љњлланилган.
Чизиљли дастурлаш, 1955-1965 йилларда иљтисодий муаммолар билан бођлиљ ќолда АЉШда интенсив ривожланди.
Чизиљли дастурлашнинг ривожланиши билан бир љаторда чизиљли бњлмаган дастурлаш масалаларига ќам катта аќамият берилиб борилди. Чизиљли бњлмаган дастурлашда књп њзгарувчили функция, унинг њзгарувчиларига љњйилган чеклаш шартларидан бири ёки иккаласи ќам чизиљли бњлмайди. 1951 йилда, чизиљли бњлмаган масала оптимал (экстремал) ечимининг зарурий ва етарли шартлари келтирилган Кун ва Таккернинг иши чоп этилди. Бу иш чизиљли бњлмаган дастурлаш соќасида текширишлар олиб боришга асос бњлди.
Иљтисодий жараёнлар муаммолари асосан чизиљли бњлмаган масалалар билан ифодаланади. Чизиљли бњлмаган масалалар, чизиљли дастурлаш масалалари яхши њрганилганлиги ќамда уларни ечиш алгоритмлари ишлаб чиљилганлиги учун, у билан алмаштирилади (аппроксимацияланади).
Чизиљли ва чизиљли бњлмаган дастурлашда иљтисодий жараёнлар ваљтга бођлиљ бњлади. Бундай иљтисодий масалаларни ечишда жараённинг босљичма-босљич ривожланишини ќисобга олиш зарур бњлади. Бундай књп босљичли масалаларни ечиш динамик дастурлашга олиб келади.
Динамик дастурлашнинг ривожланишида америкалик математик Р.Беллманнинг ќиссаси књп.
Чизиљли, чизиљли бњлмаган ва динамик дастурлаш билан ќар хил бошљариладиган жараёнларнинг оптимал (экстремал) ечимини, сонли усулларда топишга келтирилади.
Иљтисодий масалаларни ечишни учта босљичга ажратиш мумкин:

1. 
   иљтисодий-математик моделни тузиш;
   
2. 
   бирор математик усулдан фойдаланиб оптимал ечимни топиш;
   
3. 
   амалиётга љњллаш.
   

Бир неча иљтисодий масалаларни љараймиз ва уларнинг математик моделини тузамиз.

1. 
   Хом-ашёлардан оптимал фойдаланиш масаласи. Икки ва хилдаги маќсулотларни ишлаб чиљариш учун уч ва турдаги хом-ашёлардан фойдаланилади. Хом-ашё заќираси ва бир бирлик маќсулот ишлаб чиљариш учун кетган хом-ашё сарфлари ќамда маќсулотларни реализация љилишдан олинадиган фойда миљдори 1-жадвалда берилган:
   

1-жадвал

Хом-ашё турлари	Хом-ашё заќираси	Маќсулотларни ишлаб чиљариш учун хом-ашёлар сарфлари
		А1	А2
В1	50	5	3
В2	40	5	4
В3	60	6	5
Бир бирлик маќсулотдан олинадиган фойда (сњм)		500	400

Маќсулот ишлаб чиљаришнинг шундай режасини тузиш керакки, корхона уларни реализация љилишдан максимал фойда олсин. Масаланинг математик моделини тузинг.

Ечиш. Масаланинг математик моделини тузамиз. билан ишлаб чиљарилиши керак бњлган маќсулот миљдорини, билан ишлаб чиљарилиши лозим бњлган маќсулот миљдорини белгилайлик. Ќар бир маќсулотни ишлаб чиљариш учун кетадиган хом-ашё сарфларини ќамда хом-ашё заќирасини ќисобга олсак,

тенгсизликлар системаси ќосил бњлади. маќсулот ишлаб чиљарилмаса , акс ќолда бњлади. Худди шундай маќсулот ишлаб чиљарилмаса , акс ќолда , демак, њзгарувчилар учун бњлади.
Ечиладиган масаладаги маљсадни ва њзгарувчилар ёрдамида ифодалаймиз. Бунда ва мос равишда ва маќсулотларни реализация љилишдан олинадиган фойдалар бњлгани учун, жами фойда

чизиљли функция билан ифодаланади. Шундай љилиб, масаланинг математик модели љуйидагича бњлади:

тенгсизликлар системасини љаноатлантирувчи ва њзгарувчиларнинг шундай љийматларини топиш керакки,

чизиљли функция максимум љийматга эга бњлсин.
чизиљли функцияга маљсадли функция дейилади.
Хом-ашёдан фойдаланиш масаласини та хилдаги маќсулот ва та турдаги хом-ашё учун умумлаштириш мумкин. хом-ашё турлари, маќсулот хиллари бњлсин. , -хом-ашё заќираси,
, - хом-ашёнинг - маќсулотни ишлаб чиљариш учун кетган сарфи миљдори, , - маќсулотни реализация љилишдан олинадиган фойда бњлса, масаланинг математик модели љуйидагича бњлади:
(1)
тенгсизликлар системасини љаноатлантирувчи њзгарувчиларнинг шундай љийматини топиш керакки,
(2)
чизиљли функция максимум љийматга эга бњлсин.

2. 
   Шаќар сут заводи сут, љатиљ ва љаймољ маќсулотларини тайёрлаб шиша идишларга љадољлайди. 1 т (тонна) сут, љатиљ ва љаймољ ишлаб чиљариш учун мос равишда 1005, 1008, 9560 кг сут ишлатилади. Бунда 1 т сут ва љатиљни љадољлаш учун мос равишда ишчи ваљтининг 0,16 ва 0,18 машина соати сарфланади. 1 т љаймољни љадољлаш учун махсус автомат 3,15 соат ишлатилади. Маќсулотларни ишлаб чиљариш учун завод 142000 кг сут ишлатиши мумкин. Сут ва љатиљни љадољлайдиган жиќоздан 23,5 соат, љаймољни љадољлайдиган автоматни эса 16,4 соат ишлатиш имкони7яти мавжуд. Завод 1 т сут, љатиљ ва љаймољ љадољлаб сотишдан, мос равишда 3000, 3500 ва 12650 сњм фойда олади. Завод ќар куни љадољланган 80 т дан кам бњлмаган сут ва 30 т дан кам бњлмаган љатиљ ишлаб чиљариши керак.
   

Завод энг катта фойда олиши учун љайси маќсулотдан љанча миљдорда ишлаб чиљариши керак? Масаланинг математик моделини тузинг.
Ечиш. Ишлаб чиљарилиши керак бњлган сут, љатиљ ва љаймољ миљдорларини мос равишда лар билан белгилайлик. Бу ќолда маќсулотларни ишлаб чиљариш учун тонна сут ишлатилади. Завод ќар куни 142 т сутни ишлатиши мумкин, шунинг учун тенгсизлик њринли бњлади.
Сут ва љатиљни љадољлайдиган автомат учун , љаймољни љадољлайдиган автомат учун тенгсизликни ќосил љилиш мумкин.
Ќар куни сут ва љатиљ љадољлаб ишлаб чиљариш мос равишда 80 т ва 30 т дан кам бњлмаслиги керак, яъни тенгсизликлар бажарилиши лозим. Иљтисодий маъносидан маълумки, тенгсизлик бажарилади. Маќ-сулотлар ишлаб чиљаришдан завод сњм фойда олади.
Шундай љилиб, масаланинг математик модели љуйидагича бњлади:



тенгсизликлар системасини љаноатлантирувчи эркли њзгарувчиларнинг шундай љийматларини топиш керакки,

функция максимум љийматга эга бњлсин.
3. Функция экстремуми ќаљида тушунча. Чизиљли дастурлаш масаласининг љњйилишидан маълумки, уни ечиш функциянинг шартли экстремумини топишдан иборат бњлади. Бундай масалаларни ечишда књп њзгарувчили функциянинг шартли экстремумини, яхши ишланган математик таќлил методларидан фойдаланиб топиш мумкиндек туюлади. Лекин, бундай методлардан юљоридаги масалаларни ечишда фойдаланиб бњлмайди. Буни љуйидаги масалада књрамиз.

чизиљли функциянинг

чеклаш шартларини љаноатлантирувчи экстремум љийматини топиш керак бњлсин. Математик таќлил методларига асосан, чизиљли функциянинг хусусий ќосилаларини топсак,

бњлиб, чизиљли функциянинг ќамма коэффициентлари 0 га тенг бњлиши келиб чиљади, лекин бундай бўлиши мумкин эмас. Демак, чеклаш шартлари билан ќосил љилинган соќанинг ички нуљталарида экстремум мавжуд эмас. Экстремум соќанинг четки нуљталарида бњлиши мумкин, лекин уни четки нуљталарда текшириш мумкин эмас, чунки хусусий ќосилалар њзгармасдир.
Шунинг учун чизиљли дастурлаш масалаларини ечиш учун махсус методлар ишлаб чиљилиши керак бњлади. Иљтисодий жараёнлардаги књп бођланишлар чизиљли функция ва њзгарувчиларга љњйиладиган чеклаш шартлари чизиљли ифодаланганлиги учун ЧД усуллари унда ўзининг кенг татбиљларига эга бўлиб бормољда.
Чизиљли дастурлашда тенгсизликлар системасини ечиш анча мураккабликка олиб боргани учун тенгсизликлар системасидан тенгламалар системасига њтилади.
(3)
та номаълумли тенгсизликни љараймиз.
Бу тенгсизликни тенгликка келтириш учун унинг чап томонига манфий бњлмаган
(4)
миљдорни љњшамиз, натижада та номаълумли
(5)
тенглама ќосил бњлади. Тенгсизликни тенгламага айлантириш учун љњшилган ва манфий бњлмаган њзгарувчига љњшимча њзгарувчи деб аталади.
1-теорема. (3) тенгсизликнинг ќар бир ечимига (5) тенгламанинг ва (4) тенгсизликнинг ягона ечими мос келади ва аксинча, (5) тенглама ва (4) тенгсизликнинг ќар бир ечимига (3) тенгсизликнинг ягона ечими мос келади.
Исбот. (3) тенгсизликнинг ечими бњлсин, яъни тенгсизлик бажарилади. Бу тенгсизликнинг чап томонидаги ифодани њнг томонга њтказиб, ќосил бњлган айирмани билан белгиласак,

ќосил бњлади. Бундан , яъни (4) тенгсизлик љаноатлантирилади ва (5) тенгламани љаноатлантириши келиб чиљади.
(5) тенгламани ва (4) тенгсизликни љаноатлантирсин, яъни
бњлади.
Охирги тенгликнинг чап томонидан миљдорни айирсак,

тенгсизлик ќосил бўлади. Бундан (3) тенгсизликнинг ечими эканлиги келиб чиљади. Теорема тњлиљ исбот бњлди.
Шундай љилиб, чизиљли дастурлаш масаласининг чеклаш шартларида тенгсизликлар мавжуд бњлса, ќар бир тенгсизликка њзининг манфий бњлмаган љњшимча њзгарувчисини киритиш билан уларни тенгламаларга айлантириш мумкин. Бунда ќар бир љњшимча њзгарувчи маљсадли функцияга 0 га тенг коэффициент билан киради. Исботланган теоремадан фойдаланиб, љаралган масалаларнинг моделларини љуйидагича ифодалаш мумкин:
1) хом-ашёдан фойдаланиш масаласи, ушбу

чеклаш шартларини љаноатлантирувчи њзгарувчиларнинг шундай љийматини топиш керакки,

чизиљли функция максимум љийматга эга бњлсин.
Шуни таъкидлаш керакки, чеклаш шартларидаги тенгсизлик ва тенглама њнг томонидаги озод ќадларни ќамиша мусбат, яъни дейиш мумкин. Улар ичида айримлари манфий бњлса, тенгсизлик ёки тенгламани (-1) га књпайтирилади ва бунда тенгсизлик тескарисига њзгаради.
Шундай љилиб, исталган чизиљли дастурлаш масаласи чеклаш шартлари системасини та номаълумли та тенгламалар системасига келтириш мумкин. њзгарувчиларнинг чизиљли функция максимум ёки минимум љийматга эга бњладиганларини, шу система ечимлар тњплами ичидан излаш керак бњлади.
Исталган књринишдаги тенгламалар системасининг ечимини топиш ќамда чизиљли дастурлаш масаласининг ечимини аниљлаш усуллари њлчовли векторли фазо тушунчаларига асосланади.