Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

3-Натижа. кесмадаги узлуксиз дифференциалланадиган функтсия нинг Фурйе қатори интервалнинг ҳар бир нуқтасида (55.26) қийматига, ва нуқталарда
(55.27)
қийматига яқинлашади.
4-Натижа. кесмадаги узлуксиз бўлакли дифферентсиалланувчи функтсиянинг Фурйе қатори оралиқнинг исталган нуқтасида функтсиянинг шу нуқтадаги қийматига, ва нуқталарда эса (55.27) қийматга яқинлашади.
Теореманинг исботи. (55.18) ва (55.16) формулалар ёрдамида биз қуйидагиларга эга бўламиз:



(55.28)
Айтайлик (55.25) интеграл яқинлашсин. У ҳолда Лемма 5 га биноан,
,
интеграл бошқача қилиб айтганда, функтсия кесмада абсолют интегралдир. Шунинг учун, Риман теоремасига ко'ра (55.2-бо'лимга қаранг)

шу сабабли, (55.28) га кўра:

1-натижадан то'г'ридан-то'г'ри теоремадан функтсиянинг регуляр нуқтаси та'рифи туфайли келиб чиқади.
2-натижани исботлайлик. 4-теоремага биноан, агар , чегараланган бўлса ва бир томонлама ҳосилалар , мавжуд бо'лса, унда (55.25) интеграл баъзи бир да яқинлашишини ко'рсатиш кифоя. Аввало,

чегараланган бўлганлиги сабабли, функтсия баъзи нуқта атрофида чегараланган. Шунинг учун, функтсия кесмада чегараланган ва шунинг учун махсус нуқталарга эга бо'лмаган учун , мавжуд, натижада у Риман маъносида шу кесмада интеграллаш мумкин (Қаранг: 33.1 ва шунингдек, 44.7 4-эслатма). Риман маъносида интегралланувчи функтсияси абсолют интегралланувчи ва шунинг учун интеграл (55.25) чекланган.
3-натижани исботлаш учун кесмада аниқланган функтсияни исботлаш учун биз вақти-вақти билан ярим интервалдан бутун сон о'қигача давом этамиз ва ҳосил бо'лган функтсияни билан белгилаймиз. Бўлаклаб дифферентсиаллаш та'рифига асосан (30.2-банддаги 1-та'рифга қаранг), функсияни 2-натижани шартларини қаноатлантиради Ушбу хулосага ко'ра, Фурйе қаторига га то'г'ри келадиган нинг Фурйе қатори ҳар бир нуқтада

га яқинлашади.
Агар учун бўлса, у ҳолда бўлади. да кўрилаётган қатор га, да эса қийматга яқинлашади. функсияларнинг даврийлигидан , бўлади.