Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

2.2-§. Умумлашган хосила асосида функциялар триганометрик ёйилмасининг ягоналиги
Умумлашган ҳосила тушинчаси. Фараз қилайлик, оралиқда узлуксиз F(x) функция берилган бўлсин. Бунда х учун шарт бажарилсин, у холда етарлича чексиз кичик миқдорлар учун чекли айирма маънога эга бўлади. Агар ушбу чекли айирма учун қуйидаги лимит мавжуд бўлса

у холда бу лимит нинг умумлашган (симметрик) ҳосиласи дейилади. Равшанки, ушбу муносабатдан

ва оддий маънодаги ҳосиланинг мавжуд бўлишидан, да умумлашган ҳосиланинг мавжудлиги келиб чиқади. Аммо баъзи холларда оддий маънодаги ҳосила мавжуд бўлмаган холда ҳам умумлашган ҳосила мавжуд бўлиши мумкин [1,2], масалан, ушбу функция учун

нуқтада оддий маънодаги ҳосила мавжуд эмас, лекин унинг умумлашган ҳосиласи нослга тенг [1].
Иккинчи тартибли чекли айирмани кўриб чиқайлик


.
Агар қуйидаги лимит мавжуд бўлса
, (1)
у холда бу лимит функциянинг нуқтадаги иккинчи тартибли умумлашган ҳосиласи дейилади. Шунингдек, агар функциянинг оддий маънодаги иккинчи тартибли ҳосиласи мавжуд бўлса, унга тенг иккинчи тартибли умумлашага ҳосиласи ҳам мавжуд бўлиши исботланган
[1,2,5].
Хақиқатдан ҳам, агар га боғлиқ бўлган ва функциялар учун Коши формуласини қўлласак

ва юқоридаги (1) маънодаги таърифга асосан да юқоридаги муносабат га интилади. Лекин, тескари тасдиқ ўринли эмас, яъни иккринчи тартибли умумлашган ҳосиланинг мавжудлигидан оддий маънодаги иккинчи тартибли ҳосиланинг мавжудлиги келиб чиқмайди.
Мисол, ушбу функциянинг

иккинчи тартибли умумлашган ҳосиланинг мавжудлигидан оддий маънодаги иккинчи тартибли ҳосиланинг мавжудлиги келиб чиқмайди
[1,2,4].
Баъзи холларда иккинчи тартибли умумлашган ҳосила оддий маънодаги иккинчи тартибли ҳосила вазифасини ҳам бажариши мумкин. Бу фикрни тасдиқлаш учун қуйидаги теоремани кўриб чиқамиз.