Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИОННЫХ 
РЕСУРСОВ 
 
С.С.Бекназарова (ТУИТ, старший преподаватель, д.т.н.) 
Г.Н.Бурибоева (ТГАУ, старший преподаватель)
 
Теоретически дискретно-непрерывное преобразование может выполняться с 
достаточно высокой плотностью отсчетов, гарантирующей достижение хорошего подобия 
между цифровым сигналом и его аналоговым эквивалентом. Однако, с одной стороны, 
отсчеты сигналов в близко расположенных точках являются сильно коррелированными и 
несут избыточную информацию, что неоправданно увеличивает общий объем данных, 
затрудняет и удорожает вычисления.
Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями 
информационных ресурсов и обрабатывающих данные системы. В принципе, в своих 
основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен 
преобразованиям непрерывных сигналов и систем. Однако дискретность данных требует 
учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. 
Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической 
математике.
Рассмотрим согласованное z-преобразование более подробно. Этот метод основан 
на непосредственном отображении полюсов и нулей из s-плоскости в полюса и нули на z-
плоскости и наоборот. При таком отображении полюс (или нуль) в точке s = −a 
отображается в полюс (или нуль) в точке 
𝑧 = exp⁡(−𝑎∆𝑡)
плоскости z, где ∆t период 
дискретизации. Таким образом, при согласованном z-преобразовании отображающая 
замена будет иметь вид 
𝑠 + 𝑎 → 1 − 𝑧
−1
𝑒
−𝑎∆𝑡
(1) 
Если полюсы (или нули) комплексные, то это соотношение можно переписать 
следующим образом (так как они появляются сопряженными парами): 
(𝑠 + 𝑎 − 𝑗𝑏)(𝑠 + 𝑎 + 𝑗𝑏) → (1 − 𝑧
−1
𝑒
−(𝑎−𝑗𝑏)∆𝑡
)(1 − 𝑧
−1
𝑒
−(𝑎+𝑗𝑏)∆𝑡
) = 1 −
2𝑧
−1
𝑒
−𝑎∆𝑡
cos(𝑏∆𝑡) + 𝑧
−2
𝑒
−2𝑎∆𝑡
(2) 
Рассмотрим однородное обыкновенному дифференциальному уравнению второго 
порядка 
𝑥
𝑘
′′
− 2𝑎
𝑘
𝑥
𝑘
′
+ (𝑎
𝑘
2
+ 𝜔
𝑘
2
)𝑥
𝑘
=
0 (3) 
с решением 
𝑥
𝑘
(𝑡) = exp(𝛼
𝑖
𝑡) (𝐴
𝑘
cos(𝜔
𝑘
𝑡) + 𝐵
𝑘
sin(𝜔
𝑘
𝑡))⁡⁡⁡⁡
(4) 
Дискретный аналог уравнения (3) , имеющий те же полюса, согласно выражению 
(4) , есть 
𝑥
𝑘
(𝑛∆𝑡) − 2 exp(𝑎
𝑘
̂∆𝑡) cos(𝜔
𝑘
̂ ∆𝑡) 𝑥
𝑘
((𝑛 − 1)∆𝑡) + exp(2𝑎
𝑘
̂∆𝑡) 𝑥
𝑘
((𝑛 −
2)∆𝑡) = 0
(5) 
где 
𝑎
𝑘
̂
и 
𝜔
𝑘
̂
оценки, выполненные по соотношениям 
|𝜆
𝑘
| = 𝜌
𝑘
=
√𝑎
𝑘
2
+ 𝑏
𝑘
2
= exp (ln (√𝑎
𝑘
2
+ 𝑏
𝑘
2
)) , arg(𝜆
𝑘
) = 𝜔
𝑘
̂ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (±
𝑏
𝑘
𝑎
𝑘
) , 𝑎
𝑘
̂ = ln (√𝑎
𝑘
2
+ 𝑏
𝑘
2
)
𝜌
𝑘
= 𝐴
𝑘
exp⁡(𝑎
𝑘
̂)
(6) 
Корни этого выражения есть

---

273 
𝑧 = 𝑎
𝑘
∓ 𝑏
𝑘
= exp(
𝑎
𝑘
̂
∆𝑡
)
cos⁡(𝜔
𝑘
̂
∆t) ∓ jexp(𝑎
𝑘
̂
∆t)sin⁡(𝜔
𝑘
̂
∆t)
(7) 
Модуль и аргумент этой пары комплексно сопряженных корней соответственно 
равны 
|𝑧| =
exp
(𝑎
𝑘
̂∆𝑡)
; arg
(
𝑧
)
=
𝜔
𝑘
̂ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
sin⁡(𝜔
𝑘
̂ ∆t)
cos⁡(𝜔
𝑘
̂ ∆t)
)
(8) 
Если принять постоянную дискретизации за единицу ∆t=1, то преобразования (5) 
при переходе от обыкновенного разностного уравнения к обыкновенному 
дифференциальному уравнению совпадут с выражением (6), полученным согласно z-
преобразованию. При дискретности ∆t =1 согласно соотношению 
𝑠 = 𝑙𝑛𝑧 =
1
∆𝑡
𝑙𝑛|𝑧| +
𝑗
∆𝑡
𝑎𝑟𝑔𝑧⁡
(9) 
оценки коэффициентов затухания и частот будут иметь следующий вид 
𝑎
𝑘
̂ =
𝑎
𝑘
̂
∆𝑡
;⁡𝜔
𝑘
̂ =
𝜔
𝑘
̂
∆𝑡
⁡
(10) 
и их подстановка в выражение (9) приведет к следующим очевидным равенствам 
|𝑧| =
exp
(𝑎
𝑘
̂);⁡
arg
(
𝑧
)
=
𝜔
𝑘
̂ ⁡
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
sin⁡(𝜔
𝑘
̂ )
cos⁡(𝜔
𝑘
̂ )
)
(11) 
которые полностью соответствуют преобразованиям (7), если принять, что 
𝑎
𝑘
=
cos(𝜔
𝑘
̂ ) ;⁡𝑏
𝑘
= sin⁡(𝜔
𝑘
̂ )
. Более того, становится очевидным, что преобразования (7) 
являются просто обратным преобразованием (10), используемым при переходе из z в s 
плоскости. Таким образом, соотношения (8) для обыкновенного разностного уравнения к 
обыкновенного дифференциального уравнения являются следствием преобразования 
Лапласа при переходе из z-плоскости в s-плоскость, что и доказывает правомерность 
установленных связей между авторегрессией, обыкновенного разностного уравнения и 
обыкновенного дифференциального уравнения. 
Однако эта связь имеет более глубокое обоснование. Действительно, прямое 
соответствие нулей и полюсов непрерывной и дискретной моделей предполагает явное 
соответствие характеристических полиномов, или, что то же самое, совпадение 
непрерывной передаточной функции и дискретной передаточной функции. Предлагаемый 
нами метод также основан на равенстве характеристических полиномов обыкновенного 
разностного уравнения и обыкновенного дифференциального уравнения. Следовательно, 
согласованное z-преобразование и результаты, основанные на регрессионном анализе, 
должны быть идентичны.