Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

 
ТИМСОЛЛАРНИ АНИҚЛАШ МАСАЛАСИДА ЭКВИВАЛЕНТЛИК
МУНОСАБАТИ ВА ХОССАЛАРИ 
М.Х. Худайбердиев (катта илмий ходими, ТАТУ ҳузуридаги АКТ ИИМ) 
𝑀 бош тўпламда 𝜌̃ эквивалент муносабат ва 𝑀 тўпламдан олинган 𝑠′ 
объект берилган бўлсин. 𝑀 тўпламдаги барча объектларни 𝑠′ объектга 
нисбатан 𝜌̃ эквивалент муносабатни қараб чиқилсин.
𝑀 тўпламда 𝑠′ объектга 𝜌̃ муносабат билан таъсир қилиш орқали 
эквивалент объектлар гуруҳи топилса, у ҳолда бундай қисм тўплам мавжуд 
ва қуйидаги ифода ўринли: 𝐾
ℓ
= {𝑠 ∈ 𝑀: 𝑠𝜌̃𝑠′}. 
𝑀 тўпламда 𝜌̃ эквивалентлик муносабати бўлсин ва 𝜌̃ муносабат учун
𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
барчаси таркибидаги объектлар ўзаро эквивалент бўлган 
синфлардир.
1-хосса. 
𝑀 тўпламдан олинган ихтиёрий 𝑠′ объект учун қуйидаги шарт 
бажарилади, 𝑠′ ∈ 𝑀
𝑠′
. 
Ҳақиқатдан ҳам 𝑀
𝑠′
= {𝑠 ∈ 𝑀: 𝑠𝜌̃ 𝑠′} синф аниқланган бўлса, у ҳолда 𝑠′ 
объект учун 𝑠′ ∈ 𝑀
𝑠′
↔ 𝑠′𝜌̃𝑠′ шартни бажарилиши зарур. Бунда 𝜌̃ 
эквивалентлик муносабатида аниқланган рефлексивликни бажарилишини 
таъминлайди. Шундай қилиб, 𝑠′ ∈ 𝑀
𝑠′
ўринлидир.
Хулоса ўрнида шуни айтиш керакки, 𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
барча синфлар бўш 
бўлмаслиги керак.
2-хосса. 
𝜌̃ муносабат учун {𝑠′} ва {𝑠} эквивалент ўқув ва назорат 
танланмалари бўлсин. Ўқув {𝑠′} ва назорат {𝑠} объектлари тўпламига 𝜌̃ 
муносабат билан таъсир қилинганда 𝑠′ объект учун шундай 𝑠 элемент 
топилса, у ҳолда мазкур тўпламлар характерли жиҳатларига нисбатан ўзаро 
симметрик дейилади. 
Бу хосса симметриклик хоссасини бажарилишига олиб келади, яъни 
𝑠𝜌̃ 𝑠
′
⟹ 𝑠
′
𝜌̃𝑠, 𝑠, 𝑠′ ∈ 𝐾
𝑢
.
3-хосса. 
𝜌̃ муносабат учун 𝐾
𝑢
ва 
𝐾
𝑣
хар бири ўз таркибида ўзаро 
эквивалент объектлар синфлар бўлсин, у ҳолда 𝐾
𝑢
ва 
𝐾
𝑣
синфлар ўзаро 
умумий объектга эга эмасдирлар. 
𝐾
𝑢
≠ 𝐾
𝑣
→ 𝐾
𝑢
∩ 𝐾
𝑣
= ∅, 𝑢 ≠ 𝑣,
𝑢, 𝑣 ∈ 1, ℓ
̅̅̅̅̅. 
4-хосса. 
𝑀 тўпламдаги барча 𝐾
𝑢
эквивалент синфларни бирлашмаси 
𝑀 
га тенг, ⋃
𝐾
𝑢
ℓ
𝑢=1
= 𝑀. 

---

449 
Агар 𝑀 тўпламни 𝜌̃ эквивалентлик муносабати орқали бир нечта 
синфларга 𝐾
𝑢
(
𝑢 ∈ 1, ℓ
̅̅̅̅̅) ажратилган деб айтилади, қачонки қуйидаги шартлар 
бажарилса,
1. Ҳар бир синф 
𝐾
𝑢
≠ ∅ бўш бўлмаслиги керак; 
2. Барча 
𝐾
𝑢
синфларни бирлашмаси 
𝑀 тўпламга тенг; 
3. Иккита турли 
𝐾
𝑢
ва 
𝐾
𝑣
синфлар ўзаро кесишмайди, бу ерда 
𝑢 ≠ 𝑣 
умумий элементга эга эмас (𝑢 ∈ 1, ℓ
̅̅̅̅̅).
Теорема 2.2. Агар 𝑀 тўпламда 𝜌̃ эквивалентлик муносабати берилган 
бўлса, у ҳолда 𝑀 тўпламда 𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
ўзаро эквивалент ичики таркибга эга 
синфлар мажмуаси вужудга келади.
Исботи. Ҳақиқатдан ҳам қуйидаги учта шарт бажарилса, 𝐾
1,ℓ
̅̅̅̅
қисм 
тўплам 𝐾
𝑢
эквивалентлик синфларидан олинган ҳисобланади: 
1. Биринчи хоссага мувофиқ, хар бир эквивалент синфлар бўш 
бўлмаслиги керак; 
2. Тўртинчи хоссага мувофиқ, барча эквивалент синфлар бирлашмаси 
𝑀 тўпламга тегишлидир.
3. Учинчи хоссага мувофиқ, иккита турли синфлар умумий элементга 
эга эмас, яъни ўзаро кесишмайди.
Юқоридаги барча шартлар 𝑀 тўпламни 𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
синфларга 
бўлаклашни бажарилганлигини таърифлайди. Ўз навбатида эквивалент 
синфлар 𝑀 тўпламни 𝜌̃ эквивалентлик муносабати орқали бўлаклаш 
натижасида вужудга келади. Теорема исботланди.
1-тасдиқ. а) агар 
𝑀 тўпламга 𝜌̃ эквивалентлик муносабати киритиш 
орқали ўзаро кесишмайдиган синфларга тақсимланган бўлса, у ҳолда ҳар бир 
синф хусусиятига хос объектлар айнан шу синфда ётади; 
б) ҳар қандай эквивалентлик муносабати тўпламни синфларга 
тақсимлаш билан ифодаланади.
Исботи.Тасдиқни (а) қисми мутлоқо равшан; тасдиқни (б) қисми бўйича 
айнан қайси пукнтларда эквивалентлик муносабатлари аниқланаётганини 
исботлаймиз. Юқорида келтирилганидек, 𝜌̃ эквивалентлик муносабати 
бўлсин. 𝑀 тўпламни тақсимлаганда хосил бўлган 𝐾
1
, 𝐾
2
, … , 𝐾
ℓ
синфларни 
биридан ихтиёрий равишда олинган 𝑥, 𝑦 объектлар 𝜌̃ эквивалентлик 
муносабати билан 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾
𝑢
бўлишини кўриб чиқамиз. Дастлаб, 
𝑠
1
, 𝑠
2
объектларни усутма-уст тушиши ёки ўзаро қатъий фарқилишини 
исботлаймиз. Айтайлик, 𝑠
1
, 𝑠
2
объектлар усутма-уст тушсин, у ҳолда мазкур 
икки объект ҳам бир синфда ётади, 𝑠
1
, 𝑠
2
∈ 𝐾
𝑢
, яъни 𝐾
𝑢
синфдан олинган 
шундай 𝑠
′
объект борки, 
𝜌̃ эквивалентлик муносбат орқали 𝑠
1
𝜌̃𝑠
′
ва 
𝑠
′
𝜌̃𝑠
2
(симметрик) ва 𝑠
1
𝜌̃ 𝑠
2
(тарзитивлик), шунингдек 
𝑠
2
𝜌̃ 𝑠
1
симметриклик шарти 
ҳам бажарилди. Шунинг учун 𝐾
𝑢
синфдан олинган ихтиёрий 
𝑠
′
объект учун 
𝑠
1
𝜌̃𝑠
′
ва 
𝑠
2
𝜌̃𝑠
′
транзитивлик шарти ҳам бажарилади ёки аксинча. Бундан 
кўринадики, рефлексивлик, симметриклик ва транзитивлик хосслари тўлиқ 
бажарилмоқда. Тасдиқ исботланди.
Шу билан бирга 𝑀 тўпламда яна бир бинар муносабат қисман 
тартибланган ҳақида сўз юритамиз. Қисман тартибланган тўпламларда ҳам 

---

450 
рефлексивлик, антисиметриклик ва транзитивлик шартлари тўлиқ 
бажарилади ҳамда ≤ бинар белги орқали ифодаланади. Қисман тартибланган 
тўпламларда ихтиёрий иккита элементини қиёслаш имконияти мавжуд 
бўлади, 𝑠
1
≤ 𝑠
2
ёки 
𝑠
2
≤ 𝑠
1
. Бу эса синфларда чизиқли тартиб борлигидан 
дарак беради. Маълумки, ўқув танланмада 𝐼
0
= (𝑆′, Γ), шундан келиб чиқиб, 
ҳар бир синф таркибидаги объектлар муҳимлик даражаси бўйича чизиқли 
тартибга эгадир. Агар 〈𝑠
1
, Γ
1
〉 ≤ 〈𝑠
2
, Γ
2
〉 бўлса, у ҳолда 𝑠
1
≤ 𝑠
2
, 
Γ
1
≤ Γ
2
тенгсизликлар ўринлидир ва бу объектлар ўз синфига яқинлик баҳолари 
турли даражада эканлигини кўрсатади. Бу эса синф ичида тартиб 
мавжудлигидан дарак беради. Шунингдек, 𝑀 бош тўпламдан олинган 𝐾
𝑢
синфга маскимал баҳо берувчи 𝑠
′
объект мавжуд бўлса ва 
𝑠
′
объектга юқори 
даражада ўхшаш {𝑠} объектларни қисм тўплами ҳам топилади ва эталон 
объектлар қисм тўпламини саралаб олишга имкон беради.
Шуни ҳам такидлаб ўтиш керакки, иккита қисман тартибланган 
тўпламларда ўзаро бир қийматли мосликка эга бўлса, у ҳолда улар ўзаро 
изоморфдир. Бу ҳақида навбатдаги параграфда тўхталиб ўтилади.  
Фойдаланилган адабиётлар: 
1. Kamilov M., Hudayberdiev M., Khamroev A. Algorithm for the Development of a Training 
Set that Best Describes the Objects of Recognition // Procedia Computer Science 150 (2019). - 
Pp. 116-122. 
2. Khamroev Alisher. An algorithm for constructing feature relations between the classes in the 
training set. Procedia Computer Science.-Volume103–2017.–Pр 244-247.
3. Khamroev Alisher. The solution of problem of parameterization of the proximity function in 
ACE using genetic algorithm. IJRET:International Journal of Research in Engineering and 
Technology, India, Bangalor. - Volume 04, Issue 12. – December, 2015. – Рр. 100-104.