Zaxridin muhammad bobur nomli andijon dvlat unversitet fizika matematka fakulteti matematka yonlishi

O<sup>`</sup>ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LM VAZIRLIGI

ZAXRIDIN MUHAMMAD BOBUR NOMLI ANDIJON DVLAT UNVERSITET

FIZIKA – MATEMATKA FAKULTETI MATEMATKA YONLISHI

19M5 – GURUH TALABASI YUSUPOV MIRJALOLNING

DIFFRENSAL TENGLAMALAR FANIDAN TAYORLANGAN

KURS ISHI
MAVZU ; DIFFERENSAL TENGLAMALARNI TAQRIBI HISOBLASH

ISH RAHBARI ; Dadamirzayeva.O

Andijon_2022

MUNDAREJA

KIRISH…………………………………………………………………………………………………….1

Difrensal tenlamalar taqriban hisoblash………………………………………………….2

Analitik metodlar…………………………………………………………………………………….3

Xulosa……………………………………………………………………………………………………..18

Ishlatilgan adabyotlar………………………………………………………………………………19

Kirish

Ushbu kurs ishi qolanma hisoblash usulari xatoliklari nazaryasi , funsiyani yaqilashi . Diffrensal tenglamalarning bazi holarda aniq qiymat chiqmaydi shunday holarda . Differensal tenglamalarning taqriban qiymtlarning hisoblashlar uchun qolanma sifatida
Ishlanma
Ushbu kurs ishi oli oquv yurtlaridagi talabalrga diffrensal tenglamalarning yechishda. Ishlatiladi chunki misolar qande tarzda boladi va qande ishlanishlari haqida ajoyib
Toplam
Ilmiy va tadbiqiy masalalarda kopincha shunday oddiy differensial tenglamalar uchraydiki, ularning umumiy yechimini oshkor korinishda ifodalash mumkun emas . Yechim oshkor korinishda topiladigan differensial tenglamalar singi ancha tor . Masalani, korinishi sodagina bolgan

differensial tenglamaning umumiy yechimlari elemental funksiyalar orqali ifodalab bolmaydi. Bu yechim ancha murakab tarzda kasr tartibli Bessel funsiyasi orqali ifodalanadi. Kop holarda yechimining hatto shunday ifodasini ham bilmaymiz. Shuning uchun ham bunday tenglamalarning u yoki bu taqribiy metod bilan yechilishiga togri keladi.
Taqribiy yechim analitik korinishda yoki jadval shaklida izlanishga qarab taqribiy metodlar analitik va sonli metodlarga bolinadi .

Diffrensial tenlamalar taqriban hisoblash

Differensial tenglamalarni aniq yechim judaham kam holardagina mumkun boldi . Amalyotda uchraydigan koplab masalarga aniq yechish usularini qolashning iloji bolmaydi. Shunging uchun bunday diffrensal tenglamalarni taqribi yoki sonli usular yordamida yechishga togri keladi
Taqribi usul deb shunday usul aytiladiki bu holarda yechimlar biror funsiyalar ( masalam elemental funsiya ) ketma-ketligining limit korinshda olinadi
Sonli usullar – nomalum funsiyaning chekli nuqtalar toplamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usularidir. Bu xolatlarda yechimlar sonli jadvalar korinishida ifodalanadi
Hisoblash matematkasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegihli bolgan koplap usular ishlab chiqilgan . Bu usularning bir-birlariga nisbatan oz kamchliklari va usulari mavjut . Muhandislik masalalarini yechishda shular hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim boladi Ketma-ket yaqilashuv usuli (Pikar algoritmi)
Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribi usulardan bolib amaliy masalalarni yechishda qolash mumkin

Bizga

Birinchi tartibli differensil tenglamaning – boshlangich shartni qanotlantruvchi yechimini toppish masalasi qoyildi . differensial tenglamalarning ong
btortburchakdan uzluksiz va boyicha uzluksiz xususiyat hosilaga ega bolsin
(1,1,1) dan

ifoda ikkala tomonini gacha integrallasak

Analitik metodlar

1. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli
   
2. 
   Darajali qator metodi
   
3. 
   Ayirmali metodlar
   
4. 
   Adams ekstrapolyatsion metodi
   
5. 
   Adams interpolyatsion metodi
   

Ketma-ket yaqilashish usuli
Faraz qilaylik oraliqda
(1)
(2)
Koshi masalasi berilgan bolsin . Bu masala yechimini quydgicha
(3)
n=1,2……..
Aniqlangan ketma-ketlik korinshda izlaymiz (1) ning ong tomoni malum shartlarni
qanotlantrganda (3) ketma-ketlikning limiti (1) (2) masalami qanotlantirishi differensial tenglamalar kursida korsatilgan . Bu metodning amaliy qiymati emas. Uning kamchligi , har bir keying yaqinlashishni topishda integrallash amalini bajarish kerak boladi . Bundan tashqari , integrallashni aniq bajarilmaydigan hollar uchraganda uni taqribiy ravishda hisoblash kerak boladi , bu esa, oz navbatida , kop hisoblashlarni tal etadi . Shuning uchun ham ketma-ket yaqinlashish metodi boshqa metodlarni qolayotganda yordamchi metod sifatida qollaniladi. Ketma-ket yaqinlashish metodini hech qanday qiyinchliksiz differensial tenglamalar sistemasiga qoyilgan Koshi masalasiga qollash mumkin

Darajali qator metodi

Bizga
(1)
(2)
Koshi masalasi berilgan bolsin.
Faraz qilaylik , nuqtada analitik bolsin, yani u shu nuqtaning biror atrofida Teylor qatoriga yoyilsin:

(3)

bu yerda larni murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga kora kerma-ket hisoblash topiladi va (1) (2) ning yehimini taqriban quyidagi

(4)

korinshda olinadi . Agar kichik bolmasa, umuman da ning limiti ga yaqinlashmasligi ham mumkin yoki yaqinlashish juda sust boladi .

bunday holda quyidagich ish qilinadi .
Faraz qilaylik , taqribiy yechimning nuqtadagi qiymatini toppish lozim bolsin , bu yerda va ancha katta oraliqni
nuqtalar yordamida n ta bolaklar bolamiz yani
(4) formuladan foydalanib taqriban yechimini nuqtadagi qiymat ni hisoblaymiz Endi (4) nuqta uchun yozib ni hisoblaymiz . nuqtani boshlaymiz nuqta deb ni hisoblaymiz bu jarayon nuqtag

yetguncha bajaramiz Agar yetarlicha kichik bolsa (4)

formulani yuqorida korsatilgan algoritimi boyicha qolash maqsatga movfiqdir. Bunday algoritim juda kop hisoblashni taqazo etadi . shuning uchun darajali qator metodini odatda ga yaqin nuqtalarda taqribi yechimini toppish uchun qolanilad.
Shuni alohida takitlash lozimki , (4) ni shundayligicha qolasak darajali qator metodi analitik taqribiy metodir (4) ni qadama-qadam nuqtalardagi yechim qiymatini yuqorida korsatilgan algoritim asosida qolasak unda u sonli metodlar qatoriga otadi
Bunday metodlar yuqori tartibli differensal tenglamalarg hamda gifferensial tenglamlar sistemasiga qoyilgan Koshi masalasini yechishga qolash mumkun

Ayrimali metodlar

Faraz qilaylik , bizga quydagi Koshi masalasi berilgan bolsin
(1)
(2)
Bu maslani oraliliqda yechish talab etilgan bolsa
berilgan kesmani n ta teng bolaka bolamiz
+ih , i=1,2,…,n , h>0
(2) Koshi masalasi yechish


Integral tenglamani yechish bilan teng kuchlidir . Biroq (3) da ijtegral ostida nomalum funsiya qatnaishi masalani murakablashtradi . Ketma-ket ikkita nuqtada yechimini orasida quydagi munosobotlar orinlikdir

(4)

ni toppish uchun va ni oraliqda bilish kerak ning taqribi qiymatlari faqat nuqtalari bizga malum . Shunung uchun (4) dagi integral taqribiy hisoblashga tori keladi . Bu integralning qanday hisoblashga qarab berilgan Koshi masalasini yechadigan taqribiy u yoki bu metod hosil boladi

Adams ekstrapolyatsion metodi

Faraz qilaylik (1) (2) Koshi masalasining yechish k+1 ta
oraliqda chapda yotgan nuqtada malum boladi . U holda y`(x) ning ham bu nuqtalardagi qiymatlarni malum boladi
(4) da almashtrish bajarsek u

(5)

Korinshda boladi funsiya uning k+1 ta qiymatlarda foydalanib , Nyutonning ikkinchi interpolyatsion kophat bilan ekstropolatsa otkazmasi yani

Bu yerda

(6) ni (5) ga qoyib integralash amallarini bajarsak

Ga ega bolamiz . Bunda





ning ifodasida integralda u(u+1)…(u+K) [0,1] da ishora saqlaydi demak orta qiymat haqidagi teyoremaga asosan va ni uzluksiz deb qoldiq hadni

(9)

Korinishda ifodalash mumkin . Uni baholasak

(10)

ga ega bolamiz . Agar h>0 yetarlicha kichik bolib , Koshi masalasining yechimi esa (k+2) – tartibli uzliksiz hosilga keladi

katalikni etiborga olmasak ham boladi . (7) da ni yuborsek , Adas ekstrapoloyatsion metod deb nomlanuvchi

(11)

formulaga ega bolamiz

(11) formulada yuqori tartibli chekli ayrima danboshlash hisoblanganligi uchun hisoblash jaroyoni n=k dan boshlash mumkin yani nuqtadagi yechimini qiymatlari (jadvalining boshlangich qismi ) topilgan bolishni taqozo etadi
(11) da k=0 desak hisoblashni eng soda, yani jadvalning boshlangich qismini qurish talab etilmedigan
(12)

Qoyda hosil boladi . Buni Eyler metodi deyladi . Uningoddiy geyometra manosida uni siniq chiziqlari metodi deb ham ataladi . (12)qoydani hatoligi tartibga egaligi (10) da korinib turibdi va uning aniqligi ancha past

Eyler metodidan aniqligi yuqori bolgan va (11) korinishgfa ega bolgan formulalar jadvalining boshlangich qismi larni qurish talab etadi. Adams esktrapolyatsion metodini hatoligi bahosida nomalum yechimini yuqori tartibli hosilasi modulining maksimumi qtnashish uni amalyotda qoiash imkonini kamatradi. Amalyotda k va h larni tanlashda quydagicha amal qiladi .
Hisoblashlarda qatnashuvchi eng songi chetli ayrma tanlangan aniqli chegarasida ozgarmasa bolishiga erishish kerak . Buni quydagicha izohlash mumkin (11) formulada birinchi tashlab yuborilgan had berilgan aniqlikda hisoblash natijasiga tasir qilmasligi kerak
k ning osishi bilan (11) formula hadlarni moduli boyicha kamayishi h<1 bolganda asosan chekli ayrimalar modulining kamayuvchanligi evaziga boldi yani

Adams ekstrapolyatsion metodini birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasiga qoyilgan Koshi masalasini yechishga qiyinchliksiz qollash mumkin .

Adams interoplyatsiyon metodi

Bu metodda ham yechimni taqribi qiymati gacha aniqlangan deb yechimni taqribi qiymati =y( ni toppish masalasi qaraladi . Yechimni nuqtadagi qiymati aniqlash uchun tepadagi (4) formuladan foydalanamiz lekin y`(x) ni oraliqda interpolyatsiyalash uchun jadvalning boshlangich
qismidagi uning qiymatlari va nuqtadagi qiymatini ham ishtirok
ettiramiz, ya’ni interpolyatsiyalash amali o‘z ma’nosini saqlashini
ta’minlaymiz. Shu bilan Adams metodlarining farqi izohlanadi.
Faraz qilayhk, (1), (2) Koshi masalasining yechimlari
da aniqlangan boisin. (4) formulada
almashtirish oikazsak, u quyidagi

ko'rinishga keladi va ni Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko‘phadiga almashtiramiz;

bu yerda

U holda
(14)

Bu yerda

(14) daqoldiq hatni tashlab yuborsak

(15)

ko'rinishga ega va Adams interpolyatsion metodi deb nomlanuvchi

algoritmga ega bo‘lamiz. (15) formula bo‘yicha hisoblash jarayoni
to‘g‘ridan-to‘g‘ri 0‘tkazilmaydi, chunki u

(16)

ko‘rinishdagi tenglamadir, bu yerda

ko‘rinishga egabo‘lib, funksiya

argumentlariga nisbatan ma’lum funksiyadir. (16) tenglama iteratsiya
metodi bilan yechiladi, chunki u iteratsiya metodini qo‘llashdagi
kanonik ko‘rinishga ega. Agar yechimning ma’lum bir atrofida uzluksiz bo‘lsa, u holda boshlang‘ich yaqinlashish yaxshi tanlangan bo'lsa yetarlicha kichik h uchun iteratsion jarayonning yaqinlashishini ta’minlash mumkin. Odatda, h shunday tanlanadiki, berilgan aniqUkka erishish uchun bitta yoki ikkita iteratsiya yetarli boiishi kerak. Shuni aiohida ta’kidlaymizki, boshlang‘ich yaqin-
lashish deb, (7) formula bilan topilgan qiymat maqsadga muvofíqdir.
Amaliyotda Adamsning (7) va (15) formulalari hisoblash jarayonida
ketma-ket navbati bilan ishlatiladi. Shuning uchun (7), (15) formulalar
prediktor-korrektor deb ham ataladi.
Adams interpolyatsion metodini ham birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasiga qo‘yilgan Koshi masalasini yechishda hech qanday qiyinchiliksiz qo'llash mumkin.
Ko‘pincha hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun (7) va (15)
formulalarda ishtirok etuvchi chekH ayirmalar funksiyaning qiymatlai'i
orqali ifodasiga almashtiriladi va k ning berilgan qiymatlarida Adams
ekstrapolyatsion hamda interpolyatsion formulalari mos ravishda
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

k=0 ,

K=1 ,

K=2,

K=3

Yechimning nuqtadagi qiymatini topishda undan farqli va
bittadan ko‘p bo‘lgan nuqtadagi yechimning qiymatlari ishtirokida
topiladigan metodlar ko'p qadamli metodlar deyiladi. Xususan,
Eyler va eyler-Koshi usullari
Yuqoridagi (7) formulada k=0 bolgan holda hisoblash jarayoni
(16)

formula bilan tashkil etiladi. Buni Eyler taklif qilgan, shuning uchun

bunday hisoblash jarayoni Eyler metodi deb yuritiladi.
Eyler usulining quyidagicha modifikatsiyasi mavjud.
Avval quyidagi yaqinlashish

hisoblanadi, so‘ng

(17)

formula yordamida nuqtadagi yechimning taqribiy qiymati topiladi. Bu yerda

13

(17) ifoda Eyler usulining modifikatsiyasidir.

Eyler-Koshining modifikatsiyalangan metodi quyidagicha aniqlanadi.
Avval

hisoblanadi, so‘ng nuqtadagi yechimning taqribiy qiymati

(18)

formula bilan aniqlanadi. Bu yerda

Agar (I), (2) masalaning taqribiy yechimini

deb, uni quyidagi

(19)

iteratsion jarayon bilan berilgan aniqlik miqdorida topilsa, (19) il'odii

Eyler-Koshining iteratsion metodi deyiladi.
Adams metodlari ko‘p qadamh metodlardir.
MASALANI QOYILISHI

Faras qilaylik quydagi n-tartibli oddiy diffrensal tenglama

(1)
Berilgan bolsa . uning y=y(x) yechimini [a,b] oraliq talab qilinadi
Bu oraliqda k ta

Yechim y(x) va uning (n-1) – tartibgacha hosilasni x(i=1,2,3,…,k) nuqtadagi qiymatlarning qandaydir qoydaga binoan quydagicha tenglamalar berilgan bolsin
(2)
J=1,2,3,…,n,
va quydagi masalani qoyamiz
oraliqda (1) tenglamaning (2) shartlarning qanotlantirganda yechimi topilsin
Bu k nuqtali masofa deyiladi . Agar bolganda , Koshi masalasi kelib chiqadi . Agar bolsa bunday masala chegaravi masala deyiladi . Va nihoyat qaralyotgan k ta nuqtalardan m tasi turli bolsa (1) (2) m nuqtalar ( yoki kop nuqtalar ) masala deyiladi
Chegaravik yoki kop nuqtalar (1) (2) masalaning yechimi mavjutlikgi hamda yechimning yagonalik isbotlangan deb faras qilamiz
Agar diffrensal tenglama va chegaravi shakilar chiziqli bolsa (1), (2) masala chiziqli chegaravi (k=2) yoki kop nuqtalar chiziqli (k>2) masala deyiladi
Differansa tenglama hamda chegaravi shartlarning kamida bitasi nochiziq boladi (1) (2) masala nochiziqli chegaravi (k=2) yoki kop nuqtalar (k>2) nuqtalar deyiladi
Chiziqli chegaravi yoki kop nuqtali masalada difrensal tenglama va chegaravi shartlar bir jnsli bolsa , u holda (1), (2) bir jinsli chegaraviy yoki kop nuqtali masala deyiladi. (1) yoki (2) ning birontasi bolmaydi , (1), (2) masala bir
jinsli bolmagan masala deyiladi
Bir jinslik masala tirival yechimga ega lekin uning tirival bolmagan yechimlari toppish xam kop holarda kata ahamyatga ega . Buning uchun (1) ga yoki (2) ga biror parameter kiritib shu parametrlar bogliq bolmgan notirival yechim topiladi
Parametrlik bu qiymatlarning masalaning xos xos sonlardir . Ularga mos keladigan yechimlar masalani xos funsiyasi deyiladi
Bayon tushunarli hisoblash sxemasi va algoritim sadaroq bolishi uchun biz ikki ozgaruvchlikning ikkinchi tartibli xususiy hosila diffrensal tenglamalari etborimizi qaratamiz Tenglamaning tipi va chegaravi shakilaari harastikasi qarab har hil masala qoyamiz shu munosobot bilan ikkinchi tartibli chiziqli diffrensal tenglama klaassifikatsiyasiga toxtalamiz
. (1)
tenglama D sohada berilgan bolsin . bu yerda koyfitesentlar va
– ozod had . Bu funsiya sohada aniqlangan G – D sohalarning chegaravi Agar D sohda bolsa giperbolik tipga oyid bolsa chegaravi shartlar quydagicha boladi
Birinchi tur chegaraviy shart
(2)
Ning (2) shartni qanotlantruvchi yechimni toppish Dirixle masalasi deyiladi bu yerda
Ikkinchi tur chegaravi quydagicha (3)
bolib , – normal boyicha hosila (1) ning (3) shartni qanotlantruvchi yechimining toppish Neyman masalasi deyiladi
Uchinchi tur chegaravi shart esa [a(x,y) +В(x,y)u]=ф(M)

Korinishda bolib a(x,y) ,d(x,y) - malum funksiyalar , ular shartni bajaradi tenglamani (4) ni qanotlantruvchi yechimni toppish masalasi uchinchi chegaravi masala deyiladi

Misol 1. G={0 (1)
(2)
(3)
Differensial masalani tor metodi bilan h=0,1 bolganda oshkor sxemadan foydalanib yeching
Yechish bolgani uchun boladi . Berilgan masalani ayrmali masalalarga otkazamiz u quydagicha
, i=1,2,3,…,9 j=0,1,2,3,4, (1)
(2)

Jadval boshlangich va chegaravi qiymatlari yozamiz .Ularning simetrasida foydalanib jadvalni faqat x=0;0,1;0,2; …;0.5; lar uchun toldiramiz . Yechimni birinchi qadamigi qiymatlari (1) da j=0 desak
,
Formula bilan hisolaymiz . Bu qiymatlar jadvaling ikkinchi yoliga joylashtiramiz
Endi (1) da j=2 deb
,

Formula bilan yechimining ikkinchi qatlamdagi qiymatlari topamiz va jadvalni uchunchi yoliga yozib qoyamiz . Shu tariqa t ning 0,005;0,010;0.015;…;0,025 qiymatlar uchun yechimning qiymatlari aniqlaymiz

XULOSA

Me bu kurs ishida ozmga juda kata foydali malumotlar oldim
Diffrensal tenglamalarning murakab misolrini yechishni va ular
Ichida aniq qiymati chiqmaydign misolarning taqribiy hisoblash
va jadval yordamida ishlash , hisoblash usularini Koshi masalasi berilganda taqriban hisoblash uchun qolaniladigan metodlarni organib chiqdim
har bir metod oziga yarasha misolar uchun qolaniladi yani har bir metodlar oz nomlari qarsangiz ham manos aglay olasiz
bu kurs ishmda koplab kitoblar dan foydalangn bolsmda va yan onlayn ahboratlarga ham yuzlandim va shuni bildimki hatoki hayotimizda aniq hisobi chiqmedigan muomolar ham bor ekan shu sababli shu metodlar bizga kerak bolar ekan

ADABIYOTLAR

1. 
   Albepg Dj., Nilson , Uolsh Dj. Teopiya splaynov u yeyo projenaya ,- M.,<>, 1972
   
2. 
   Bepezih I.S., Jidkov N . P hisoblash usulari T.1.M fan 1966 yil
   
3. 
   Berezin I.S ., Jirkov N.P hisoblash usulari T.2.M 1962 yil
   
4. 
   Vorobieva .G.N Danilova .A.N hisoblash boyicha seminar matematka ‘oliy maktab ‘ 1990 yil
   
5. 
   Demiddovich .B.P, Maron I.A shulayva E.Z. Raqamlar ustida amalar “Hayk” 1970 yil
   
6. 
   Isroilov .M.I Hisoblash metodi 1-qism –T “Oqtuvchi” 1988 yil
   
7. 
   Isroilov .M.I Hisoblash metodi 2-qism –T “Oqtuvchi” 1988 yil
   
8. 
   Kalitkin.N.V., Raqamlar usulari . M. “Nauka” 1978 yil
   
9. 
   Kopchenova.N.V., Maron.I.A Hisoblash matematkasi misolar va topshiriqlarda. M; “Nauka” 1972