Заключение Список использованных источников

1. Построение формального решения на входном Maple-языке

Проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE представляет собой программную задачу, сочетающую использование инструментов пакета с необходимыми дополнительными алгоритмами: учет начальных и граничных условий (НУ и ГУ), сложные и, зачастую, нетривиальные преобразования промежуточных результатов (основанные, например, на исследовании асимптотического поведения функций), программное использование дополнительной и/или специальной информации (например, использование рекуррентных соотношений для некоторых специальных функций, которые пока недоступны средствами MAPLE) и т.п. Более того, при решении сложных задач требуется программирование отдельных этапов решения с последующим объединением промежуточных результатов, а также создания комплексов программ (например, при комплексном аналитическом и численном - решении уравнений и различных способах визуализации и интерпретации результатов).

Для программирования построения формального решения на входном MAPLE-языке необходим ввод необходимой начальной информации (табл. 1) с последующим выполнением определенных алгоритмических операций (табл. 2).

Таблица 1

Типы информации при решении дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE

Тип информации	Содержание
Основная Информация	Вызов пакетов расширения.
	Задание системы координат.
	Ввод дифференциального уравнения в частных производных.
	Ввод начальных и граничных условий.
	Ввод различных функций и операторов.
	Вызов средств аналитического или численного решения уравнений.
Дополнительная информация	Представление функции при разделении переменных.
	Выполнение замены переменных(при необходимости).
	Переопределение постоянных, которые по умолчанию присваиваются пакетом.
	Ввод математической информации, недопустимой в Maple.
	Ввод специфических данных(физические параметры, габариты и т.д.).
	Ввод и вывод информации, связанной с текущим контролем выполняемых операций(получение результата для известного частного случая, контроль другими средствами).
	Ввод информации о форме представления результата (экспоненциальная, тригонометрическая и т.п. формы решения).
	Ввод информации для исследования промежуточных и конечных результатов (о порядке разложения в ряд, асимптотике, сравнениях и т.п.).
Рабочая информация	Последовательность вывода полученных результатов.
	Форматы переменных и данных.
	Вывод промежуточных результатов.
	Типы и форматы графиков.
	Пределы изменения переменных.

Заметим, что если ввод и использование основной информации является хорошо разработанным алгоритмом для многих задач, решаемых в MAPLE, то именно программирование, использование дополнительной и рабочей информации, интерпретация промежуточных результатов и их дальнейшее использование при решении уравнений в частных производных представляет собой основную программную задачу.

При этом программные средства MAPLE дают возможность построения формализма решения в терминах и обозначениях известных классических подходов к решениям таких задач. Возможно, это и не является необходимым моментом, но может оказаться важным не только с точки методической точки зрения, но и по ряду существенных моментов, включающих апробацию разрабатываемых методов решений, их интерпретацию и применение.
Таблица 2
Основные типы операций при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных средствами MAPLE

Тип операции		Содержание			Выход
1. Ввод уравнения		Программная запись уравнения на входном MAPLE-языке.			Уравнение на входном MAPLE-языке.
2. Ввод дополнительных данных		Программная запись НУ и ГУ.			НУ и ГУ на входном MAPLE-языке.
3. Использование средств исследования уравнения суммы или произведения функций.		Установление порядка ДУ.			Вывод ответов программой.
		Исследование возможности разделения переменных.
		Определение условий поиска решения в виде.
4. Использование средств преобразования уравнения.		Выполнение замены переменных.			Вывод преобразованного уравнения.
		Выполнение подстановок.
Тип операции	Содержание			Выход
5. Использование основных инструментов решения уравнения			Получение разделенных уравнений по умолчанию с применением команды «pdsolve».			Вывод разделенных уравнений.
			Получение разделенных уравнений в заданном виде с применением операторов «pdsolve» и «hint».
			Получение решения с применением команды «build» (для тех случаев, когда это возможно).			Вывод решения уравнения.
6. Использование дополнительных инструментов решения уравнения			Учет НУ и ГУ при решении уравнений с применением команды «conds» (для тех случаев,когда это возможно).			Вывод решения уравнений с (частичным) учетом НУ и ГУ.
			Проверка полученного решения с применением команды «pdetest».			Вывод результатов проверки.
7. Решение разделенных уравнений и учет НУ и ГУ на уровне разделенных уравнений			Решение задач на собственные значения и собственные функции.			Вывод решений разделенных уравнений в общем виде.
			Определение собственных значений и собственных функций.			Вывод собственных функций
			Определение коэффициентов разложения.
8. Построение частного решения			Получение частного решения исходного уравнения с учетом исходной факторизации при разделении переменных и коэффициентов разложения.			Вывод частного решения
9. Построение общего решения			Построение общего решения как суперпозиции частных решений.			Вывод общего решения
			Учет НУ и определение оставшихся коэффициентов разложения

На основе этих операций можно сформулировать программные алгоритмы построения формальных решений в виде бесконечных рядов, которые необходимо исследовать на сходимость и дифференцируемость. Конечно, операции и действия могут меняться в зависимости от размерности задачи, типов начальных и граничных условий, а также от метода построения решения. Затем (в зависимости от конкретной ситуации) полученные средствами MAPLE решения можно визуализировать и исследовать с целью их интерпретации.