Zahiriddin muhammad bobur nomli

Teorema. Agar bo’lsa, u holda shunday a son mavjudki,
(4)
Bo’ladi.
Isbot. bo‘lgani uchun quyidagi uch hol bo‘lishi mumkin:
.1) bo‘lsa, bo‘lib, bundan bu
holda bo‘ladi;
2) bo‘lsa, bo‘lib, bundan bu holda
3) bo‘lganda bundan A Demak, vektorni songa ko‘paytirish ta’rifidan va bu teoremadan bunday xulosa chiqaramiz; SHunday qilib (4) munosabat vektorlar kollinearligining zaruriy va etarli shartidir.
Vektorni songa ko’paytirishdagi quyidagi xossalarga ega:
Guruhlanish xossasi. Ixtiyoriy a vektor va har qanday sonlar uchun
(5)
munosabat o‘rinlidir.
Isbot. va... yo‘nalgan kesmalarni olamiz.

hamda va bir xil yo‘nalishli kesmalar ekanini ko‘rsatamiz:

bundan ko‘rinadiki,
Endi ekanini ko‘rsatish kerak. Bu erda quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:

1. 
   bo‘lsin. Vektorni songa ko‘paytirish ta’rifiga ko‘ra va bo‘ladi. Ikkinchi tomondan, bundan esa
   

Bu ikki munosabatdan: demak, va yo‘nalgan kesmalar bir xil yo‘nalishli;
2) bo‘lsin, bu holda SHu bilan birga bundan esa yoki bundan va dan
3) va hamda ning biri nolga teng bo‘lgan hollarda ham va bir xil yo‘nalishli bo‘lib, (5) munosabatning bu hollarda ham o‘rinli ekani­ni ko‘rsatishni o‘quvchiga havola etamiz.
2°. Har qanday vektor va ixtiyoriy sonlar uchun munosabat o‘rinli.
(6)
Isbot. va bo‘lsin yoki
larning biri nol bo‘lganda shu paragrafdagi b) xulosaga ko‘ra (6) munosabatning o‘rinli ekani ravshan). Yo‘nalgan kesmani olamiz. Bu erda quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: 1) bu holda
Yo‘nalgan kesmalarni qaraymiz. U holda
bo‘lib, va kesmalar bir xil yo‘nalishli, shu bilan birga

2) va bo‘lsin (ya’ni ning ishorasi a ning ishorasiga teskari). Bu holda — a bilan ning ishoralari bir. xil bo‘lib, 1) holga ko‘ra

bu tenglikning ikkala tomoniga* vektorni qo‘shsak, (6) munosabat kelib chiqadi. Agar ya’ni bo‘lsin desak, u holda bo‘lib, buning ishorasi