Z халқада таққосламалар ва чегиримлар синфи

Xossa 11.4 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab qo’shish mumkin.
Isbot. Bizga modul bo’yicha va taqqoslamalar berilgan bo’lsin. U holda va yig’inidilar ham modul bo’yicha taqqoslanadi, chunki va bo’lishligidan bo’ladi va demak,
Xossa 11.5 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish mumkin.
Isbot. Haqiqatan, va sonlar ga bo’linsa, son ham ga bo’linadi va demak bo’ladi.
Bu xossalar faktor to’plamda qo’shish va ko’paytirish amalarini kiritishga imkon beradi, ya’ni elementlarning (sinflarning) yig’indisi deb, elementga (sinfga) va ularning kpaytmasi deb elementga aytiladi, shunday aniqlangan qo’shish va ko’paytirish binar algebraik amal bo’ladi. Haqiqatan, buning uchun bu yig’indi va ko’paytma va elementlarning va sinflarda bog’liq emas-ligini ko’rsatamiz, ya’ni va tengliklardan va tengliklar kelib chiqishi yoki boshqacha qilib aytganda taqqoslamalar tilida buning ma’nosi quyidagicha: va dan va lar kelib chiqishini ko’rsatish kerak,ammo bular 11.4 va 11.5-xossalarda isbotlangan edi.
Shunday qilib, to’plamda kiritilgan qo’shish va ko’paytirish amallari va sinflar bilan bir qiymatli aniqlangan amallardir.
Misol. to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallari masalan va sonlari uchun quyidagicha bo’ladi: , bo’ladi. Umuman bu amallarning quyidagi jadval orqali ifodalashimiz mumkin:

	+

x

to’plam aniqligini qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan kommutativ birlik xalqa tashkil etadi. Masalan, kommutativ, assosiativ va distributivlik qonunlarining bajarilishini ko’rsatamiz:
,

Qolgan xossalarni shunga o’xshash ko’rsatiladi va bu xossalarni bajarilishini ko’rsatish o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi.

xalqa element (sinf) qo’shish amaliga nisbatan neytral element bo’ladi.
,
va element(sinf) ko’paytirish amaliga nisbatan neytral element vazifasini bajaradi: ,
xalqaga modul bo’yicha faktor xalqasi deb aytiladi.
Shuni ta’kidlaymizki, halqa umuman olganda butun xalqa bo’lmaydi. Masalan, agar murakkab son bo’lsa, hosil bo’ladi va demak, xalqada nolning bo’luvchilari mavjud. Xususan, da . Shunga qaramasdan savol paydo bo’ladi, ya’ni halqaning elementlari ko’paytirish amaliga nisbatan teskarilanuvchi bo’ladimi? Bu savolga javob berish uchunbiz quyidagi xossalarni keltiramiz va undan kelib chiqqanholda ni ayrima elementlari(sinflari) haqida so’z yuritamiz.
XOSSA 11.6. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
Isbot. Haqiqatan,bu holda . Bundan va sonlarning EKUBi orqali chiziqli ifodasi dan kelib chiqadi. Shunga o’xshash munosabat ham ko’rsatiladi va demak . Xususan.bu xossadabevosit quyidagi xossa kelib chiqadi:
XOSSA 11.7. Agar biror sinfdagi biror bir son bilan o’zaro tub bo’lsa, u holda bu stnfdagi barcha sonlar ham bilan o’zaro tub bo’ladi.
Bu xossani to’g’riligini ko’rsatish o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi. yoki sonlar nazariyasi bo’yichayozilgan istalgan adabiyotdan foydalanib ishonch hosil qilish mumkin.
TA’RIF 11.8. halqada bilan o’zaro tub bo’lgan barcha sinflarga sodda sinflar deyiladi. Masalan, barcha turli sinflar shartni qanoatlantiruvchi sinflarning sodda sinflari bo’ladi. Shuning uchun modul bo’yicha sinflar ichida soddalarining umumiy soni dan katta bo’lmasin va bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlarning soniga, ya’ni Eyler funksiyasiga tengdir. Masalan, halqada sodda sinflar soni bo’lib, ular sinflaridan iboratdir.
TEOREMA 11.9. modul bo’yicha sodda chegirmalar sinflari halqada ko’paytirish amaliga nisbatan teskarilanuvchidir.
Isbot. halqada biror bir sinf sodda sinf bo’lsin, ya’ni . U holda uchun bo’ladi. Bu tenglikni modul bo’yicha taqqoslasak hosil bo’ladi, ya’ni sinf sinfga teskaridir. Shuni ta’kidlaymizki, teskari sinf ham sodda sinfdir, chunki aks holda tenglikni kkala tomoni ham ga bo’linardi. Teorema isbot bo’ldi.
xalqaning hkmma teskarilanuvchi sinflari to’plami unga kiritilgan ko’paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppadir va bu gruppaning tartibi ( yoki ) ga tengdir.
TEOREMA 11.10. (Eyler teoremasi). Agar bo’lsa, u holda .
Isbot. Teorema shartiga asosan sinf sodda sinf, ya’ni gruppadagi hamma sodda sinflarni sinfga ko’paytirsak sinflarni hosil qilamiz. Bu sinflar yana ga qarashli, ya’ni sodda sinflar bo’ladi, chunki . Bulardan