Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Yuqori tartibli defferensiallar. Oshkormas funksiyani defferensiallash. Sirtga o'tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalari. Ko'P o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Yechish: (%) . Shunda
 (1)
Funksiya xosilasini topamiz :

Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib chiqadi:  va maksimum funksiya (1) mohiyatini bermaydi va tenglik qisqartmasini quyidagi ko’rinishda tuzib olamiz:
,
Aniqlangan bu sistemadan natijani olamiz. nuqtani va shartlardan foydalanib, ekanligini osongina tekshiramiz
Shartli ekstremum.
Izlanayotgan funktsiyalarga chegaraviy shartlar bilan bir qatorda boshqa qoshimcha shartlar ham qoyilgan variatsion hisob masalalari shartli ekstremum masalalari deyiladi.
Bir necha funktsiyalarga bogliq bolgan funktsionalning ekstremumi haqidagi masalani organamiz:
(10)
funktsionalning
(11)
chegaraviy shartlarni va qoshimcha
(12)
shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremumini toping.
Variatsion hisobning bu masalasi Lagranj masalasi deyiladi.
Lagranj funktsiyasi deb ataluvchi funktsiyani tuzamiz:
(13)
bu erda - ixtiyoriy funktsiyalar bolib, ular Lagranj kopaytuvchilari deyiladi.
Lagranj masalasini echishda (10) funktsionalning ekstremumi uchun quyidagi zaruriy shartdan foydalanamiz.
Teorema 3. Agar funktsiyalar (11) va (12) shartlar bajarilganda (10) funktsionalga ekstremum qiymat bersa, u holda shunday Lagranj kopaytuvchilari topiladiki, bunda mos Lagranj funktsiyalari
funktsional uchun yozilgan Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi:
. (14)
3-teorema yordamida funktsionalning shartli ekstremumi haqidagi masala funktsionalning (12) qoshimcha shartlarsiz ekstremumini topish masalasiga keltiriladi.
3-teoremani qollash chogida Lagranj masalasini echish uchun zarur bolgan izlanayotgan funktsiyalar va , Lagranj kopaytuvchilari (14) va (12) korinishdagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.