Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar’’

2 - Teorema. Bir jinslimas (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu tenglama biror y₀(x) xususiy yechimi va mos bir jinsli (2) tenglama umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
(1) tenglama biror-bir xususiy yechimini ixtiyoriy o`zgarmasni variantsiyalash usulida qurish mumkin.
Agar (1) tenglamaning o`ng tomoni f(x) = P(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishda bo`lsa, bu yerda, P(x) - ko`phad, u holda tenglamaning xususiy yechi-mini qu-rishning oddiy usuli mavjud.
I hol: Agar α xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri bo`lmasa, xususiy yechim у = Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishda qidiriladi. Bu yerda: Q(x) - darajasi P(x) ning darajasiga teng aniqmas koeffitsiyentli ko`phad. у = Q(x)·e<sup>αx</sup> ifoda (1) tenglamaga qo`yiladi, e^αx ga qisqartirilgandan so`ng, ko`phadlar tengligidan, Q(x) ko`phadning aniqmas koeffitsiyentlari aniqlanadi.
Misol. y" - 6y′ + 8y = (3x - l)·e<sup>x</sup> tenglamaning xususiy yechimini toping.
Ushbu holda a = 1, xarakteristik tenglama ildizlari esa 2 va 4 ga teng. Masala yechimini у = (ax + b)·e<sup>x</sup> ko`rinishda qidiramiz. Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:
y′ = a·e^x + (ax + b)·e^x = (ax + a + b)·e^x
y" = a·e^x + (ax + a + b)·e^x = (ax + 2a + b)·e^x
у, у′, у" ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va e<sup>x</sup> ga qisqartirilgandan so`ng:
(ax + 2a + b) - 6 (ax + a + b) + 8 (ax + b) = x - 1 yoki
3ax - 4a + 3b = 3x - l.
Mos koeffitsiyentlarni tenglab, a = 1, b = -1 natijani olamiz. Izlana-yotgan xususiy yechim:
y = (х - 1)·е^х;
II hol: Agar α xarakteristik tenglamalardan biriga teng bo`lib, ikkinchisidan, farq qilsa, xususiy yechim у = x·Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishida izlanadi.
III hol: Agarda a xarakteristik tenglama ikki karrali ildizlariga teng bo`lsa, u holda xususiy yechim у = x<sup>2</sup>·Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishida qidiriladi.
Xulosa

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalarning muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
   
2. 
   Bitiruv malakaviy ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler- Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret misollarni yechishda tadbiq etiladi.
   
3. 
   Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
   
4. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi.
   
5. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.