Yuqori darajali tub modulli taqqoslamalar. Lejandr simvoli va Yakobi simvoli

13-ma’ruza. Indеkslar va ularning xossalari.

Ikkihadli taqqoslamalar. Indekslarning tadbiqi.

Reja:

1. Sonning Modul bo`yicha indeksi.

2. Indekslarning xossalari.

Har qanday r tub Modul bo`yicha boshlang`ich ildiz mavjudligi bilan tanishgan edik. Ma’lumki, g son r tub Modul bo`yicha boshlang`ach ildiz bo`lsa, u holda

g0,g1,g2,...,gp-2 (1)

sonlar qatori shu r Modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi. (1) ketma-ketlikning hadlari r bilan o`zaro tub bo`lib, ular r Modul bo`yicha (r)= r-1 ta sinfning vakillaridan iboratdir. ^

Demak, (a; r)=1 bo`lsa, u holda (1) ketma-ketlikda r^ Modul bo`yicha a son bilan taqqoslanadigan yagona element topiladi, ya’ni

g=a(mod r) (2)

taqqoslama o`rinli bo`ladi.

Ta’rif. Agar g son r tub modul bo`yicha boshlang`ich ildiz bo`lib, (a; r)=1 bo`lganda g=a(mod r) taqqoslama to`g`ri bo`lsa, u holda  0 butun son a sonning r modul bo`yicha g asosga nisbatan indeksi deyiladi va u =indg a kabi belgilanadi.

Agar asos oldindan berilgan bo`lsa, a ning indeksi ind a orqali belgilanadi. Yuqoridagi tushunchalarga asosan, har bir (a; r)=1 shartni qanoatlantiruvchi a son, berilgan asos bo`yicha

0, 1, 2, ... r-2 (3)

sonlarning bittasi bilan aniqlanuvchi indeksga ega ekan. Asosning o`zgarishi bilan indeks ham o`zgaradi. Har bir (a; r)=1 qanoatlantiruvchi a soni, g boshlang`ich ildiz bo`yicha cheksiz ko`p indeksga ega bo`ladi. Bu indekslarning barchasi (modr) taqqoslamani qanoatlantiradi. Bu taqqoslama o`rinli bo`lishi uchun 1(mod r-1) taqqoslamaning bajarilishi zarur va etarlidir.

Indekslar quyidagi xossalarga ega:

10. a b(mod r) <=> inda =indb.

20. Agar (a;r)=1, (b;r)=1 bo`lsa, u holda ind(ab)=inda+ +indb(mod p-1) bo`ladi.

Bu taqqoslamalarni hadma-had ko`raytirib =ab(modr) taqqoslamaga ega bo`lamiz. Bundan r1+r2=ind(ab) kelib chiqadi. r1+r2=r bo`lib, u holda ind(ab)=inda+indb (mod p-1) bo`ladi. Bu esa r=r1+ +r2 (mod p -1) demakdir.