Yulduzlarning muntazam politoplari geometrisi

§ 5. GEOMETRIYA

KICHIK YULDUZ DODECAHEDRON

5.1. Yozilgan kichik stelled dodekaedrning qurilishi

ikosaedrga o'ting. Uning turi. An'anaviy kichik bino

dodecahedron stellated MSD quyidagicha bo'ladi: kichik yulduz yuzlari

ning MSD dodecahedron 12 Pentagramlar bo'lgan R bo'lgan,

dodekaedr D qirralarining davomi bilan chizilgan (55-rasm).

Shakl 55. An'anaviy qurilish

kichik yulduzli dodekaedr

Ammo MSD uni I icosahedr-da qurishi va yozishi mumkin . To-

bu erda uning tepalari A i

bu ikosaedr I , qayta

ikosaedrning mini-diagonallari I uning brahmalariga aylanadi va yuzlari shunday bo'ladi

pentagram P i

yuzlariga Q i yozilgan

ajoyib dodekaedr

GD . Bular 12 pentagram (56-rasm):

P 1 : A 2 A 4 A 6 A 3 A 5 A 2 ; P 2 : A 3 A 6 A 8 A 1 A 9 A 3 ; P 3 : A 4 A 2 A 7 A 1 A 8 A 4 ;

P 4 : A 5 A 3 A 11 A 1 A 7 A 5 ; P 5 : A 6 A 4 A 10 A 1 A 11 A 6 ; P 6 : A 1 A 10 A 2 A 5 A 9 A 1 ;

P 7 : A 8 A 11 A 3 A 12 A 4 A 8 ; P 8 : A 7 A 2 A 12 A 3 A 9 A 7 ; P 9 : A 2 A 10 A 8 A 6 A 12 A 2 ;

P 10 : A 6 A 11 A 9 A 5 A 12 A 6 ; P 11 : A 5 A 7 A 10 A 4 A 12 A 5 ; P 12 : A 7 A 9 A 11 A 8 A 10 A 7 .

Sahifa 54

54

Shakl 56. MSD yuzlari

Ushbu beshburchaklarning yadrolari odatiy beshburchak bo'ladi

B ( A i

). Masalan, B yadrosi ( A 1)

) pentagramlar P 1 : A 2 A 4 A 6 A 3 A 5 bu-

det beshburchak B ( A 1 ): B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 (57-rasm).

Shakl 57. P 1 pentagrammaning B ( A 1 ) yadrosi

Uning tepalari quyidagi koordinatalarga ega:

B 1 (0, - 3 ,); B 2 ( 2 , - 2 , 2 ); B 3 (, 0, 3 ); B 4 ( 2 , 2 , 2 ); B 5 (0, 3 ,),

va P 1 , ..., P 12 pentagramlarning yadrolari dodekaedrning yuzlari

Dji - icosahedron yadroli men .

Sahifa 55

55

I icosahedron I ning yadrosi JI tepaliklarining barcha koordinatalari farqlanadi

inobatga olingan dodekedr D koordinatalarining 2- faktor

3.2-band. Shuning uchun, asosiy Dji icosahedron men dodecahedron uchun benzeşim.

edru D omili tomonidan 2 , ya'ni. e. Dji = 2 D .

55-rasm va 56-rasmlarni taqqoslab, biz bunga aminmiz

tepalari bir-biriga to'g'ri keladigan kichik stelled MSD dodekaedr

I icosahedron tepaliklari bilan bering (ya'ni MSD I ga yozilgan ), ehtimol

I icosahedron I yadrosi JI qirralarini kengaytirish orqali olinadi (ya'ni.

an'anaviy tarzda).

Biz ko'rib MSD 12 burchaklar, 30 qirralarning va bor,

12 yuz - pentagramlar. Shuning uchun uning Eyler xususiyati

tayoq χ ( MSD ) = –6. Agar biz "triangu-

biz MSD yuzlarini qoplaymiz .

Ma'lumki, bunday ko'p qirrali yuzaning jinsi, agar

u yo'naltirilgan, 4 ga teng. "Uchburchakning yo'naltirilganligi"

hammom " MSD keyingi xatboshiga o'rnatiladi, ya'ni

tur 4.

4.2. MSD yuzlarining "uchburchagi" . Tozalashni o'chirish

Biz P ( GD ) ni to'rtta kesib, keyin sarfladik

yuziga beshburchak qo'yib. MSDga duch keladi

pentagramlar va uni ochish jarayoni osonroq

qo'rg'oshin, agar biz MSD yuzlarini "uchburchak" qilsak , ya'ni a

o'girib P ( MSD uchburchak).

MSDga an'anaviy yondashishda tomonlar

Ikosahedr I ning 30 ta mini-diagonallari , MSD ( GD kabi ) esa 12 ta ver-

shinalar, 30 chekka va 12 yuz. Ammo har bir tiyinni hisoblash qulayroq

beshta teng uchburchakdan tashkil topgan diagramma

pentagram markazida umumiy tepalik bilan. Ushbu yon chiziqlar

uchburchaklar MSD ning yuzlari (shuningdek, ularning yuzlari) bo'ladi

supurish P ( MSD ). Bunday yuzlar 60 ta.

Bunday kelishuv bilan MSD , shuningdek, uni tozalash

P ( MSD ), 24 tepalik bo'ladi (I icosahedronning 12 tepasi va 12 tsent-

trov pentagramlari), 90 qirralar ((3 × 60): 2 = 90), shuningdek 60 gra-

uni. P ( MSD ) supurgi bo'ladi triangulated.

P dan beshgacha bo'lgan markazlar

ularning tekisligidagi proektsiyalardir

tegishli omillar A uchun

ikosahedron I va biz belgilaymiz

Sahifa 56

56

ularning C dan

... (Ilgari, C dan belgilargacha

dodekaedrning tepalari

D , lekin u endi keyingi qurilishda qatnashmaydi

niyah, va shuning uchun C to belgisi

endi qalam markazini bildiradi -

teglar P dan

yoki beshburchakning markazi Q k

, bu bir xil).

Olingan P ( MSD ) skanerlash yuzlarini sanab o'tamiz . Bular

uchli uchburchaklar ham uchli emas

C dan to nuqtalarga

( k = 1, ..., 12) va asoslari bilan

ikosaedr I ning miniidiagonallari.

P 1 C 1 A 2 A 4 , C 1 A 4 A 6 , C 1 A 6 A 3 , C 1 A 3 A 5 , C 1 A 5 A 2 uchburchaklardan iborat ;

P 2 iborat C 2 A 1 A 9 , C 2 A 9 A 3 , C 2 A 3 A 6 , C 2 A 6 A 8 , C 2 A 8 A 1 ;

P 3 iborat C 3 A 4 A 2 , C 3 A 2 A 7 , C 3 A 7 A 1 , C 3 A 1 A 8 , C 3 A 8 A 4 ;

P 4 iborat C 4 A 5 A 3 , C 4 A 3 A 11 , S 4 A 11 A 1 , C 4 A 1 A 7 , C 4 A 7 A 5 ;

P 5 iborat C 5 A 6 A 4 , C 5 A 4 A 10 , C 5 A 10 A 1 , C 5 A 1 A 11 , C 5 A 11 A 6 ;

P 6 iborat C 6 A 1 A 10 , C 6 A 10 A 2 , C 6 A 2 A 5 , C 6 A 5 A 9 , C 6 A 9 A 1 ;

P 7 iborat C 7 A 8 A 11 , S 7 A 11 A 3 , C 7 A 3 A 12 , S 7 A 12 A 4 , C 7 A 4 A 8 ;

P 8 iborat C 8 A 7 A 2 , C 8 A 2 A 12 , S 8 A 12 A 3 , C 8 A 3 A 9 , C 8 A 9 A 7 ;

P 9 iborat C 9 A 2 A 10 , C , 9 A 10 A 8 , C , 9 A 8 A 6 , C 9 A 6 A 12 , C , 9 A 12 A 2 ;

P 10 iborat C 10 A 6 A 11 , S 10 A 11 A 9 , C 10 A 9 A 5 , C 10 A 5 A , 12 , C 10 A 12 A 6 ;

P 11 iborat C 11 A 5 A 7 , C 11 A 7 A 10 , S 11 A 10 A 4 , C 11 A 4 A 12 , S 11 A 12 A 5 ;

P 12 iborat C 12 A 7 A 9 , C 12 A 9 A 11 , S 12 A 11 A 8 , C 12 A 8 A 10 , S 12 A 10 A 7 (9.1).

58-rasmda P 1 pentagramining uchburchagi ko'rsatilgan .

Shakl 58. P 1 pentagramning "uchburchagi"

57-bet

57

Ushbu ro'yxat shuningdek, MSD yo'naltirilganligini tasdiqlaydi .

Eyler xarakteristikasi χ ( P ( MSD )) = 24 - 90 + 60 = –6,

ya'ni P ( MSD ) supurish turi katta dode- da bo'lgani kabi 4 ga teng

kaedron GD.

4.3. Reklama P ( MSD ). Biz qanday boshlashimizga o'xshash -

ochiladigan P ( GD ) konstruktsiyasi bo'ladimi, P ( MSD ) ni birga kesish kerak

tomonlari to'rtta muntazam uchburchakning tomonlari

ikosaedron I ning mini-diagonallari va ularga parallel

ular bo'ylab joylashgan muntazam uchburchaklarning chiziqlari

katta dodekaedron GD bo'limlari . Ushbu to'rtburchak

MSD ning barcha 12 ta tepalarida tepaliklar mavjud . Biz buni ko'rsatamiz

uchburchaklar.

Icosahedron har qanday yuziga uchun Birinchidan, eslatma , men, bor

tomonlari min bo'lgan ikkita muntazam uchburchak mavjud

Men bu yuzga homotetik bo'lmagan diagonali - ijobiy tomonga egaman

homotetiya koeffitsienti, ikkinchisi esa salbiy

nym. Biz ijobiy uchburchakni tanlaymiz

homotetiya koeffitsienti (59-rasm).

Yuz A 1 A 2 A 3 (qizil) qizil uchburchakka A 5 A 9 A 7 to'g'ri keladi ;

yuz A 4 A 11 A 5 (yashil) yashil uchburchakka A 3 A 12 A 6 to'g'ri keladi ;

yuz A 10 A 9 A 6 uchburchakka A 11 A 8 A 1 to'g'ri keladi (ajratilmagan);

yuz A 7 A 8 A 12 uchburchak A 4 A 2 A 10 ga to'g'ri keladi (ta'kidlanmagan).

Shakl 59

Sahifa 58

58

Birinchidan, keling, P ( MSD ) skanerlash bo'yicha to'rtta kesma hosil qilamiz

tsikllar A 5 A 9 A 7 A 5 , A 3 A 12 A 6 A 3 , A 11 A 8 A 1 A 11 , A 4 A 2 A 10 A 4 . Shundan keyin

hosil bo'lgan ko'p qirrali supurishdagi qirralar

12 ta tepalikka va yana 12 ta qirraga aylanadi, ya'ni ular bo'ladi

36 tepalik, 102 chekka va 60 yuz. Kesilgan joylarga elim

8 ta tekis uchburchak. Yassi naqsh yopiq bo'ladi. O-

biz buni nazarda tutamiz P * ( MSD ). Uning 36 tepasi, 102 qirrasi va 68 yuzi bor,

va shuning uchun uning Eyler xarakteristikasi 2 ga teng, chunki

36 - 102 + 68 = 2. Shuning uchun u topologik jihatdan unga tengdir

sharga lenta. Agar hozir biz ushbu sohadan yopishtirilgan narsalarni olib tashlasak

ilgari uchburchaklar va qirralarni yopishtiring

lana kesadi, keyin biz to'rtta "tutqich" bilan sharga kelamiz.

Bu MSD-ni reklama qilish rejasi . Ammo biz aniqlikka erishamiz

faqat sharga P * ( MSD ) qirralarning tarmog'ini qursak va

uni chizamiz. Biz ushbu qurilishdan o'tmoqdamiz.

Katta dodekaedrning "ochilishi" bilan o'xshashlik bilan biz buni qilamiz

ikkita yarim shardan iborat xaritani qurish - "sharq" va

"G'arb". Bularning barchasi va ularni tasvirlaydigan chizmalar

tabiatan topologik xususiyatga ega. Masalan, "targ'ib qilish" yo'li bilan

pentagram P 1 har qanday oddiy (ya'ni cheklangan) bo'lishi mumkin

masalan, oddiy yopiq singan chiziq) beshburchak P ( P 1 )

markazlari S 1 bilan chegaralangan muntazam beshburchak

singan chiziq A 2 A 4 A 6 A 3 A 5 (60-rasm).

Shakl 60. P 1 pentagramning "ochilishi"

A i tepalikning mahallasi

ko'p qirrali skanerlashda

R ( MSD ) biz O ( A i ) ko'pburchakni nazarda tutamiz

), ya'ni

Sahifa 59

59

A i nuqtaga ega bo'lgan R ( MSD ) barcha yuzlarning birlashishi

uning

yuqori.

61-rasmda A 1 nuqtalarining P ( MSD ) atroflari ko'rsatilgan

,

A 8 va A 11 A 1 A 8 A 11 A 1 tsikli bo'ylab kesmaning tepalari .

Shakl 61. A 1 , A 8 va A 11 nuqtalarining mahallalari

Ushbu tsiklning tomonlari ushbu uchlikning har birini buzadi

mahallalar ikkita sektorga bo'linadi, ulardan bittasida oltita

kvadratchalar, boshqasida esa to'rtta. Birinchi sektor (katta)

biz O ( A i) ni belgilaymiz

, 6), ikkinchisi (kichikroq) bilan belgilanadi

O ( A i

, to'rt). Yashil segmentlar A i nuqtalarining mahallalarini ajratadi

ustida

ushbu sektorlar.

A 1 A 11 A 8 A 1 tsikli bo'ylab kesishni ko'rib chiqing . T ak reamer sifatida

P ( MSD ) yo'naltirilgan, keyin bu kesmaning ikki tomoni bor - ikkitasi

"Sohil". Bitta "qirg'oq" ning chekkasi A 1 A 8 A 11 , ikkinchisining chekkasi belgilangan

rogo "qirg'oq" - A 1 * A 8 * A 11 *.

O ( A 1 , 4) va O ( A 8 , 4) sektorlar umumiy C 3 A 1 A 8 ,

O ( A 1 , 4) va O ( A 11 , 4) sektorlar umumiy C 4 A 1 A 11 ,

O ( A 8 , 4) va O ( A 11 , 4) sektorlar umumiy C 7 A 11 A 8 uchburchakka ega .

Bular bir-biriga "bog'langan" deb o'ylash tabiiy

kichikroq tarmoqlar tomonlardan birining yarim mahallasi

A 1 A 8 A 11 A 1 kesing . Ushbu kesmaning ushbu chekkasini belgilaymiz

A 1 * A 8 * A 11 *. Endi biz A 1 * A 8 * A 11 * uchburchagiga tashqi tomondan yopishtiramiz

uning tomonlari sektorlarning tegishli tomonlarida

O ( A 1 , 4), O ( A 8 , 4) va O ( A 11 , 4) (62-rasm). Yonlarga yopishtirish

uchburchaklar A 1 * A 8 * A 11 *, A 1 A 8 A 11 va boshqalarni kesadi , biz boramiz

P supurishdan ( MSD ) P * supurishga ( MSD ).

Sahifa 60

60

62-rasm. O ( A 1 , 4), O ( A 8 , 4) va O ( A 11 , 4) tarmoqlarini yopishtirish

Yassi uchburchak bilan birga A 1 * A 8 * A 11 * ularning har biri

sektorlar tepaliklardan birining dumaloq mahallasini tashkil qiladi

uchburchak. Tabiiyki, ular bo'ylab uchburchaklar

Ushbu sektorlar "bog'langan", ular bir marta chizilgan.

Biz ikkita yarim sharni qurishda birinchi qadamni qo'ydik:

"Sharq" va "g'arbiy". 62-rasm - "sharq" ning boshlanishi.

"G'arbiy" uchburchak bilan o'xshash inshootlar

A 1 A 8 A 11 va O ( A 1 , 6), O ( A 8 , 6), O ( A 11 , 6) katta sektorlar at-

yarim sharning "g'arbiy" qurilishining boshlanishiga olib boring (63-rasm).

63-rasm. O ( A 1 , 6), O ( A 8 , 6), O ( A 11 , 6) tarmoqlarini yopishtirish

R * ( MSD ) ishlab chiqishda faqat har bir ver- uchun

shinalar A i

uning o'qimaganligi bor - A i nuqta

*, va tepaliklar C ga

talabalar

Sahifa 61

61

yo'q, chunki kesmalar ular orqali o'tmaydi. shuning uchun

mahalla O ( C dan

) C dan nuqtalarga

P * skanerida ( MSD ) a

beshta uchburchakdan iborat beshburchak,

C ga ega bo'lish

uning cho'qqisi. 62-rasmda C dan uchta nuqtaga qadar

:

C 3 , C 4 va C 7 nuqtalari , ammo bu rasmda faqat mavjud

shu nuqtalarda uchlari bo'lgan uchburchak. Keling, ri- ni to'ldiraylik

C 3 , C 4 va C 7 nuqtalarining to'liq mahallalarini to'ldirib, 62-rasm

(rasm 64).

Shakl 64. S 3 , S 4 , S 7 nuqtalarining to'liq mahallalari

Agar endi 64-rasmni 49-rasm bilan taqqoslasak, ko'ramiz

ularning to'liq o'xshashligi: birinchidan, 49-rasmning o'rtasiga yopishtirilgan

uchburchak A 1 A 2 A 3 , 64-rasmning markazida esa yopishtirilgan uchburchak

kvadrat A 1 * A 8 * A 11 *; ikkinchidan, 49-rasmda uchburchak

A 1 A 2 A 3 pentagonlar Q 6 , Q 8 , Q 4 bilan o'ralgan va 64-rasmda

A 1 * A 8 * A 11 * uchburchagi O ( C 3 ), O ( C 4 ) va beshburchaklari bilan o'ralgan.

O ( C 7 ).

Keling, "targ'ibot" P * ( MSD ) ning "sharqiy" qurilishini davom ettiramiz . TO

qirrasi A 3 A 5 A 7 A 2 A 4 A 12 , 64-rasmdagi olti burchakli qo'shni

boshqa uchta yopishtirilgan uchburchak uchlari yulduzsiz

qizlari: yon tomonga A 5 A 7 uchburchakka A 5 A 7 A 9 , yon tomonga tutashgan

A 2 A 4 uchburchakka A 2 A 4 A 10 , yon tomonga A 3 A 12 ga tutashgan

uchburchak A 3 A 6 A 12 (65-rasm).

62-bet

62

Shakl 65. Tugallanmagan "Sharq"

65-rasmda to'rtta yopishtirilgan uchburchak bor, lekin faqat uchtasi

beshburchak: O ( C 3 ), O ( C 4 ) va O ( C 7 ), va ular "yarim sharda"

oltita bo'lishi kerak A 6 A 3 A 5 chekka qismi chetga yotishi kerak

beshburchakning pastki qismi O ( C 1 ) va biz uni shu qadar qurishni tugatamiz

tygon. A 1 A 2 A 3 va A 1 A 2 A 3 bo'limlari bilan ham xuddi shunday qilamiz ,

ularni O ( C 1 ) va O ( C 1 ) beshburchaklariga to'ldirish (66-rasm).

Shakl 66. To'liq "Sharq"

63-bet

63

"Sharq" ning qurilishi tugallandi.

"G'arb" ni qurish osonroq. Bu faqat C dan to nuqtalarigacha zarur

ustida

63-rasm, oltita O ( S dan to gacha) beshburchaklarini yarating

), undan keyin

hosil bo'lgan ko'pburchakni kerakli joylarda uchta bilan to'ldiring

tepalari yulduzlar bilan belgilangan tekis uchburchaklar

qizlari. Buni qanday amalga oshirish 67-rasmdan aniq.

67-rasm. "G'arb"

"Sharq" va "g'arb" ning chekkalari bir xil, ammo pro atrofida aylanma yo'llar mavjud

qarama-qarshi yo'nalishlarda. Ularni bir-biriga yopishtirish shpalga olib keladi.

pe va undan soyali uchburchaklarni olib tashlash - ga "

burama " P ( MSD ).

4.4. Katta dodekaedr va kichik yulduzning o'zaro aloqasi

bu dodekaedr

Keling, koordinata usulidan foydalanamiz. Katta hajmni ko'rib chiqing

ikodedron I ga yozilgan dodekaedr GD , uning tepalari

K kubida, shuningdek MSD dodekaedrining kichik steldida yotish ,

I ikosahedrda , shuningdek buyuk dodekaedr GD da yozilgan .

Masalan, Q 1 yuzi tekisligining tenglamasini yozaylik.

yuzli GD . Bu yuz muntazam beshburchak A 2 A 3 A 4

64-bet

64

A 5 A 6 va uning tekisligiga normal bo'lgan A radius vektori

haqida

1 . Qabul qiling

uchta nuqta: A 3 (0, -1,), A 5 (1 ,, 0), A 6 (0, 1,) - va yozing

ushbu uch nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasi:

,

,

,

,

,

yoki

x + Fz = 1.

Biz quyidagilarni olamiz: x + z =, yoki x + Fz = 1.

Ushbu tekislikning qutbi (1, 0, F ) yoki F (, 0, 1) nuqta ,

ya'ni bu nuqtaning radius vektori F 1 A ga teng

haqida

1 .

Va yuzlarning qolgan tekisliklari uchun Q i

biz radiusni olamiz

ularning qutblari vektorlari F i A ga teng

haqida

1 . Bu har qanday narsadan kelib chiqadi

yuz i Q

yuz holatiga o'tkazilishi mumkin

1- savol . Shuning uchun qutblanish uchun p S

nisbatan yagona

shar S samolyot katta dodekaedr yuzlari GD dovoni

homoteti Γ ( Φ ) tomonidan olingan ΦI ikosaedrning tepalariga (markazi bilan

Trom O va I ikosaedrning F ) koeffitsienti . Tepaliklar juda ko'p

polyhedron .phi.i bilan belgilanadi qilinadi A 1 , ..., A 12 . Biz ularning ko-

dinates:

A 1 (1, 0, F ), A 2 (–1, 0, F ), A 3 (0, - F , 1), A 4 ( F , –1, 0),

A 5 ( F , 1, 0), A 6 (0, F , 1), A 7 (0, - F , –1), A 8 (- F , –1, 0),

A 9 (- F , 1, 0), A 10 (0, 1, - F ), A 11 (1, 0, - F ), A 12 (–1, 0, - F ).

Uch atrofida yurgan bo'lsa A1 ning katta dodecahedron GD

unda yaqinlashayotgan beshta yuzning ketma-ketligi quyidagicha: 2- savol ,

Q 4 , Q 6 , Q 3 , Q 5 . Ushbu yuzlarning tekisliklari qutblari

A 2 , A 4 , A 6 , A 3 , A 5 nuqtalari , ya'ni bu qutblar tepada

pentagram W 1 , unga p S kutuplulukta o'tadi

ko'p

Sahifa 65

65

qirrali pentangle V 1 uch da A1 ning katta dodecahedron

GD (68-rasm). Shunday qilib, W 1 = p S

( V 1 ).

Barcha yuzlar: Q 2 , Q 4 , Q 6 , Q 3 , Q 5 - A 1 nuqtasini o'z ichiga oladi ,

u holda ularning tekisliklari A 2 , A 4 , A 6 , A 3 , A 5 qutblari tekislikda joylashgan

suyagi x + z = 1, uning qutbi A 1 (, 0, 1) nuqta bo'ladi .

Shakl 68. Beshburchakning qutb tasviri W 1 = p S ( V 1 )

Pentagramga o'xshash W 1 = p

S

( V 1 ) pentagramlar qurilgan

W 2 = p S

( V 2 ), ..., W 12 = p S

( V 12 ). Ushbu o'n ikki pentagram va manifest

FM SD = p S kichik yulduzcha dodekaedrining yuzlari

( GD ).

Ular FI ikosaedrida yozilgan : ularning yon tomonlari mini-di-

bu ikosaedrning gonallari.

P S aniq

( FMSD ) = GD . Bundan tashqari, p S aniq

( MSD ) = FGD .

Isbotlangan:

Teorema . Birlik nuqtai nazaridan p S qutblanishini ko'rib chiqing

shar S, u K kubga yozilgan, qutblanishda p S

vertikallari yuzlarida joylashgan katta dodekaedr GD

kub K va xuddi shunday bo'lgan MSD dodekaedrli kichik yulduzcha

tepaliklar navbati bilan yulduzcha shaklidagi kichik do- ga o'tadi.

aMSD dekaedroni va ΦGD katta o'n ikki daftar.

Sahifa 66

SAVOLLAR VA MASQALAR

Barcha savollar va mashqlar ko'rib chiqilgan ko'pburchakka tegishli

ushbu xatboshida.

1. Kichik stelled MSD dodekaedrida simmetriya markazi bormi?

2. Kichik stelled MSD dodekaedrida simmetriya o'qlari bormi? nechta

ular?

3. Kichik yulduzli dodekaedrning simmetriya tekisliklari bormi? nechta

ular?

4. MSD atrofida tasvirlangan maydonni qanday aniqlar edingiz? Uni qanday topish mumkin

dius? Hisoblang.

5. MSD qamrab olgan maydonni qanday aniqlar edingiz? Uning radiusini qanday topish mumkin?

Hisoblang.

6. Nima uchun MSD ning barcha qirralariga tegadigan shar bor? Uni qanday topish mumkin

radiusmi? Hisoblang.

7. Yopiq sirt qanday turga kiradi? MSD turi nima?

8. MSD ning "targ'iboti" nima? MSD-da nimani "qalam" deb hisoblash mumkin?

9. GD va MSD ning qutbli ikkilikliligi qanday?

Sahifa 67

67