Yoy uzunligining ta‘rifi. Yoy uzunligini xisoblash uchun formula

Egri chiziq yoyining uzunligi. Egri chiziqni tabiiy parametrlash

Reja:

1. 
   Yoy uzunligining ta‘rifi.
   
2. 
   Yoy uzunligini xisoblash uchun formula.
   
3. 
   Yoy uzunligi uchun formulalar.
   
4. 
   Egri chiziqning tabiiy parametrlash.
   

Ta‘rif.  chiziqning аtb yoyining uzunligi deb egri chiziqqa ichki chizilgan va uchlari (x(t₁), y(t₁)) (t₁=a, t₂...t_n=b, t₁2<...n) nuqtalarda bo`lgan siniq chiziq uzunligining, siniq chiziq bo`g`inlari cheksiz kichraya borgandagi intilgan limitga aytiladi.
TEOREMA. Silliq chiziqning xar qanday yoyi aniq uzunlikka ega . Agar egri chiziq r=r(t) tenglama bilan berilgan bo`lsa, atb yoy uzunligi

formula bilan xisoblanadi.
ISBOT. Sinik chiziq uzunliginini egri chiziq tenglamasidan foydalanib quyidagi

ko`rinishda ifodalashimiz mumkin.
Bu ifodani quyidagi ko`rinishda yozamiz:
=
+ - (2)
Oxirgi tenglikning o`ng tomonidagi ikkinchi qo`shiluvchi integralning ta‘rifiga asosan yetarlicha kichik miqdordir. Uchinchi qo`shiluvchini esa quyidagicha yozamiz:

[a,b] kesmada r'(t) vektor-funktsiya tekis uzluksiz bo`lgani uchun |r'(t)-r'(t_k)|< bo`ladi. Shuning uchun uchinchi qo`shiluvchini
=(b-a)
ko`rinishda ifodalashimiz mumkin.
Shunday qilib, siniq chiziq bo`g`inlari cheksiz kichraya borganda, yani t<sub>k</sub>-t<sub>k-1</sub> ayirma 0 ga intilganda (2) tenglikda limitga o`tsak,

ni olamiz.
Bu tenglik teoremani isbotlaydi.
Endi yoy uzunligini xisoblash formulalarini topamiz.
1. Agar  egri chiziq x=x(t), y=y(t), z=z(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsa, (1) ga asosan atb yoy uzunligi
(3)
formula bilan xisoblanadi.
2. Agar egri chiziq y=y(t), z=z(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa yoy uzunligi
(4)
formula bilan xisoblanadi.
ESLATMA. ХОУ tekislikda yotuvchi tekis egri chiziqlar uchun (3) va (4) formulalarda z'=0 bo`ladi.
Egri chiziqni tabiiy parametrlash.
 silliq egri chiziq r=r(t) vektor tenglama bilan berilgan bo`lsin.

formula bilan aniqlanuvchi s(t) funktsiyani kiritamiz. Bu funktsiya quyidagi sodda geometrik ma`noga ega, yani |s(t)| miqdor [t₀,t] yoy uzunligidan iboratdir. s(t) funktsiya doimiy monotondir, chunki

Shuning uchun egri chiziqda parametr sifatida s yoy uzunligini olish mumkin. Egri chiziqni bunday parametrlash tabiiy parametrlash deb yuritiladi. Egri chiziq tabiiy parametrlanganda urinmaning yo`naltiruvchi vektori r'(s) birlik vektordan iborat bo`ladi, yani
|r'(s)|=1
Xaqiqatan ham

bo`lib, agar s'=|r'| ekanini eotiborga olsak, kelib chiqadi.
Adabiyotlar

1. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
   
2. 
   Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
   
3. 
   Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
   
4. 
   Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
   

Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.