Yopishma tekislik ta‘rifi. Yopishma tekislikning mavjudligi xaqidagi teorema

Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda /d<sup>2</sup> nisbat nolga intilsa  tekislikni  egri chiziqning Р nuqtasidagi yopishma tekisligi deyiladi.
TEOREMA. Ikki marta differentsiallanuvchi  egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida yopishma tekislikka ega. Bunda yopishma tekislik yoki yagonadir yoki urinma orqali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iborat. Агар r=r(t)  egri chiziqning vektor tenglamasidan iborat bo`lsa, yopishma tekislik r'(t) va r"(t) vektorlarga perpendikulyardir.

ISBOT. Faraz qilaylik  tekislik  egri chiziqning parametrning t qiymatiga mos kelgan Р nuqtasidagi yopishma tekislikdan iborat bo`lsin.

Yopishma tekislikning birlik normal vektorini n orqali belgilaymiz. U xolda oldingi mavzulardagi kabi muloxazalar yuritib quyidagilarni olamiz, ya‘ni

d=|r(t+t)-r(t)|, =|n(r(t+t)-r(t))|

Shartga asosan  yopishma tekislik bo`lgani uchun QР da (/d<sup>2</sup>)0 bo`ladi. Ma‘lumki, Q nuqta Р nuqtaga intilsa t 0 ga intiladi. Aytilganlar asosida quyidagilarga ega bo`lamiz:

Q nuqta Р nuqtaga intilganda ₁0, ₂0 bo`ladi va oxirgidan nr'(t)=0, nr"(t)=0 kelib chiqadi. Bu tengliklardan nr', nr" ekani yoki r' va r" vektorlarning yopishma tekislikka parallelligi kelib chiqadi.

Yopishma tekislikning xar doim mavjudligi osongina ishonch xosil kilish mumkin. Buning uchun r'(t) ва r"(t) vektorlarga parallel bo`lgan  tekislikni olamiz. U xolda nr'(t)=0, nr"(t)=0 bo`lib, Q nuqta Р nuqtaga intilganda kelib chiqadi.

Shunday qilib, egri chiziqning xar bir nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo`lib, agar r'(t) ва r"(t) vektorlar kollinear bo`lsa yoki r"(t)=0 bo`lsa, urinma orkali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iboratdir.

Endi  egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqtasidagi yopishma tekislik tenglamasini tuzamiz. Aytaylik А(x,y,z) nuqta yopishma tekislikning o`zgaruvchi nuqtasi bo`lsin. U xolda uchta РА, r' ва r" vektorlar o`zaro komplanardir. Vektorlarning komplanarlik shartiga asosan (РА, r',r")=0 bo`ladi.

Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozsak,

bo`ladi.

Bu yopishma tekislik tenglamasidir.

Ma‘lumki, urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan xar bir to`g`ri chiziqning normali deyiladi. Agar yopishma tekislik yagona bo`lsa, bu normallar orasida ikkitasi ajralib turadi. Ulardan birinchisi yopishma tekislikda yotuvchi normal bo`lib, uni egri chiziqning bosh normali deyiladi. Ikkinchisi esa, yopishma tekislikka perpendikulyar bo`lgan normal bo`lib, uni egri chiziqning binormali deyiladi.

Endi binormalning tenglamasini tuzamiz. r' ва r" vektorlar chiziqning М₀­ nuqtasidagi yopishma tekislikda yotadi. Shuning uchun В₀=[r',r"] vektor binormal bo`ylab yo`nalgandir. Agar binormal ustida ixtiyoriy М(x,y,z) nuqtani olsak, vektor В₀ vektor bilan kollinear bo`ladi, yani =В₀. Bunda В₀ vektorning yoyilmasi:

В_­0=(y'z"-y'z')i+(z'x"-z"x')j+(x'y"-x"y')k

ning yoyilmasi esa

=(X-x)i+(Y-y)j+(Z-z)k.

Shu sababli binormalning koordinata shaklidagi tenglamalari

va vektor shakldagi tenglamasi: R-r=[r'r"].

Agar B=[r'r"] vektorni r' vektor bilan ko`paytirsak, В va r' ga tik vektor xosil bo`ladi. Bu vektor chiziqning bosh normali bo`ylab yo`nalgandir. Uni N bilan belgilaymiz:N=[[r'r"]r']. Ikki qaytali vektor ko`paytmani yoyish formulasiga asosan:

N=[[r'r"]r']=r"r'²-r'(r'r").

Jumladan, chiziqning М₀ nuqtasidagi bosh normal vektori N₀=[[r'₀r"₀]r'₀] bo`ladi. Uning yoyilmasi

N₀=[[r'₀r"₀]r'₀]=r"₀r'²₀ - r'₀(r'₀r"₀).

Bosh normal vektorining to`g`ri burchakli koordinata sistemasidagi yoyilmasi qisqacha N=i+j+k bo`lsin. Bu xolda to`g`irlovchi tekislikning tenglamasi

(X-x)+(Y-y)+(Z-z)=0

ko`rinishni oladi, chunki to`g`irlovchi tekislik М<sub>0</sub> nuqtadan o`tib, N₀ vektorga perpendikulyar bo`ladi.

Chiziqning М₀ nuqtasidagi bosh normali N₀ vektor bo`ylab yo`nalgandir. Uning tenglamasini yozish uchun bosh normalda ixtiyoriy М nuqtani olamiz. Natijada М₀М ва N₀ vektorlar o`zaro kollinear bo`ladi. М₀М=N₀. Agar N₀ ning yoyilmasi N₀=₀i+₀j+₀k shaklda olinsa, bosh normalning tenglamalarini

ko`rinishda yozish mumkin.

Adabiyotlar

1. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
   
2. 
   Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
   
3. 
   Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
   
4. 
   Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
   
5. 
   Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.