|
Доказательство
леммы
.
Отметим
сначала
,
что
поскольку
функции
{
}
∞
=
1
)
(
k
k
x
ϕ
принадлежат
классу
])
1
,
0
([
])
1
,
0
([
2
L
L
⊂
,
то
множество
тех
точек
)
1
,
0
[
∈
θ
,
где
имеет
место
неравенство
0
,...
2
,
1
),
(
)
(
1
lim
0
+
→
=
=
+
∫
h
k
du
u
h
k
h
k
θ
ϕ
θ
ϕ
имеет
полную
меру
на
отрезке
[0,1],
а
значит
,
и
для
любого
натурального
N
множество
G
N
тех
точек
)
,...,
(
)
(
)
(
1
)
(
N
N
N
N
θ
θ
θ
=
,
для
которых
при
любых
натуральных
К
и
любых
натуральных
i
,
n
i
≤
≤
1
,
вы
-
полнено
П
.
А
.
Корнилов
0
,...
2
,
1
),
(
)
(
1
lim
)
(
0
)
(
+
→
=
=
+
∫
h
k
du
u
h
N
i
k
h
N
i
k
θ
ϕ
θ
ϕ
(4)
66
Ярославский
педагогический
вестник
– 2012 –
№
1 –
Том
III (
Естественные
науки
)
имеет
полную
меру
в
N-
мерном
единичном
кубе
.
Отсюда
и
из
леммы
1
следует
,
что
для
любого
нату
-
рального
N
найдется
точка
)
(
N
θ
из
G
N
такая
,
что
∑ ∑
=
=
∗
≥
N
i
t
m
Np
k
i
k
k
p
N
B
t
N
1
)
(
)
log(
)
(
)
(
1
lim
θ
ϕ
ϕ
,
где
нату
-
ральные
числа
)
(
t
m
p
лежат
в
интервалах
)
)
1
(
,
[
N
p
pN
+
,
и
неравенство
выполнено
для
всех
0
,
1
>
≥
∈
γ
n
n
mesE
E
t
.
Теперь
выберем
последовательность
i
i
N
4
=
и
для
этих
i
N
выберем
соответствующие
точки
)
,...,
(
)
(
)
(
1
)
(
i
N
i
i
i
θ
θ
θ
=
,
соответствующие
последовательности
{
}
i
i
p
i
p
i
p
N
p
t
m
pN
t
m
)
1
(
)
(
,
)
(
)
(
1
)
(
+
<
≤
∞
=
и
соответствующие
множества
0
~
],
1
,
0
[
~
>
≥
⊂
i
i
i
E
mes
E
γ
такие
,
что
для
любого
i
E
t
~
∈
выполнено
не
-
равенство
(2).
Вспомнив
,
что
i
N
i
G
∈
θ
,
из
неравенства
(2)
получаем
,
что
найдется
натуральное
число
i
L
такое
,
что
при
всех
0
],
1
,
0
[
>
≥
⊂
∈
γ
i
i
mesE
E
t
выполнено
)
log(
2
)
(
)
(
1
max
1
)
(
)
(
)
(
i
N
j
t
m
pN
k
i
j
k
k
i
L
p
N
B
t
N
i
i
p
i
i
≥
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∑ ∑
=
=
<
θ
ϕ
ϕ
(5)
и
что
найдется
число
0
>
i
h
такое
,
что
:
1)
1
)
(
≤
+
i
i
j
h
θ
при
любых
i
N
j
,...,
2
,
1
=
и
2)
1
)
(
)
(
1
0
)
(
)
(
≤
−
+
∫
i
h
i
j
k
i
j
k
i
i
du
u
h
N
θ
ϕ
θ
ϕ
при
любых
i
N
j
,...,
2
,
1
=
и
любых
i
i
N
L
k
≤
.
Введем
в
рассмотрение
функции
∑
=
=
i
N
j
i
j
i
i
i
t
N
t
f
1
)
(
)
,
(
1
)
(
θ
δ
,
где
⎩
⎨
⎧
+
∈
=
−
иначе
h
x
x
t
h
t
x
i
i
i
,
0
]
,
[
,
)
,
(
0
0
1
0
δ
.
Тогда
функции
]
1
,
0
[
L
f
i
∈
,
и
,
более
того
,
1
])
1
,
0
([
=
L
i
f
.
Выберем
теперь
произвольное
i
E
x
∈
и
то
i
i
L
x
p
<
)
(
,
при
котором
достигается
максимум
в
левой
части
неравенства
(5).
Тогда
имеем
:
∑
∑ ∑
=
=
=
−
≥
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
x
m
N
x
p
k
N
j
x
m
N
x
p
k
i
j
k
k
i
k
i
k
i
i
p
i
i
i
i
i
p
i
i
x
N
x
f
a
θ
ϕ
ϕ
ϕ
i
i
N
j
x
m
N
x
p
k
h
i
j
k
i
j
k
i
k
i
N
c
M
N
b
du
u
h
x
N
i
i
i
p
i
i
i
log
*
log
2
)
(
)
(
1
)
(
1
1
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
≥
−
≥
⎥
⎥
⎦
⎥
⎢
⎢
⎣
⎢
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
∑ ∑
∫
=
=
θ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
при
0
i
i
≥
.
Здесь
)
(
f
a
k
означают
коэффициенты
Фурье
функции
f
по
системе
{
}
∞
=
1
)
(
k
k
x
ϕ
.
В
приведенной
вы
-
кладке
мы
воспользовались
условием
2)
и
неравенствами
(2)
и
(4).
Далее
,
рассмотрев
следующие
три
отрезка
ряда
Фурье
функции
)
(
x
f
i
:
∑
=
)
(
)
(
)
(
)
(
x
m
N
x
p
k
i
x
i
p
i
i
,
∑
−
+
+
=
1
)
1
)
(
(
1
)
(
)
(
)
(
i
i
i
x
i
p
N
x
p
x
m
k
,
∑
−
+
=
1
)
1
)
(
(
)
(
i
i
i
i
N
x
p
N
x
p
k
,
мы
можем
выбрать
один
из
них
со
следующими
свойствами
:
3)
количество
слагаемых
не
меньше
чем
1
2
2
2
−
=
i
i
N
Расходящиеся
ряды
Фурье
интегрируемых
функций
67
Ярославский
педагогический
вестник
– 2012 –
№
1 –
Том
III (
Естественные
науки
)
4)
i
x
n
x
m
k
i
k
i
k
LogN
A
N
c
x
f
a
i
i
*
log
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
∑
−
=
=
≥
ϕ
при
0
i
i
≥
.
Тогда
пара
)
(
))
(
),
(
(
x
i
i
i
l
x
m
x
n
=
и
составит
нужный
нам
индекс
у
оператора
)
(
x
l
i
T
.
Посмотрим
на
значение
этого
оператора
в
точке
х
после
действия
на
)
(
t
f
i
:
[
]
)
2
/
(
))
(
)
(
log(
*
)
2
/
(
log
*
))
(
)
(
log(
*
))
(
)
(
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
m
i
x
n
i
x
l
N
A
x
m
x
n
N
N
A
x
m
x
n
x
m
x
n
f
x
S
f
x
S
x
f
T
i
i
i
λ
λ
λ
≥
−
≥
−
−
−
=
,
поскольку
2
/
))
(
)
(
(
i
i
i
N
x
m
x
n
≥
−
и
0
i
i
≥
.
Введем
теперь
новые
функции
)
(
)
2
(
1
)
(
~
1
2
t
f
A
t
f
i
i
i
−
=
λ
.
В
силу
линейности
операторов
l
T
при
лю
-
бом
i
E
x
∈
мы
имеем
:
[
]
1
)
(
)
~
(
)
(
≥
x
f
T
i
x
l
i
при
0
i
i
≥
.
К
тому
же
,
заметим
,
что
0
~
])
1
,
0
([
⎯
⎯ →
⎯
∞
→
i
L
i
f
,
по
-
скольку
)
(
n
λ
монотонно
стремится
к
0.
Поэтому
мы
можем
выбрать
из
последовательности
{ }
∞
=
0
~
i
i
i
f
подпоследовательность
{ }
∞
=
1
i
i
f
такую
,
что
выполнено
неравенство
:
∑
∞
=
∞
<
1
])
1
,
0
([
i
L
i
f
.
Беря
соответственно
и
последовательность
множеств
{ }
0
,
1
>
≥
∞
=
γ
i
i
i
mesE
E
,
мы
видим
,
что
все
условия
леммы
выполнены
и
лемма
доказана
.
Покажем
Do'stlaringiz bilan baham: |
