|
Ярославский
педагогический
вестник
– 2012 –
№
1 –
Том
III (
Естественные
науки
)
УДК
517.5
П
.
А
.
Корнилов
Расходящиеся
ряды
Фурье
интегрируемых
функций
В
данной
статье
доказывается
,
что
для
любой
ограниченной
в
совокупности
ортонормированной
системы
функций
на
отрезке
[0,1]
можно
построить
интегрируемую
,
по
Лебегу
,
функцию
,
ряд
Фурье
которой
по
данной
системе
расходится
с
определенной
скоростью
на
некотором
множестве
положительной
меры
.
Ключевые
слова
:
ортонормированные
системы
,
ряды
Фурье
,
расходящиеся
ряды
,
интегрируемые
по
Лебегу
функции
.
P.
А
. Kornilov
Fourier Dispersing Ranks of Integrated Functions
Here is proved that for any bounded orthonormal system of functions on segment [0,1] there is a Lebesgue integrable function,
Fourier series of which diverges on some set of positive measure with some speed.
Keywords:
orthonormal systems, Fourier series, divergent series, Lebesgue integrable functions.
В
1923
году
А
.
Н
.
Колмогоров
,
исследуя
ряды
Фурье
,
впервые
построил
пример
интегрируемой
по
Лебегу
функции
на
отрезке
[0,2
π
],
ряд
Фурье
которой
расходится
почти
всюду
[2,
с
. 480].
В
дальней
-
шем
исследования
этого
вопроса
шли
по
двум
направлениям
,
с
одной
стороны
,
исследовалась
воз
-
можная
скорость
расходимости
ряда
Фурье
интегрируемых
функций
,
а
с
другой
стороны
,
пытались
получить
достаточные
условия
сходимости
почти
всюду
рядов
Фурье
.
В
1964
году
Е
.
М
.
Стейн
,
усо
-
вершенствовав
конструкцию
А
.
Н
.
Колмогорова
,
в
работе
[3]
доказал
,
что
справедлива
следующая
теорема
.
Теорема
1.
Пусть
0
)
(
>
n
λ
и
монотонно
стремится
к
нулю
при
∞
→
n
.
Тогда
существует
f(x),
принадлежащая
классу
L([0,2
π
]),
для
которой
почти
при
всех
]
2
,
0
[
π
∈
x
не
выполнено
неравенство
))
log(
)
(
(
)
,
(
)
,
(
m
n
m
n
O
f
x
S
f
x
S
m
n
−
∗
−
=
−
λ
.
Для
функций
с
интегрируемым
квадратом
хорошо
известна
теорема
о
том
,
что
их
ряды
Фурье
схо
-
дятся
по
норме
пространства
L
2
([a,b])
к
самой
функции
.
Исследуя
проблему
,
поставленную
Фурье
,
Карлесону
удалось
доказать
,
что
для
всех
функций
из
L
2
([a,b])
их
ряды
Фурье
сходятся
к
самим
функциям
почти
всюду
на
отрезке
[a,b].
После
появления
теоремы
в
печати
ее
доказательство
было
обобщено
Хантом
на
случай
пространств
L
p
([a,b])
для
всех
p>1.
Таким
образом
,
из
всей
шкалы
про
-
странств
L
p
([a,b])
только
в
пространстве
L
1
([a,b])
существуют
функции
,
ряды
Фурье
которых
расхо
-
дятся
почти
всюду
.
В
1978
году
С
.
В
.
Бочкареву
в
работе
[1]
удалось
перенести
пример
Колмогорова
со
случая
рядов
по
тригонометрической
системе
на
случай
произвольной
ортонормированной
системы
(
ОНС
)
функ
-
ций
на
отрезок
[0,1],
ограниченной
в
совокупности
.
Используя
одну
из
доказанных
Бочкаревым
в
названной
выше
работе
лемм
,
а
также
идеи
работ
Колмогорова
и
Стейна
,
мы
в
данной
статье
перенесем
результат
Стейна
на
случай
произвольной
ОНС
функций
на
[0,1].
А
именно
,
справедлива
следующая
теорема
.
Теорема
.
Пусть
на
отрезке
[0,1]
задана
ОНС
функций
{
}
∞
=
1
)
(
k
k
x
ϕ
такая
,
что
найдется
число
М
>0
такое
,
что
для
любых
натуральных
k
и
вещественных
]
1
,
0
[
∈
x
выполнено
неравенство
M
x
k
<
)
(
ϕ
(1)
Пусть
далее
задана
произвольная
последовательность
положительных
чисел
)
(
n
λ
такая
,
что
)
1
(
)
(
+
>
n
n
λ
λ
и
0
)
(
→
n
λ
при
∞
→
n
.
Тогда
найдется
интегрируемая
по
Лебегу
функция
)
(
x
f
____________________________________________
©
Корнилов
П
.
А
., 2012
Расходящиеся
ряды
Фурье
интегрируемых
функций
65
Ярославский
педагогический
вестник
– 2012 –
№
1 –
Том
III (
Естественные
науки
)
и
некоторое
множество
]
1
,
0
[
⊂
E
, mes E >0
такое
,
что
для
любого
E
x
∈
не
выполнено
ограничение
))
log(
)
(
(
)
,
(
)
,
(
m
n
m
n
O
f
x
S
f
x
S
m
n
−
∗
−
=
−
λ
.
Здесь
)
,
(
f
x
S
n
–
значение
в
точке
х
n-
й
частичной
суммы
ряда
Фурье
функции
по
системе
{
}
∞
=
1
)
(
k
k
x
ϕ
.
Для
доказательства
теоремы
нам
понадобятся
несколько
лемм
.
Лемма__1'>Лемма
1
(
С
.
В
.
Бочкарев
, [1]).
Для
любой
ограниченной
в
совокупности
ОНС
функции
{
}
∞
=
1
)
(
k
k
x
ϕ
на
отрезке
[0,1]
найдутся
положительные
числа
0
,
>
B
γ
такие
,
что
для
любого
натурального
N
суще
-
ствует
множество
{
}
N
i
t
t
i
N
,...,
2
,
1
,
1
0
,
1
0
),
,..,
,
,
(
2
1
=
≤
≤
≤
≤
⊂
Ω
θ
θ
θ
θ
такое
,
что
0
)
(
>
≥
Ω
γ
mes
и
для
любой
точки
Ω
∈
)
,...,
,
,
(
2
1
N
t
θ
θ
θ
выполнено
∑ ∑
=
=
∗
≥
N
i
t
m
Np
k
i
k
k
p
N
B
t
N
1
)
(
)
log(
)
(
)
(
1
lim
θ
ϕ
ϕ
при
∞
→
p
, (2)
где
{
}
)
1
(
)
(
,
)
(
1
+
<
≤
∞
=
p
N
t
m
Np
t
m
p
p
p
–
последовательность
натуральных
чисел
.
Лемма
2
[2,
с
. 340].
Для
любого
подмножества
]
1
,
0
[
⊂
E
, mes E >0,
и
любого
числа
1
>
λ
найдется
натуральное
)
,
(
0
0
λ
E
N
N
=
такое
,
что
для
любого
ряда
∑
∞
=
=
0
)
(
)
(
N
k
k
k
t
r
c
t
p
,
по
системе
Радемахера
,
при
выполнении
условия
∑
∞
=
∞
<
0
2
)
(
N
k
k
c
справедливо
неравенство
∑
∑
∫
∞
=
∞
=
−
∗
≤
≤
0
0
2
2
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
N
k
k
N
k
E
k
c
E
mes
dt
t
p
c
E
mes
λ
λ
(3)
Лемма
.
В
условиях
теоремы
найдется
такое
0
>
γ
,
такая
последовательность
функций
{ }
])
1
,
0
([
,
1
L
f
f
i
i
i
∈
∞
=
и
такая
последовательность
множеств
{ }
0
)
(
],
1
,
0
[
,
1
>
≥
⊂
∞
=
γ
i
i
i
i
E
mes
E
E
,
что
для
любого
i
E
x
∈
можно
найти
пару
натуральных
чисел
))
(
),
(
(
)
(
x
m
x
n
x
l
i
i
i
=
,
что
выполнены
следую
-
щие
свойства
:
а
)
[
]
1
)
(
)
(
)
(
≥
x
f
T
i
x
l
i
,
где
операторы
l
T
определены
при
m
n
m
n
l
>
=
),
,
(
следующим
образом
[
]
)
log(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
m
n
m
n
f
x
S
f
x
S
x
f
T
m
n
l
−
∗
−
−
=
λ
б
)
1
2
2
)
(
)
(
−
≥
−
i
i
i
x
m
x
n
в
)
∑
∞
=
∞
<
1
])
1
,
0
([
i
L
i
f
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
