Yaqinlashuvchi ketma –ketliklar xossalari va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida

Yaqinlashuvchi ketma – ketlikning xossalari

1⁰. Agar x_n =a va a>p (a bo`lsa, y holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub> >p (x<sub>n</sub> bo`ladi.
Isbot. a>p bo`lsin, ni 0< tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. x<sub>n</sub>=a bo`lganidan >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ larda
a- _n bo`ladi. dan a- >p bo`lib, x_n>p ekanligi kelib chiqadi.
( a hol ham shu kabi qaraladi).
Natija. Agar x_n=a va a>0 (a<0) bo`lsa, u holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>0 (x<sub>n</sub><0) bo`ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.
Isbot. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo`lsin, bunda a. Haqiqiy sonlar to`plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo`lib, a bo`ladi. x_n=a, a bo`lganligi uchun biror n<sub>1</sub> nomerdan boshlab, x<sub>nn</sub>=b, b>r bo`lganligi uchun biror n₂ nomerdan boshlab x_n>r bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub> va x<sub>n</sub>>r kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
3⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi, yani M son mavjud bo`lib, barcha n lar uchun | x_n | tengsizlik o`rinlidir.
Isbot. x<sub>n</sub>=a bo`lsin. Biror >0 son olaylik. U holda biror nomerdan boshlab
a- _n tengsizlik o`rinli bo`ladi. |x₁|, |x₂|, …, | |, |a- |, |a+ | sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy n lar uchun |x_n| ekanligi kelib chiqadi. Bundan (x_n) ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Tenglik va tengsizlikda limitga o`tish.
1. Agar barcha n lar uchun x_n=y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a=b bo`ladi.
Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi.
2. Agar barcha n lar uchun x_n>y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a b bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik a>b bo`lsin. a va b sonlar orasida r son olsak, a>r>b, x_n=a, a>r bo`lgani uchun biror n<sub>1</sub>, nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>r, y<sub>n</sub>=b, b<r bo`lgani uchun biror n₂ nomerdan boshlab y_n bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub>>r va y<sub>n</sub> kelib chiqadi. Bundan x<sub>n</sub>>y<sub>n</sub> bo`ladi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
3.Agar barcha n lar uchun x<sub>n n</sub> < z<sub>n</sub> bo`lib, x_n= z_n=a bo`lsa, u holda y<sub>n</sub>=a bo`ladi.(isbotlang)
Teorema'>Ketma-ketlilar yig`indisi, ko`paytmasi va bo`linmasining limiti
Teorema. Agar (x <sub>n</sub>) va (y <sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
(x_n y_n) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lib, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>)= x<sub>n</sub> y<sub>n</sub> tenglik o`rinli .
Isbot. x_n =a, y_n =b desak, u holda x_n=a+ _n, y_n=b+ _n deb olish mumkin, bu yerda _n va _n lar cheksiz kichik miqdorlar.
x_ny_n=(a+ _n)  (b+ _n)=ab+ _n _n =ab+ _n, bunda _n= _n _n - 1 – lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, (x_ny_n)=ab= x_n y_n.
Teorema. Agar (x_n) va (y_n) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lib, (x_ny_n)= x_n y_n tenglik o`rinli .
Isbot. Oldingi teorema isbotidagi belgilashlarni kiritsak
x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>=(a+ <sub>n</sub>) (b+ <sub>n</sub>)=ab+a <sub>n</sub>+b <sub>n</sub> + <sub>n n</sub> =ab+ <sub>n</sub>, bunda <sub>n</sub>= a <sub>n</sub>+b <sub>n</sub> + <sub>n n</sub> - 1,2 – lemmalarga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>)=ab= x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>.
Teorema. Agar (x<sub>n</sub>) va (y<sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va y<sub>n</sub> 0 bo`lsa, ( ) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lib, tenglik o`rinli .
Mоnоtоn o`zgаruvchining limiti hаqidаgi tеоrеmа
Tеоrеmа: Аgаr {x<sub>n</sub>} kеtmа-kеtlik mоnоtоn o`suvchi bo`lib u yuqоridаn chеgаrаlаngаn bo`lsа, u chеkli limitgа egа bo`lаdi.
Isbоti: Tеоrеmа shаrtigа ko`rа {x_n} kеtmа-kеtligimiz yuqоridаn chеgаrаlаngаni uchun u o`zining аniq yuqоri chеgаrаsigа egа bo`lаdi. Fаrаz qilаylik a sоni {x_n} kеtmа-kеtlikning аniq yuqоri chеgаrаsi bo`lsin, u hоldа (“Suprеmum”) sup{x<sub>n</sub>}=a
Аgаr a sоni {x<sub>n</sub>} kеtmа-kеtlikning аniq yuqоri chеgаrаsi bo`lsа quyidаgi ikkitа shаrt bаjаrilаr edi.
1. x_na
2. >0, N n>N bo`lgаndа a-<sub>N</sub>a bo`lаr edi.
Tеоrеmа shаrtigа ko`rа kеtmа - kеtlik o`suvchi bo`lgаnligi uchun x<sub>N</sub> < x<sub>n</sub> bo`lаdi. Mоnоtоn o`suvchi bo`lgаnligidаn а- < x_N  a tеngsizlik o`rinli bo`lаdi. Bu tеngsizlikdаn a-_n dеb yozishimiz mumkin yoki a-x_n< yoki x_n-a< bo`lаdi. Bu dеgаn so`z kеtmа - kеtlik limitining tа`rifigа ko`rа dеgаnidir.


II BOB
2.1 Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar va ular orasidagi bog’lanish
Cheksiz kichik miqdorlar va ularning xossalari. Limitlarga doir turli tasdiqlarni isbotlashda cheksiz kichik miqdor va ularning xossalari muhim ahamiyatga ega.
Ta'rif. Agar (х) funksiya uchun

shart bajarilsa, unda bu funksiya ха (a−ixtiyoriy chekli yoki cheksiz son) bo‘lganda cheksiz kichik miqdor dеb ataladi .
Masalan, (х)=x² funksiya х0, (х)=(x−3)² funksiya х3 va (х)=x⁻² funksiya х±∞ bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
Teorema: Agar ха bo‘lganda (х) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar bo‘lib, f(x) esa ixtiyoriy chegaralangan funksiya bo‘lsa, u holda ха bo‘lganda (x)(х), (x)∙(х), f(x)∙(х), С(x) (С=сonst, ya’ni o‘zgarmas son) funksiyalar ham cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Isbot: ха bo‘lganda (x) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar, ya’ni

bo‘lgani uchun, limit ta’rifiga asosan, ixtiyoriy kichik >0 soni uchun shunday >0 soni topiladiki, 0<|x-a|< shartda |(x)|</2, |(x)|</2 tеngsizliklar bir paytda
o‘rinli bo‘ladi. Agar |f(x)|≤M (M– biror chekli son) bo‘lsa, unda 0<|x-a|< shartda
|(x)(х)| |(x)|+|(х)| <(/2)+(/2)=,
|(x)∙(х)|= |(x)|∙|(х)| <(/2)∙(/2)=²/4,
|f(x)∙ (х)|= |f(x)|∙|(х)|<|M|/2 , |C(х)|=|C|∙|(x)|<|C|/2
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengsizliklar va funksiya limiti ta’rifiga asosan


natijalarni olamiz. Bu yerdan, cheksiz kichik miqdor ta’rifiga asosan, tеorеma isboti kelib chiqadi.
NATIJA: Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi yana cheksiz kichik miqdordan iborat bo‘ladi.
Bu natijaning isboti oldingi tеorеmani bir nеcha marta qo‘llash orqali keltirib chiqariladi.
Izoh: Agar ха bo‘lganda (х) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda
ularning nisbati (х)/(х) cheksiz kichik miqdor bo‘lishi shart emas.
Masalan, х0 bo‘lganda (х)=Axⁿ vа (х)= Bx^m (n,m–natural, A,B– noldan farqli ixtiyoriy haqiqiy sonlar) cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi va

Bu yerdan ko‘rinadiki, yuqoridagi misolda (х)/(х) nisbat faqat n>m bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
Ta'rif. ха bo‘lganda (х) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar va

bo‘lsin. Bunda A=0 bo‘lsa, (х) ха bo‘lganda (х) ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor deyiladi va (х)=o((х)) kabi belgilanadi. Agar A≠0 va chekli son bo‘lsa, unda (х) vа (х) bir xil tartibli cheksiz kichik miqdorlar deyiladi va (х)=0((х)) kabi belgilanadi. Jumladan A=1 bo‘lsa (х) vа (х) ekvivalent cheksiz kichik miqdorlar deyiladi va (х)~(х) kabi belgilanadi. Agar A=±∞ bo‘lsa, (х) ха bo‘lganda (х) ga nisbatan quyi tartibli cheksiz kichik miqdor deyiladi va (х)=o((х)) kabi belgilanadi.
Cheksiz katta miqdorlar. Endi cheksiz katta miqdor tushunchasi va uning xossalari bilan tanishamiz.
Ta'rif. Agar f(х) funksiya uchun shart bajarilsa, unda bu funksiya ха (a−ixtiyoriy chekli yoki cheksiz son) bo‘lganda cheksiz katta miqdor dеb ataladi .
Masalan, f(х)=tgx funksiya хπ/2, f(х)=(x−1)^–3 funksiya х1 va f(х)=x² funksiya х±∞ bo‘lganda cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Teorema: Agar f(х) va g(x) funksiyalar x→a bo‘lganda cheksiz katta miqdorlar bo‘lsa, unda x→a shartda quyidagi tasdiqlar o‘rinlidir:
1) |f(х)|+|g(x)| va f(х)∙g(x) cheksiz katta miqdor bo‘ladi;
2) Agar bo‘lsa, unda f(х)∙h(x) va f(х)/h(x) cheksiz katta miqdor bo‘ladi;
3) Ixtiyoriy C o‘zgarmas soni va chegaralangan φ(x) funksiya uchun Cf(x) va φ(x)f(x) funksiyalar cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Teoremaning isboti bevosita 8-ta’rifdan kelib chiqadi va uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Izoh: Yuqoridagi teorema shartlarida |f(х)|–|g(x)| va f(х)/g(x) funksiyalar cheksiz katta miqdor bo‘lishi shart emas. Bu funksiyalar x→a bo‘lganda mos ravishda ∞−∞ va ∞/∞ ko‘rinishdagi aniqmasliklar deyiladi va ular kelgusida(VIII bob, §6) to‘liqroq ko‘rib chiqiladi.
Cheksiz katta va cheksiz kichik miqdorlar orasidagi bog‘lanish quyidagi teorema orqali ifodalanadi.
Teorema : Agar f(х) funksiya x→a bo‘lganda cheksiz katta miqdor bo‘lsa, unda shu holda 1/f(x) funksiya cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Aksincha, agar α(х) funksiya x→a bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘lsa, unda shu holda 1/α(x) funksiya cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Bu teoremani ham isbotsiz qabul etamiz. Masalan, f(х)=(x−1)^–3 funksiya х1 bo‘lganda cheksiz katta miqdor, α(х)=1/f(x)=(x−1)³ funksiya esa х1 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Shu sababli kelgusida biz asosan cheksiz kichik miqdorlar bilan ish ko‘ramiz.