Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

функцией плотности 
вероятности
(ФПВ), а не функцией вероятности. Такая функция 
p
должна обладать 
следующими свойствами.

---

Условная вероятность 

65
 

Область определения 
p
– множество всех возможных состояний x.
 

∀
x
∈
x, 
p
(
x
) 
≥ 
0; отметим, что мы не требуем выполнения условия 
p
(
x
) 
≤ 
1.
 

∫
p
(
x
)
dx
= 1.
Функция плотности вероятности 
p
(
x
) определяет не вероятность конкретного со-
стояния, а вероятность попадания в бесконечно малую окрестность размера 
δ
x
, кото-
рая равна 
p
(
x
)
δ
x
.
Для нахождения вероятности множества точек следует проинтегрировать функ-
цию плотности. Точнее, вероятность, что x принадлежит множеству 
𝕊
, равна инте-
гралу 
p
(
x
) по этому множеству. В одномерном случае вероятность принадлежности x 
отрезку [
a
, 
b
] равна 
∫
[
a
, 
b
]
p
(
x
)
dx
.
В качестве примера рассмотрим равномерное распределение непрерывной случай-
ной величины на отрезке вещественных чисел. Для этого нужно определить функции 
u
(
x
; 
a
, 
b
), где 
a
и 
b
– концы отрезка и 
b
> 
a
. Нотация «;» означает «параметризовано», 
т. е. 
x
является аргументом функции, а 
a
и 
b
– ее параметрами. Чтобы гарантировать, 
что вся масса вероятности находится внутри отрезка, положим 
u
(
x
; 
a
, 
b
) = 0 для всех 
x
∉
[
a
, 
b
], а для точек внутри [
a
, 
b
] определим 
u
(
x
; 
a
, 
b
) = 1/(
b 
– 
a
). Легко видеть, что 
так определенная функция всюду неотрицательна. Кроме того, ее интеграл равен 1. 
Мы часто пишем x 
∼
U
(
a
, 
b
), желая сказать, что x равномерно распределена на [
a
, 
b
].
3.4. Маргинальное распределение вероятности
Иногда известно распределение вероятности множества величин, а мы хотим узнать 
распределение вероятности подмножества этих величин. Оно называется 
маргиналь-
ным распределением вероятности
.
Предположим, к примеру, что есть две дискретные случайные величины x и y и из-
вестна функция 
P
(
x
, 
y
). Для нахождения 
P
(
x
) можно воспользоваться 
прави-
лом сложения
:
(3.3)
Название «маргинальное распределение» напоминает о процессе вычисления 
маргинальных вероятностей на полях
1
листа бумаги. Если записать значения 
P
(x, y) 
в ячейках таблицы, строки которой соответствуют значениям x, а столбцы – значе-
ниям y, то будет естественно просуммировать по каждой строке таблицы и записать 
сумму 
P
(
x
) на полях справа от строки.
Для непрерывных величин суммирование заменяется интегрированием:
(3.4)