Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

3.8. Математическое ожидание, дисперсия 
и ковариация
Математическим ожиданием
, или 
ожидаемым значением
, функции 
f
(
x
) относи-
тельно распределения вероятности 
P
(x) называется среднее значение 
f
, когда 
x
вы-

---

Математическое ожидание, дисперсия и ковариация 

67
бирается из 
P
. Для дискретных величин математическое ожидание вычисляется сум-
мированием:
(3.9)
а для непрерывных – интегрированием:
(3.10)
Если характер распределения ясен из контекста, то можно просто написать имя 
случайной величины, по которой вычисляется математическое ожидание: 
𝔼
x
[
f
(
x
)]. 
А если и относительно случайной величины не возникает сомнений, то можно во-
обще опустить подстрочный индекс: 
𝔼
[
f
(
x
)]. По умолчанию предполагается, что 
𝔼
[·] 
производит усреднение по всем случайным величинам в квадратных скобках. Если не 
возникает двусмысленности, то квадратные скобки можно опускать.
Операция математического ожидания линейна, т. е.
𝔼
x
[
α
f
(
x
) + 
β
g
(
x
)] = 
α
𝔼
x
[
f
(
x
)] + 
β
𝔼
x
[
g
(
x
)], 
(3.11)
где 
α
и 
β
не зависят от x.
Дисперсия
измеряет разброс значений функции случайной величины x с задан-
ным распределением вероятности:
Var(
f
(
x
)) = 
𝔼
[(
f
(
x
) – 
𝔼
[
f
(
x
)])
2
]. 
(3.12)
Если дисперсия мала, то значения 
f
(
x
) сгруппированы в окрестности ожидаемого 
значения. Квадратный корень из дисперсии называется