Xvii bob. Ehtimollar nazariyasi asoslari

17.4§. Asimptotik formulalar.
Yuqoridagi keltirilgan misollardan ko’rinadiki, tajribalar soni n yetarlicha katta bo’lganda ehtimolni hisoblash katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bunday hollarda hisoblashni osonlashtiruvchi formulalarga, hatto ular izlanayotgan ehtimolning taqribiy qiymatini bersa ham ehtiyoj tug’iladi. Bunday formulalar asimptotik formulalar deb ataladi. Ushbu paragrafda shunday formulalar bilan tanishamiz.

1. Muavr – Laplasning teoremasi. Har birida hodisaning ro’y berish ehtimoli ga teng bo’lgan n ta bog’liqsiz tajribada hodisaning k marta ro’y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo’lganda) taqriban

(17.1)

ga teng. Bu yerda

.

funksiyaning qiymatlar jadvali 1 – ilovada keltirilgan ( - juft funksiya). (17.1) formula Muavr –Laplasning lokal formulasidir.

2.Puasson formulasi. Agar tajribalar soni yetarlicha katta bo’lib, har bir tajribada hodisaning ro’y berish ehtimoli p juda kichik bo’lsa, u holda

, (17.2)

bu yerda . (17.2) – Puasson formulasidir.

3. Muavr – Laplasning integral formulasi. Har birida hodisaning ro’y berish ehtimoli ga teng bo’lgan n ta bog’liqsiz tajribada hodisaning kamida marta ro’y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo’lganda) taqriban

(17.3)

ga teng. Bu yerda

Laplas finksiyasi bo’lib, bunda

.

x ning ( ) musbat qiymatlari uchun Laplas funksiyaning qiymatlari jadvali 2 – ilovada keltirilgan. qiymatlar uchun deb olinadi ( , ya’ni -toq funksiya).

Quyidagi masalalarning yechilishi bilan tanishaylik.

1-masala. Korxonada ishlab chiqarilgan detalning yaroqsiz bo’lish ehtimoli 0,005 ga teng. 10 000 ta detaldan iborat partiyadagi yaroqsiz detallar sonining 40 ta bo’lish ehtimolini toping.

Masalaning shartiga ko’ra ;

.

yetarlicha katta son bo’lgani uchun Muavr – Laplasning lokal formulasidan foydalanamiz:

, bu yerda .

x ning qiymatini topamiz:

.

Jadvaldan ni topamiz.

Demak, izlanayotgan ehtimol:

.

2-masala. Darslik 200 000 nusxada bosib chiqarilgan. Darslikning yaroqsiz bo’lish ehtimoli 0,00005 ga teng. Butun tirajda rosa yaroqsiz bo’lish kitob ehtimolini toping.

Shartga ko’ra . n son katta va p ehtimol kichik, shu sababli Puasson formulasidan foydalanamiz:

,

bu yerda ning qiymatini topamiz:

.

Demak, izlanayotgan ehtimol:

.

3-masala. Tavakkaliga olingan pillaning yaroqsiz chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Tasodifan olingan 400 ta pilladan 70 tadan 130 tagacha yaroqsiz bo’lish ehtimolini toping.

Masala shartga ko’ra:

.

Muavr – Laplasning integral formulasidan foydalanamiz:

.

va larning qiymatilarini topamiz:

,

.

Jadvaldan topamiz:

,

, chunki da .

Demak, izlanayotgan ehtimol:

.