Xvii bob. Ehtimollar nazariyasi asoslari

1. Ehtimolning klassik ta’rifi. A hodisaning ehtimoli deb A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi hodisalar sonining teng imkoniyatli barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga aytiladi va quyidagicha belgilanadi:

Ehtimolning xossalari.

a) muqarrar hodisaning ehtimoli birga teng:

.

b) mumkin bo’lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng:

,

c) istalgan A hodisaning ehtimoli quyidagi qo’sh tengsizlikni qanoatlantiradi:

.

Klassik ta’rifdan foydalanib masalalar yechishda kombinatorika elementlari muhim rol o’ynaydi, shuni e’tiborga olib kombinatorikaga doir ba’zi tushunchalar bilan tanishib o’taylik.

Har qanday narsalardan tuzilgan va bir – biridan yo shu narsalarning tartibi bilan, yoki shu narsalarning o’zlari bilan farq qiluvchi turli gruppalar birlashmalar deb ataladi.

Birlashmalar uch xil bo’lishi mumkin: o’rinlashtirish, o’rin almashtirish va gruppalash. Ularning har birini ko’rib chiqaylik.

1) n elementini m tadan (bunda ) o’rinlashtirish deb shunday birlashmalarga aytiladiki, ularning har birida berilgan n ta elementdan olingan m ta element bo’lib, ular bir – biridan yo elementlari bilan, yoki elementlarning tartibi bilan farq qiladi. n ta elementdan m tadan barcha o’rinlashtirishlar soni kabi belgilanib, u

formula bilan hisoblanadi.

2) Agar o’rinlashtirishlar n ta elementdan n tadan olingan bo’lsa (ya’ni faqat elementlarining tartibi bilan farq qilsa), bunday o’rinlashtirishlar o’rin almashtirishlar deb ataladi, u holda yuqoridagi formulaga ko’ra n ta elementdan barcha o’rin almashtirishlar soni quyidagicha bo’ladi:

3) Agar n ta elementdan m tadan tuzish mumkin bo’lgan barcha o’rinlashtirishlardan bir – biridan eng kamida bir element bilan farq qiladiganlarini tanlab olsak, u holda gruppalar (kombinatsiyalar) deb atalgan birlashmalarni hosil qilamiz.

n ta elementdan m tadan barcha gruppalashlar (kombinatsiyalar) soni

formula yordamida topiladi.

Yuqoridagi 3 ta formula uchun munosabat o’rinlidir.

2. Ehtimolning geometrik ta’rifi. Biror Q soha berilgan bo’lib, bu soha sohani o’z ichiga olsin, Q sohaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning sohaga tushish ehtimolini topish talab qilinadi. B yerda barcha elementlar hodisalar to’plami Q ning barcha nuqtalaridan iborat. Binobarin, bu holda klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz. Tanlangan nuqta Q ga albatta tushsin va uning biror qismiga tushish ehtimoli shu qismining o’lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proparsional bo’lib, ning formasiga va qism Q ning qayerda joylashganligiga bog’liq bo’lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli

formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan p funksiya ehtimolning barcha xossalarini qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas.