Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar

Ta`rif: (9)
tenglama (3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.


Ta`rif: (9) tenglamaning integrallari esa (3) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(9) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
, (10)
. (11)
(9) yoki (10) va (11) yordamida berilgan (3)-tenglamaning xarakteristikalari topiladi.
Ta`rif: Agar qandaydir sohada bo`lsa, (3) tenglama giperbolik turga qarashli, agar sohada bo`lsa, berilgan (3) tenglama elliptik turga qarashli, agar sohada bo`lsa, parabolik turga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab (3) tenglamani quyidagi kanonik ko`rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
(giperbolik turda), yoki .
(elliptik turda), .
(parabolik turda) .
Bu yerda soddalashtirish natijasida hosil bo`lgan funksiya.

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni turi saqlanadigan sohada kanonik ko`rinishga keltirish

Misol. Quyidagi tenglamani kanonik ko`rinishga keltiraylik:
u<sub>xx</sub>-2u<sub>xy</sub>-3u<sub>yy</sub>+u<sub>y</sub>=0.
, - tenglama koeffisiyentlari. ifodaning kiymatini hisoblaymiz. , demak tenglama giperbolik turga tegishli. (9) xarakteristik tenglamani yechamiz.
,
Umumiy integrallardan birini va ikkinchisini bilan belgilab, (7) formulalardan foydalanib hisoblashlarning natijalarini berilgan tenglamaga keltirib qo`yib, soddalashtirishlardan so`ng tenglamaning quyidagi kanonik ko`rinishini hosil qilamiz: .

Ko`p erkli o`zgaruvchili funksiyalar (n>2) bo`lgan hol uchun ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko`rinishga keltirish

Ko`p erkli o`zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama qanday kanonik ko`rinishga keltiriladi? Shu masalani qarab chiqaylik. Ko`p o`zgaruvchili chiziqli ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagicha berilgan bo`lsin :
(12)
U holda ushbu tenglamaning xarakteristik tenglamasi ko`rinishi kvadratik forma bo`ladi:
.
Har bir fiksirlangan nuqtada kvadratik formani uncha qiyin bo`lmagan affin almashtirishlari yordamida kanonik ko`rinishga keltirish mumkin:
(13)
Bu yerda lar 1, -1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. (13) dagi manfiy va nol koeffisiyentlar ni kanonik ko`rinishga keltirsh usuliga bog`liq emas. Shunga asosan (12) tenglama klassifikasiyalanadi.